论数学与经济学的关系

数学与经济学的关系在学界已经被讨论了好多年，想要认清数学与经济学的关系，首先我们必须弄明白经济学与数学之间是否存在包含关系。Dow(1990)就曾指出，如果我们认为经济学就是一门数学学科，那么我们可以很容易地将历史学、社会学、哲学以及方法论看做是这些学科在不同专业领域吸收知识，并且经济学实践将这些学科联系在一起。但是对那些将经济学看做是一门使用了数学的人文科学的人来说，经济学的内容本身就需要历史学、社会学、哲学以及方法论这些领域的专业知识。我认为后一种观点好像更贴切地描述了数学在经济学研究中的地位，就是说经济学是一门使用了数学专业知识的人文科学。

一、 数学作为一种有效的研究工具，可以帮助经济学家进行经济研究

经济学家大多善于使用修辞学的表达方法来描述经济现象，在描述某些经济学家自己也没有完全弄明白的现象时，有些经济学家善于使用晦涩难懂的经济学术语来掩盖本身理论解释的不充分性，但是，这种做法会使得理论解释的说服力大打折扣。在这种情况下，使用数学方法进行补充性解释可以避免使用晦涩难懂的语言来掩盖理论本身欠缺的解释性，可以通过明白的数学公式展现清晰的逻辑。因为这个原因，在经济学研究中使用数学函数以及运用数学模型成了经济学家们更好地解释经济现像和预测未来经济发展走势的一种有用手段。罗默(2015)就曾经指出，借助新的变量，模型可以将文字叙述与数学公式较好地联系在一起，增加理论和实证之间的关联程度。罗默举例道，早在1956年，索洛在他的经济增长理论中就曾使用数学公式来表示“资本”这一变量。利用数学公式同概念的紧密结合，索洛精准地阐释了“资本”这一变量的含义，进而通过对概念的阐释轻松地将理论与实证结合起来。毫无疑问，这是一个典型的数学知识助力经济学修辞解释的例子。Dow精辟地总结道，数学结论的公式化为经济学纯理论的优势以及使用模拟进行实证演示铺平了道路。

像罗默一样，凯恩斯对待在经济学中使用数学的态度也是积极的。通常认为凯恩斯对于在经济学中使用数理统计方法是持完全否定的态度的，但是O’Donnell(1990)认为这种现象是由于这些人只看到了凯恩斯一部分的观点，并没有全盘认识凯恩斯的观点，这种对凯恩斯数学观的解读是错误的并且是肤浅的。事实上凯恩斯对数学本身并没有敌意，而是反感“伪数学”，或者说数学分析方法的不合理的应用。例如，在对概率的研究中，凯恩斯自己便使用数学表达来方便解释概率这个经济学概念，为了清晰表达两组命题之间的概率，凯恩斯使用a/h来表示概率，a代表概率相关的结论，h表示包含了给定信息的先决条件。

数学知识不仅在经济学先验演绎推理层面有用处，而且在经济学实证层面也有用处。财会学中数理统计的重要性是众所周知的，约翰·希克斯(1979)一直强调经济分析中，尤其是在动态经济分析中，财会传统的重要性。在这方面，凯恩斯也有类似的观点，凯恩斯相信某些部分的纯经济理论可以用数学方式表达出来，并且计量经济学可以为经济学提供重要的服务。凯恩斯强调，计量经济学有两个重要功能：为理论参数提供实验量级和量化独立的原因间的相对强度。对与凯恩斯来说，数学在经济学理论和计量经济学中有精确的功能，只不过数学能发挥的功能是有限度的。

数学在帮助修辞学进行经济学解释的同时，还可以帮助经济学家形成有益的逻辑性的思维方式，凯恩斯就曾指出，数学是正式思维原则中的一个分支，因此，只要正确地使用数学，数学可以帮助经济学家形成创造一种“有组织的有顺序的思维方式”，这样的思维方式对经济学研究来说非常重要。

二、 数学在经济学的应用中出了问题

数学具有诸多特性可以帮助经济学家进行经济学研究，但是，在实际操作领域，我们观察到了一些数学在经济学中应用的问题，这些问题不仅会妨碍数学的合理应用，还会使得一些经济学研究者对数学产生消极的观念。这些问题包括，“数学滥用”，数学的错用以及强行使用数学。

1.“数学滥用”

