基于多元马氏需求转移特征的多产品库存优化策略研究

时间：2024-04-24

陈杰+陈志祥邢灵博

摘要：本文研究具有多元马氏需求转移特征的多产品库存模型的优化问题。首先以多元马尔可夫模型为理论导向，建立多产品马尔可夫需求预测模型，并通过该模型确定了各种产品需求间的关系。进而在此关系的理论基础上，建立了多产品库存模型，并给出其最优（Q，R）策略。

关键词：随机需求;多元马氏链;需求预测模型;（Q，R）库存策略

中图分类号：F274 文献标识码：A 文章编号：10035192（2014）06005406doi：10.11847/fj.33.6.54

Optimal Inventory Policy for Multiple Products with the MultivariateMarkovian Demand Transition Characteristics

CHEN Jie1，2， CHEN Zhixiang1， XING Lingbo2

（1.School of Business， Sun Yatsen University， Guangzhou 510275， China; 2.School of Science and Technology， Qiongzhou University， Sanya 572022， China）

Abstract：This paper studies the optimal inventory policy for multiple products with multivariate Markovian demand transition characteristics. Based on the multivariate Markovian model， the paper first establishes the demand forecast model for multiple products， and constructs the demand relationships among multiple products. Then， based on these relationships proposes a multiproduct inventory model and its optimal （Q，R） policy.

Key words：stochastic demand; multivariate Markov chain; demand forecasting model; （Q，R）inventory policy

1引言

当多产品在市场中产生相互竞争时，其需求之间就会发生相互关系。在随机需求的条件下，这种关系是如何产生的，如何科学地确定和度量它们之间的关系并预测它们的需求，直接影响到库存系统决策者对制定库存策略的合理性和科学性。多元马尔可夫理论是最近10年来兴起的研究领域，是重要的预测理论之一。本文基于该理论，对多产品的需求进行预测，并确定其需求之间的关系。同时，在此理论基础上，对多产品的最优（Q，R）策略进行研究。

国内外学者对多产品库存问题的研究有不少文献。在假定多产品的需求向量为随机的条件下，Dvoretzky等[1] 开始了多产品库存优化模型的研究，认为当该需求的分布函数为已知时，则即可得模型的最优解。Veinott[2]在该模型的理论基础上，提出模型的新假设，即：（1）各种产品的需求为非确定和相互独立;（2）对未满足的需求采取积欠策略，建立了更一般化的动态非确定性多产品库存模型，认为供应商可根据库存水平选择相应的订购策略，以实现最小化库存成本和订购费用的目标，而Topkis[3] 所建立的模型虽然也是在动态和非确定性的条件下提出的，但对假设（2）进行了改进，即对未能满足的需求采取惩罚策略。Lau等[4，5]在单一产品的报童库存模型理论基础上进行多元化的推广，并结合模型有关的多约束条件研究了模型的最优解。Ghalebsaz等[6]以随机需求和订购单契约为条件研究了多产品的报童问题，而Shao和Ji[7]则在模糊数学的理论基础上建立了多产品报童问题的数学模型。Schrijver等[8] 研究了需求满足独立性的多产品库存的综合约束模型，并给出模型的最优（s，S）和（R，Q）策略的解。近年来，国内学者在不同的假设条件下，对供应链中多产品的库存优化问题进行了系统的研究。段吉和朱道立[9]提出了多周期多产品供应量分配的综合模型，而秦进等[10]研究了随机需求和库存决策的多商品物流网络设计的优化模型与算法。夏维力和姜继娇[11]针对顾客的有限理性所引起的需求模糊性和随机性的问题，提出了多心理账户下基于QFD（质量功能展开）的多产品库存优化模型。蒋敏等[12]利用了条件风险值（CVaR）将多产品从多个供应商采购来分散需求不确定性带来的风险，建立了多产品组合采购与库存问题的条件风险决策模型。

