基于Esscher 变换的巨灾债券定价模型研究

韩雪

摘 要：本文基于Esscher变换这一精算工具，建立以损失指数为触发条件的巨灾债券定价模型，并利用1996—2012年我国台风灾害损失数据，运用该定价模型测算不同触发条件下台风巨灾债券的发行价格。本文采用Merton的方法，因为该方法直接适用于如巨灾衍生产品，作为原生品的损失指数并不是一种可投资资产的状况。而巨灾风险损失的非交易性可以通过引进自然风险的市场价格来解决。

关键词：台风灾害；Esscher 变换；巨灾债券

中图分类号：F830.91 文献标识码：A

文章编号：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨灾债券是一种对巨灾风险进行证券化的产品，保险公司通过风险证券化将风险转移到资本市场上去。而价格的合理与否也就成了巨灾债券发行成功的关键。目前对巨灾债券（衍生品）价格的研究主要借鉴比较成熟的资产定价理论，采用无风险套利定价方法来为其定价。

针对普通金融资产的定价模型是基于金融资产价格连续变动的假设，也就是其对应的风险是可预料的，用无风险套利定价方法具有可行性。但对巨灾债券所要转移的巨灾风险，如地震、台风等自然风险来说，对应的损失（指数）是不可预料的。这就要求用一种在随机的时间点上存在跳跃的随机过程来描述这一风险，一般使用复合泊松分布来描述这一损失过程。正是损失（指数）的随机跳跃导致了不完全市场的出现。

而要想使用无风险套利定价方法来为巨灾债券等证券化产品定价，还必须解决不完全市场和保险损失指数不可交易这两个问题。既然存在着不完全市场，那么复制技术就无法应用。对此有几种解决方法：一是Merton[1]假设具有跳跃特征的风险可以被分散，也就是只含有此种非系统风险投资组合的β为0，其期望收益等于无风险利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一种方差最小化的对冲方法来求得等价鞅测度；三是Davis[4]基于历史概率，通过投资者效用函数的最大化来确定价格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出构造一个完全市场的框架。

当然，在无风险套利定价理论的实际应用中，如何求得Radon-Nikodym导数以进行概率测度变换是又一关键和难点。通常使用傅利叶变换和偏微分方程这样复杂的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]将精算学中的Esscher变换引入了资产定价领域，该方法极大地简化了计算。Christensen[8]利用其对PCS期权进行定价，本文将在此基础上研究如何为巨灾债券定价，并求出了巨灾债券价格的显式表达式。

参考文献：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（责任编辑：孟 耀）

摘 要：本文基于Esscher变换这一精算工具，建立以损失指数为触发条件的巨灾债券定价模型，并利用1996—2012年我国台风灾害损失数据，运用该定价模型测算不同触发条件下台风巨灾债券的发行价格。本文采用Merton的方法，因为该方法直接适用于如巨灾衍生产品，作为原生品的损失指数并不是一种可投资资产的状况。而巨灾风险损失的非交易性可以通过引进自然风险的市场价格来解决。

关键词：台风灾害；Esscher 变换；巨灾债券

中图分类号：F830.91 文献标识码：A

文章编号：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨灾债券是一种对巨灾风险进行证券化的产品，保险公司通过风险证券化将风险转移到资本市场上去。而价格的合理与否也就成了巨灾债券发行成功的关键。目前对巨灾债券（衍生品）价格的研究主要借鉴比较成熟的资产定价理论，采用无风险套利定价方法来为其定价。

针对普通金融资产的定价模型是基于金融资产价格连续变动的假设，也就是其对应的风险是可预料的，用无风险套利定价方法具有可行性。但对巨灾债券所要转移的巨灾风险，如地震、台风等自然风险来说，对应的损失（指数）是不可预料的。这就要求用一种在随机的时间点上存在跳跃的随机过程来描述这一风险，一般使用复合泊松分布来描述这一损失过程。正是损失（指数）的随机跳跃导致了不完全市场的出现。

而要想使用无风险套利定价方法来为巨灾债券等证券化产品定价，还必须解决不完全市场和保险损失指数不可交易这两个问题。既然存在着不完全市场，那么复制技术就无法应用。对此有几种解决方法：一是Merton[1]假设具有跳跃特征的风险可以被分散，也就是只含有此种非系统风险投资组合的β为0，其期望收益等于无风险利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一种方差最小化的对冲方法来求得等价鞅测度；三是Davis[4]基于历史概率，通过投资者效用函数的最大化来确定价格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出构造一个完全市场的框架。

当然，在无风险套利定价理论的实际应用中，如何求得Radon-Nikodym导数以进行概率测度变换是又一关键和难点。通常使用傅利叶变换和偏微分方程这样复杂的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]将精算学中的Esscher变换引入了资产定价领域，该方法极大地简化了计算。Christensen[8]利用其对PCS期权进行定价，本文将在此基础上研究如何为巨灾债券定价，并求出了巨灾债券价格的显式表达式。

参考文献：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（责任编辑：孟 耀）

摘 要：本文基于Esscher变换这一精算工具，建立以损失指数为触发条件的巨灾债券定价模型，并利用1996—2012年我国台风灾害损失数据，运用该定价模型测算不同触发条件下台风巨灾债券的发行价格。本文采用Merton的方法，因为该方法直接适用于如巨灾衍生产品，作为原生品的损失指数并不是一种可投资资产的状况。而巨灾风险损失的非交易性可以通过引进自然风险的市场价格来解决。

关键词：台风灾害；Esscher 变换；巨灾债券

中图分类号：F830.91 文献标识码：A

文章编号：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨灾债券是一种对巨灾风险进行证券化的产品，保险公司通过风险证券化将风险转移到资本市场上去。而价格的合理与否也就成了巨灾债券发行成功的关键。目前对巨灾债券（衍生品）价格的研究主要借鉴比较成熟的资产定价理论，采用无风险套利定价方法来为其定价。

针对普通金融资产的定价模型是基于金融资产价格连续变动的假设，也就是其对应的风险是可预料的，用无风险套利定价方法具有可行性。但对巨灾债券所要转移的巨灾风险，如地震、台风等自然风险来说，对应的损失（指数）是不可预料的。这就要求用一种在随机的时间点上存在跳跃的随机过程来描述这一风险，一般使用复合泊松分布来描述这一损失过程。正是损失（指数）的随机跳跃导致了不完全市场的出现。

而要想使用无风险套利定价方法来为巨灾债券等证券化产品定价，还必须解决不完全市场和保险损失指数不可交易这两个问题。既然存在着不完全市场，那么复制技术就无法应用。对此有几种解决方法：一是Merton[1]假设具有跳跃特征的风险可以被分散，也就是只含有此种非系统风险投资组合的β为0，其期望收益等于无风险利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一种方差最小化的对冲方法来求得等价鞅测度；三是Davis[4]基于历史概率，通过投资者效用函数的最大化来确定价格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出构造一个完全市场的框架。

当然，在无风险套利定价理论的实际应用中，如何求得Radon-Nikodym导数以进行概率测度变换是又一关键和难点。通常使用傅利叶变换和偏微分方程这样复杂的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]将精算学中的Esscher变换引入了资产定价领域，该方法极大地简化了计算。Christensen[8]利用其对PCS期权进行定价，本文将在此基础上研究如何为巨灾债券定价，并求出了巨灾债券价格的显式表达式。

参考文献：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（责任编辑：孟 耀）