首先，我们应当如何理解“数学滥用”。经济学家罗默发明了“数学滥用”这个经济学术语，罗默定义“数学滥用”是，如同普通的数学理论一样，“数学滥用”也是由各种符号与理论描述组成，但此时，符号与文字叙述之间的联系并不紧密，自然描述与正式表达、理论推导与实证事实之间充满了需要填充的巨大空间。罗默还进一步批评道，至少在经济增长理论方面，我们的作者和编辑达成了一种默契，即读者都会漠视数学的滥用并接受这一怪象。不严谨的科学态度催生了数量经济学中的“潜规则”，由于没有更好地数学表达可用，而滥竽充数，制造了“数学滥用”。经济学家温特劳布(1998)也指出，不一致性被混进了应用经济学中，应用经济学中混进一些不那么精确的数学推导以及没有逻辑论证的事实。

Velupillai(2005)曾经批评“数学滥用”中的形式化，他指出，无标准的、构建性的和计算性的分析在经济学主题中起到了形式化和数学化的作用，这种现象主要出现在新古典主义经济学理论的范畴内。Velupillai举例道，是不是基于“执行一项任务”的函数概念，展现在子集理论中，是不是可以捕捉所有的直觉性的内容，这还是一个有待商讨的问题。尽管存在这种不确定性，数理经济学家，甚至是所有将数学应用到经济学中的经济学家，都用“执行一项任务”来定义他们自认为精确的函数的概念。因此，通过赋予数学一些特殊的数学属性，主教风格的构造性数学保持忠于函数概念的普通意义，也就是说，在封闭的间隔中保持一直地连贯，这样当数学家用这样特定的方式来使用函数时，数学家就能轻松地“执行函数的任务”。

“数学滥用”会阻碍经济学研究，纠正“数学滥用”对经济学的发展是有好处的，罗默曾经指出，每一位经济学家都有义务停止“数学滥用”，如果我们能坚持共享精准、清晰的数学推导，将数学理论中晦涩的概念抽象成明白易懂的名词，就像“人力资本”，“物质资本”，“非竞争性”一样，那么我们的研究水平可以更快地得到提升。

我们否定“数学滥用”，就应该清楚地识别“数学滥用”。我们应该如何判断数学是否被“滥用”，胡伟清(2006)提出了一种标准以供参考，他指出，如果使用卡尔多·希克斯效率的概念，我们会发现经济学数学化是一种卡尔多·希克斯改进，也就是说改进带来的好处能够弥补改进所产生的坏处。我们可以使用一个简单的标准来判断：如果使用数学的好处能够弥补坏处，那么，即便是大量使用公式、模型，也不能算是滥用。反之，如果不使用数学的好处更多，甚至使用数学带来的坏处更多，那么即便只使用了一个公式，也是滥用。

2.数学的错用

我们可以将数学的错用定义为，使用了错误的数学理论或数学概念进行经济学研究。凯恩斯曾经指出，推演逻辑还要依赖直觉或者对逻辑关系的直接感知，结论一般部分暗含在前提条件中，先决条件被认为拥有完全暗含结论的能力。所以数学不能错用，如果数学理论被错用，就会使得数学的推导逻辑被打破，丧失数学线性解释的能力。例如，构造性数学在经济学中的应用总让人有一种已知A+B可以证明C，所以为了得到C的结论，而去拼凑A和B的感觉。经济学推演逻辑顺序被颠倒了过来，有了一种为某种理论结果进行狡辩的意味，而这种理论结果往往是作为已经发生了的事实被拿来进行推演验证。这就丧失了使用数学模型进行经济学预测的意义。

对于数学的错用，Velupillai曾经举例道，Piero Sraffa(1960)提供了一组方程，在不需要使用不动点理论的情况下证明了一般均衡理论的存在性，这给经济学研究提供了一个很好地范例。Velupillai却不解，为什么没有经济学家使用Sraffa提供的充分的并且足够用来重证一般均衡理论存在性的方法，经济学家们却依然依赖Brouwer的非构造性不动点理论，这对Velupillai来说简直是个谜。Velupillai更进一步提问，为什么，数理经济学家把解方程变成了“一个不动点问题”，只是为了证明方程的解的存在性。像这样错误地选择数学知识不仅无助于经济学研究，还有可能让经济学研究者走上错误的研究道路。

3.强行使用数学

强行使用数学可以被理解为，在不需要使用高深数学知识的地方，为了使用数学知识而强行使用数学。 凯恩斯一直都对这种现象嗤之以鼻，1910年，他批评Pearson 的统计学回忆录为“应用了不必要的复杂的数学工具。”Velupillai也曾经在研究中提问，真的有必要把在正式的经济学理论中的一般均衡的存在性问题作为一个数学问题拿出来进行研究么？