在假定产品的需求具有一元马氏性的前提条件下，国外学者对库存优化的问题也进行了研究。Karlin[13]建立了时间离散型的马氏库存模型，并给出模型的最优（s，S）策略，而在基于时间为连续的以及库存成本函数为线性的条件下，Song和Zipkin[14]提出了时间连续型的马氏调制泊松过程模型，研究的结果表明模型的最优（s，S）策略是需求状态依赖的。Cheng和Sethi[15]拓展了上述的研究成果，认为只有在未满足的需求视为失销和零提前期的条件下，最优（s，S）策略才是需求状态依赖的，Chen和Song[16]则进一步发展了马氏库存模型，建立了多级库存模型。Ching等[17]在传统马氏理论基础上提出更一般化的马氏链，即多元马尔可夫模型，并建立了多产品的需求预测模型。虽然基于上述的库存优化模型的各种条件所取得的研究成果日渐趋于完善，但是对于多产品需求的关联性问题的研究还处于初步阶段，缺乏基于多元马尔可夫模型对多产品的库存优化控制问题的深入研究。本文主要利用多元马尔可夫模型作为理论工具，研究多产品库存的最优（Q，R）策略。

2模型描述

考虑到消费者的个人消费能力、偏好和实际需要等众多因素的影响，为了满足顾客需求的多样性，厂商一般趋于面向市场推出多样化产品，比如联想公司最近研发推出的各种笔记本电脑系列就多达五十种。显然，在这样的需求环境下，不同产品的需求量之间具有一定的相关性。比如当顾客面临多种选择时，他们可能因为选择了A系列产品，而不会再选择其它系列的产品，那么A产品的需求量就不仅与自身的需求量有关，还会与其它产品的需求量相关。由此可见，多产品间需求量的关联性对制定优化库存的策略具有一定的影响。因此，库存决策者为了达到优化库存的目的，不但要考虑各种产品的需求，而且在宏观上还要确定各种产品的需求之间的关系。同时，还要在此需求关系的理论基础上，结合总成本模型给出最优订购量和订购点。

为了方便问题的阐述，进行以下符号说明：k=1，2，…，K表示库存系统的周期，而n=1，…，N表示第n种产品;I={i（1），i（2），…，i（l）}表示各种产品的需求状态集;dnk∈I为第n种产品在第k周期的需求状态，k=1，2，…，K;{dnn}=具有转移概率矩阵P（nn）=（pji）l×l的第n条马氏链;

DLnk=第n种产品在第k周期的提前期Lnk内的期望需求量;Dnk=第n种产品在第k周期的需求量，其中Dnk0;P（ji）=第i种产品的需求状态转到第j种产品的需求状态的转移概率矩阵;C（s）nk=第n种产品在第k周期的单位缺货成本;Pnk=第n种产品在第k周期的单位进货价格;C（o）nk=第n种产品在第k周期的单位批量订货成本;hnk=第n种产品在第k周期的单位存储成本;Lnk=第n种产品在第k周期的交货提前期（或生产提前期）;Rnk=第n种产品在第周k期的订货点;SSnk=第n种产品在第k周期的安全库存量;Qnk=第n种产品在第k周期的订购批量;TCkn=第n种产品在第k周期的总成本，其中k=1，2，…，K而n=1，…，N;TCk=所有的产品在第k周期的总成本，即TCk=∑Nn=1TCkn。

接下来我们对本文模型做出一些基本假设：（1）各种产品的需求量Dnk（n=1，…，N）服从正态分布，且满足马尔可夫性;（2）交货提前期固定;（3）产品的价格固定;（4）存储成本是存储变量的线性函数。

2.1多元马氏需求预测模型

现代库存优化控制理论都是以未来的需求预测为基础的，如何对产品的需求做出科学的预测，是库存管理中核心问题。本文主要以多元马尔可夫理论方法对多产品的需求进行统一预测，进而确定它们之间的关系。为了建立多元马氏需求模型，我们首先给出以下引理。

引理1（i）设P（ji）表示第i种产品的需求状态到第j种产品的需求状态的转移概率矩阵，且P（ji）为不可约的;（ii）Xk=（X（1）k，X（2）k，…，X（N）k）T为多元马氏链中各序列于第k周期的需求状态的概率分布，其中X（n）k（n=1，…，N）表示第n种产品于第k周期的需求状态的概率分布，则存在关系权数矩

在库存控制理论中，当需求状态满足马氏性时，要对产品的未来周期的需求状态做出预测，关键在于确定产品的需求状态的概率分布。引理1的结论不但给出了各种产品在下个周期的需求状态的概率分布，还进一步表明了不同产品的需求状态的概率分布的关系。事实上，由Xk+1=AXk，可得第n种产品于第k+1周期的需求状态的概率分布为

X（n）k+1=∑Nm=1λnmp（nm）X（m）k

该式子指出了λnm为概率分布X（n）k+1与X（m）k的关系权数，进而度量了它们之间的关系。当n=m时，表示概率分布X（n）k+1跟它自身于上个周期的概率分布的关系;而当n≠m时，表示概率分布X（n）k+1跟其它产品于上个周期的概率分布的关系。这样我们就基本上解决了本文引言中提出的竞争产品间的需求内在关联性问题。显然，当关系权数λnm越大时，说明X（n）k+1与相应的X（m）k概率分布取值的关系就越密切。

今记向量I^=（i（1），i（2），…，i（l））T，其中i（t）∈I为需求状态（t=1，…，l）。因为X（n）k+1表示第n种产品于第k+1周期的需求状态的概率分布，故E（dnk）=X（n）k+1I^为其于第k+1周期的期望需求状态。根据引理1的结论，我们易得出以下的推论。

推论1 设Xk=（X（1）k，X（2）k，…，X（N）k）T为多元马氏链中各系列于第k周期的需求状态的概率分布，dk=（d1k，d2k，…，dNk）T表示各种产品于第k周期的需求状态，其中dnk∈I，n=1，…，N。则各种产品于第k+1周期的期望需求状态

E（dk+1）=Xk+1I^=AXkI^（1）

引理1的结论只表明了不同产品间的需求状态的概率分布的内在关联性，而推论1的结论不但确定了它们的需求状态的关系，并且进一步对未来库存系统中的需求状态做出理论上的预测。事实上，根据（1）式，我们易得第n种产品于第k+1周期的期望需求状态为E（dnk）=X（n）k+1I^=∑Nm=1λnm·P（nm）X（m）kI^，并且从本式子中易知该产品与其它产品的需求状态间的关系权数为λnm（这里要求n≠m，而当n=m时是与它自身的关系）。然而需求状态不等于需求量，两者为不同的概念，还不可以直接利用（1）式对需求量进行预测。因此，我们需要一些理论工具将两者相互转化。

一般情况下，所谓需求状态就是决策者以划分需求区间的方式对产品的需求量Dnk进行状态划分。如对需求状态采用数值划分方法，即定义落入某一区间的需求称为某一需求状态。若取a的大小作为需求区间的长度，且满足对于k有Dnk∈∪lt=1[（t-1）a，ta），则我们可以定义需求状态为

itf（Dnk），Dnk∈[（t-1）a，ta），t=1，2，…，l;a>00，其它（2）

以上的式子给出了需求量转化为需求状态的一般方法，但如何将需求状态转化为需求量呢？接下来我们将研究这个问题，并给出具体的转化方法。由（2）式可知Dnk为状态依赖的，故我们可设it（Dnk）为当dnk=it时的密度函数。这里的概率密度it（Dnk）与本文的模型假设（1）所要求服从正态分布是不同的，即it（Dnk）为当Dnk属于区间[（t-1）a，ta）时的概率密度，而（Dnk）为Dnk属于整个需求区间∪lt=1[（t-1）a，ta）时的概率密度，也就是视it（Dnk）为Dnk的局部概率密度，而（Dnk）可视为Dnk的整体概率密度。这样的假设方法从理论角度上来讲是不矛盾的，如局部上为泊松分布时，由中心极限定理可知，当样本量充分大时，其概率分布就会趋向于正态分布。于是，我们就可以得出以下的命题。

命题1设it（Dnk）为当dnk=it时的密度函数，X（n）k=（x（n）i1k，x（n）i2k，…，x（n）ilk）为第n种产品于第k阶段的需求状态的概率分布，则

E（Dnk）=∑lt=1x（n）itk∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk（3）

证明因为it（Dnk）为当dnk=it时的密度函数，所以∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk为库存系统处于需求状态it时的期望需求量。由X（n）k=（x（n）i1k，x（n）i2k，…，x（n）ilk）的定义，知系统处于需求状态it时所对应的概率取值等于x（n）itk，t=1，2…，l，同时也是需求量的期望值等于∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk的概率，所以当t取遍所有相应的赋值时，有