强行使用数学并不能帮助经济学研究，反而会令经济学研究更加复杂。丁小钦(2008)曾经指出，如果通过数学语言来解释经济学问题，那么经济学问题就被转换成了由数学符号组成的数学公式。这时经济学问题中的概念只表示为数学符号，经济学命题只表示为数学公式，经济学命题的推导变成了数学公式的变形。数学能展现的的只是公式中数学符号之间的关系，并不包含对公式所代表的内容的思考。但数学推演之后，所有的数学符号还是要被转换回修辞性的语言。而转换回的内容同我们引入数学公式之前的经济学表述的一致性值得探讨。

作为经济学研究者，我们应当思考如何正确地使用数学。罗默曾指出，当他开始学习数量经济学时，数量经济学是由一种与现在完全不同的规则所主导的。虽然不是毫无例外，但也远比现在要强，每当经济学家们用数学去推导经济学中高度抽象的概念时，他们都会以极其清晰准确严谨的态度满怀骄傲地完成。或许旧时代这种对待数学的严谨态度更值得我们今天借鉴。

三、 对经济学数学化的看法

1.数学在经济学研究中被赋予了不应有的地位

对于这个现象，Dow曾经做出总结，他说道，我们可以清楚的看到现在在很多经济学的应用中出现了关于方法论的困惑，这种困惑在于在经济学应用中给予了数学表达优先权。虽然现实如此，但是我们仍然认为，在经济学研究中，数学不应被赋予如此地位。很多经济学家有类似的感触，比如，凯恩斯很反感有些学者将数学抬高至经济推理研究的最高层面。

数学被赋予了不应有的地位，对经济学研究来说是有害的。Velapillai就指出，如果数学，像Ulam和Wolfram说的那样，“数学的发展已经开始倾向于关心那些如何成功应用数学方法的问题”，这种形式化地使用特定数学方法的行为会扭曲经济学理论。这种扭曲的现象是如何产生的呢？胡伟清曾经总结了两点原因，他从期刊论文发表和高校经济学教育的角度阐明了经济学数学化的原因。他指出，期刊之所以偏爱数学化程度高的论文是因为数学的使用代表了论文的“技术水平”。同时，高校的经济学教育具有明显的导向性，在硕士、博士研究生的毕业论文答辩中，使用了数理模型的论文更容易过关，且评分更高，这种现象也诱导了经济学者的数学化倾向。

2.数学的局限性使得数学并不具备独立支撑经济学研究的能力

数学，以它固有的性质，决定了数学在经济学的应用中，有诸多先天缺陷。Dow对这一点有很多精辟的观点。他曾指出，我们都知道，并且我想再次强调，在数学论证的早期发展阶段，直觉发挥了很大的作用。Dow 同时指出，我们发现就算数学本身也需要非数学因素的补充来完善本身的系统。公式表达的数学还能不能提供真理的连贯性标准正在成为问题。区别于经济学热衷于考察社会问题，数学化的主要卖点之一是，数学化为经济学引入了一种新的精确性。任何理论，越是接近于物理论证，它就越是精确。但是存在有一系列的问题，这些问题包括识别理论概念的实证对象以及测量问题，这些问题都基于实证检验，却破坏了精确度。在所有论证方法中，数学证明是一种劝说。一旦我们认识到数学也要像其他学科一样依赖社会惯例，我们就很难坚持说在经济学研究范畴内数学比其他学科可以提供更多精确性了。Dow还举了相对确定性的例子来说明传统数学理论应用到经济学中时，进行了自我演变。他写道，温特劳布指出哥德尔的论证首先使用了相对确定性的概念。通过将补充性的假设添加到公式系统中来完成相对确定性的构建，就算这些假设同公式定理的部分并不一致，我们仍然可以这样运作。

数学并不足以独立支撑经济学的研究，在这方面，凯恩斯有很多具体的观点。凯恩斯指出，有限的数学工具并不足以全盘展现现实的丰富与复杂。O’Donelle指出，在凯恩斯的分析中，有很多没办法量化却有重要意义的因素，没有办法使用严格的数学推论进行分析。凯恩斯曾指出“有很多重要的因素被忽视，是因为这些因素在统计学上是无法追踪也无法获得的。”凯恩斯认为，不可比较性，阻止了数学的全面应用。经济学实质上不是一门精确的科学，经济学的材料并不像自然现象那样一成不变和具有规律性，在经济学的测量与比较中，这种不确定性以及不规律性带来了很多困难。凯恩斯举例道，Planck在数学方面成就卓越，却觉得经济学非常难。这是因为想要在经济学方面表现出色，不只需要数学技能，更需要一个“由逻辑、直觉以及广泛的知识组成的集合体”。

经济学中的概率问题，作为一个例子，可以充分证明数学在经济学研究中的先天不足。O’Donelle指出，对数理比较来说，很多组概率的比较在理论上是不可能的。就如凯恩斯1909年指出的，很多关系是“可以测量的”，但是“大部分，我们所关心的关系或许还是不可测量的”。在特殊条件下，量化的推理是可以应用的，但前提是通过逻辑论证建立充足的条件。凯恩斯还说道，“除非接受量的测量的好的理由已经被制造出来，否则我们应当质疑任何量的测量的可能性。”

3.数学只是研究经济学的一种工具

在经济学研究中，数学只是一种研究工具。在凯恩斯的观念中，数学就只是经济学众多研究工具中的一种，当工具的使用条件被满足时，经济学家便可以选择使用这种工具。当经济学材料满足数学方法应用的条件时，数学便可以发挥它的职能。一旦可应用性被确定了，数学就可以工作了。凯恩斯一直认为，将数学研究当成经济学研究的重点是本末倒置，这一点明确地反映在凯恩斯的数学观中。Borel(1924)曾经总结凯恩斯的数学观，Borel总结道“数学理论并没有被凯恩斯忽视，在情况有保证的条件下，凯恩斯还发展了数学理论，但是发展数学理论并不是凯恩斯的主要目的。他更感兴趣都是从哲学和逻辑学的方面来看待这些经济学问题。”同Borel的观点类似，Braithwaite(1946)认为“虽然凯恩斯在数学技术可以提供帮助时使用数学技术，但他时刻牢记，数学虽然是一个好的仆人，却是一个坏的主人。”凯恩斯提出，质的逻辑分析应该先于量的或者数学分析，这种分析顺序决定了数学在经济学中应用的范围。并且在凯恩斯的哲学观中，逻辑最终是依赖直观的判断或者直觉。以概率问题为例，凯恩斯认为，将概率看成是一个纯数学概念而忽略了概率的逻辑基础，这是很多数学家困惑和犯错的原因。

4.数学是一种经济学的研究工具，我们没有必要排斥数学

数学为经济学研究提供了有效的研究工具，历史上数学技术的不断发展并不断被经济学吸收利用极大地促进了经济学的发展前进。胡伟清曾在文章中举例，数学的发展为解决经济学问题提供了技术条件，以人力资本理论的研究为例，虽然欧文·费雪在1906年完成的著作《资本的性质和收入》中就提出了“人力资本”的概念，但是直到内生增长理论出现后，“人力资本”才正式作为变量出现在经济增长模型中。虽然之前经济学家对“人力资本”的认识有局限性，但当时数学技术的匮乏也是重要原因，当时分析规模经济和不完全竞争的数学技术还没有出现在经济学研究中。同时他还指出，随着经济学家对经济现象认识的不断深入，曾经无法量化的变量，正在逐渐被量化。例如，GDP、CPI、基尼系数、恩格尔系数等量化指标就是随着经济学的发展逐渐出现在经济学家研究视野中的。这就是说，随着经济学和数学技术的不断前进，会有越来越多的变量可以被量化，从而数学未来可以在经济学中被更广泛地应用。Dow曾指出，理论与应用的分离就是在不同的关于精确的概念间的潜在的一种二分。结论性的理论在任何显著的层面上甚至都不是数学的，如果数学论证被认为不足以捕捉到现实的所有方面，那是因为数学论证还不够精确。数学只是一种工具，我们不应过分指责数学的无效性，数学在经济学研究领域出现的无效性，往往是因为我们在进行模拟运算的时候，前提假设并不能够百分之百还原真实的经济场景。还原现实场景需要过大的运算量，还有，现实生活的复杂多变性，使得经济学家在进行数学模拟运算时很难考虑周全。但这并不是数学作为工具本身的错误。我们不能单依靠数学，还应该有逻辑推演以及凯恩斯一直强调的直觉的参与，这些在帮助经济学家解决现实生活中的问题时，更加有效。单独依靠数学模拟运算，必然无法摆脱研究偏离实际，最后陷入研究构造性数学的恶性循环，成了为了自圆其说而进行辩护。

综上所述，经济学不能滥用，不能乱用，但使用好了会极大地便利经济学研究者的工作并会促进经济学的发展前进。丁小钦曾经提出过一种在经济学中运用数学的基本思路：先选择需要分析的原始经济概念，再将这些概念利用数学方法表示出来，结合实际经济现象找出数学分析所需的前提假定条件，最后利用数学推导来分析经济现象。这种运用数学的简单思路还是值得参考的。

(中共中央党校研究生院，北京 100091)