E（Dnk）=∑lt=1x（n）itk∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk

命题1的结论确定了变量dnk和Dnk之间的关系，并给出由dnk转化为Dnk的具体方法。该结论在研究马氏理论在库存中的应用是至关重要的，因为马氏理论是根据需求状态的转移概率对系统的未来所处的需求状态作出科学的预测，所以得到的预测结果是需求状态而非需求量。有了命题1的理论基础，接下来我们即可建立多产品的多元马氏需求预测模型了。

记ηk=（η1k，η2k，…，ηNk），其中ηnk=（η（n）i1k，η（n）i2k，…，η（n）ilk）T，而η（n）itk=∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk，t=1，2，…，l（也就是当dnk=it时的期望需求量）。显然，由引理1和命题1的结论以及（3）式可知，各种产品于第k+1周期的期望需求量为

E（Dk+1）=Xk+1ηk+1=AXkηk+1（4）

这里A和Xk如引理1所定义，而D（k+1）=（D1（k+1），D2（k+1），…，DN（k+1））T，并称（4）式为多元马氏需求预测模型。

由该预测模型，易知第n种产品于第k+1周期的期望需求量为

E（Dn（k+1））=X（n）k+1ηn（k+1）=

∑Nm=1λnmP（nm）X（m）kηn（k+1）（5）

E（Dn（k+1））的表达式，进一步表明了单个产品在系统中于下个周期的需求量不但与现阶段的相关，而且还与其它产品的需求量有着密切的关联。

2.2多产品总期望成本模型

因为本文只考虑库存系统在下个周期的控制优化问题，所以若{1，2，…，k}为系统的历史周期，则未来系统的下个周期为t=k+1。设（Dn（k+1））为第n种产品于第k+1周期的需求量Dn（k+1）的概率密度，Φ（Dn（k+1））为其相应的分布函数。因为提前期内的缺货概率为P（DLn（k+1）>Rn（k+1）），故我们可以确定一个安全库存量，即

3.2最优订购点

由多产品总期望成本模型的最优订购批量Q*n（k+1）的表达式，可知其取值依赖着提前期内的期望缺货量SLn（k+1）（Rn（k+1））的值，所以通过确定Rn（k+1）的最优值，即最优订购点，就可以确定最优订购批量Q*n（k+1）的值。由于Rn（k+1）隐含在积分函数中，对其求解比较复杂些。为此，我们先介绍最优缺货概率和最佳服务水平的概念。

若第n种产品在第k+1周期的提前期Ln（k+1）内的需求量为DLn（k+1），单位缺货成本为C（s）n（k+1），则产生一种临界状态，即当订货点增加一个单位数量时，若提前期的需求量小于订货点，则导致多一个单位的库存成本;反之，则导致多一个单位的缺货成本。缺货概率和缺货成本都是订货点的单调递减函数，所以最优缺货概率就是安全库存增加时导致的存储成本与缺货成本相等的概率。

在随机需求条件下的库存优化控制，重点不在于订货量，而是在于订货点和安全库存的确定。因此，为了减少缺货，需要建立一个安全库存，而安全库存量的大小取决于管理者对缺货的容忍程度，即其希望向消费者提供什么样的供应服务水平。由命题3知，最佳订货点=提前期内的期望需求量+安全库存。同时由（5），（10）和（12）式，我们不难发现当各种需求量发生关系时，由总期望成本模型T（k+1）C（Qk+1，Rk+1）所确定的每一种产品的最优（Q，R）策略，不但与自身的需求量有关，而且与其它产品的需求量相关。

4结论与展望

本文在理论上研究了多产品库存的最优（Q，R）策略问题，即在建立多元马氏需求预测模型的理论基础上，对多产品的需求量提出了预测方法，进而提出了多产品总期望成本模型，并在此模型的条件下，研究了其理论上的最优（Q，R）策略的解。本文的结论表明需求具有相关性的多产品的联合库存决策与独立需求的多产品库存决策有所不同。多元马氏需求预测模型不但给出了多产品的需求预测方法，还确定了它们的需求之间的关系，而独立需求只考虑对各产品的需求进行预测，忽略它们的需求之间的关联性。因此，在市场竞争环境下，基于独立需求的理论视角去研究多产品的库存系统问题存在一定的局限性，而多元马氏需求预测模型克服了这个局限性。在本文的基础上，以下问题可作为下一步的研究内容和方向：比如，在模型中引入折扣因子，可以扩展成具有折扣因子的订货模型。其次，考虑供应提前期为随机的条件下建立库存优化模型。

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