我国期权市场的定价核研究——基于马尔可夫状态转换的分析

■王皓天，宋豪漳

一、引言与文献综述

定价核又称随机贴现因子，因其丰富的内涵成为资产定价领域研究的重点。在传统资产定价理论中，所有资产价格在无套利的情况下都可以表示为定价核与资产收益乘积的期望值，因此定价核能够反映出资产价格、预期收益和风险溢价之间的关系，为资产定价提供了一个最一般、最通用的分析框架。基于状态价格向量和一价定律，定价核等于风险中性概率分布和客观概率分布的比值，传达了投资者对风险价值的评估。在代表性投资者的模型中，定价核与代理人的边际效用相关，涉及了代表性投资者的偏好问题。因此，通过研究定价核，可以反映投资者对不同市场状况的风险偏好及其预期状况，进而对资产价格和未来收益进行分析和预测。

经典理论认为在理性投资者和完全市场下，定价核关于经济总财富单调递减。然而，Rosenberg&Engle（2002）利用期权市场数据的研究表明，美国金融市场的经验定价核并非是关于回报率的单调递减函数，往往会存在局部递增的情况。这与经典理论结果相悖，这一现象被称为“定价核之谜”。随后，大量的文献采用不同的实证方法和数据，均发现美国股指市场存在“定价核之谜”现象，并且经验定价核对动态资产配置和未来客观概率分布预测具有较好的效果。

2015年2月9日，我国推出了首支股指期权上证50 ETF期权，盛积良和冯玉兰（2018）的研究表明，国内期权的上市改善了股票市场的价格发现功能，对完善金融市场功能具有重要作用。随着近几年期权市场的不断发展和完善，上证50 ETF期权的成交量逐年增加，为中国金融市场的经验定价核研究提供基础。然而，国内相关研究却发展缓慢。仅有史永东和霍达（2020）采用GARCH模型，对上证50ETF期权市场进行分析，结果显示，中国金融市场存在“定价核之谜”，且“定价核之谜”对下期市场走势具有一定的预测作用。然而，根据图1所示，上证50ETF指数的波动率存在显著的状态转换特征。当市场指数的波动率存在结构性突变时，采用固定参数的GARCH模型会导致在长期情况下，拟合的波动度会回归到长期均值，进而高估或低估波动率，产生系统性偏差，影响经验定价核的形状和定价效果。

图1 上证50 ETF已实现年化波动率

为避免上述问题，采用基于马尔可夫状态转换的GARCH（MSGARCH）模型，根据波动率的特征划分上证50 ETF的市场阶段，并对每个市场阶段采用全新的参数模型进行估计。并且使用MSGARCH模型和基于核函数的正交多项式法分别估算客观概率分布和风险中性分布，进而得到考虑状态转换的经验定价核分布，并对经验定价核的形状成因进行分析，这为国内金融市场经验定价核研究提供新的视角。

二、研究方法

（一）估算经验定价核

与已有研究类似，本文也将通过分别估算客观概率密度和风险中性概率密度，进而得到上证50ETF的经验定价核。在无套利的原则下，经验定价核计算如式（1）所示：

（二）估算客观概率分布

Mikosch&Starica（2004）指出具有固定参数的标准GARCH模型并不能很好的拟合跨度较长的时间序列。在多周期的方差预测中，标准的GARCH模型总是会迅速的回归到长期的均值水平，造成系统性误差。因此，采用Ardia et al.（2018）提出的基于马尔可夫状态转换的GARCH模型（MSGARCH模型），对上证50ETF指数的客观概率密度进行估计。

根据Ardia et al.（2018），MSGARCH模型中动态过程如式（2）所示：

其中，yt为t时刻的收益率，εk，t为收益率的残差，hk，t为条件方差。D（0，1，ξk）表示连续分布，其均值为0，方差为1，其他参数所构成的向量为ξk。st是一个整数随机变量，取值范围为[1，K]。潜在状态过程st由具有遍历性的一阶齐次马尔可夫链产生，其状态转移矩阵P为：

该转移矩阵描述了一个带有K个结构性突变的GARCH模型。固定参数的标准GARCH模型可以看作是K=0时的特殊情况。

在估计上证50ETF指数历史收益率的MSGARCH模型的参数后，本文将残差除以条件波动率得到标准化残差。之后进行10000次的蒙特卡洛模拟，拟合未来28天的上证50ETF的对数收益率。最后利用高斯核密度估计，将得到的数据拟合成光滑的pdf曲线，进而得到客观概率密度分布。参考Sliverman（1986），选择的核密度估计的带宽等于，其中σ是基于指数水平模拟数据的年化收益率的标准差。

（三）估算风险中性分布

参考Barletta et al.（2019），采用一种非结构化的方法估计上证50ETF期权的风险中性分布。这是由于传统的结构化方法假设风险中性分布为状态变量的随机动态方程，而随机方程的函数形式受到模型的结构化参数限制，进而造成风险中性分布的估计偏差。当采用非结构化方法估计RND时，可以避免因对函数形式的错误设定而造成错误估计，降低定价误差。

根据Barletta et al.（2019），在风险中性和无套利假设下，在当期时刻为t，到期时间为τ时，看涨期权和看跌期权价格分别为：

其中，fQ（s）为条件风险中性分布。在估计风险中性分布中，本文采用的方法是基于核密度的正交多项式展开。风险中性分布的展开式为：

在给定核函数φ时，估算概率密度函数的关键就在于估计式（5）中的系数c1，…，cn，而估算系数的问题就等价于风险中性分布下的期权价格与实际观测值的差值最小化问题。n阶扩展式下的期权价格定义为：

因此，对系数的估计就是进行目标函数的最优化问题，目标函数的具体设定及其求解见Barletta et al.（2019）。

三、实证分析

（一）数据来源和描述性统计

使用上证50 ETF期权数据及其基础资产价格分别估计风险中性概率分布和客观概率分布。数据来源于Wind数据库，所用样本为2015年2月9日—2020年12月31日的每日收盘价格。为保证期权的活跃性以进一步体现出金融市场信息，本文剔除了交易量为0的期权数据。参考Christoffersen et al.（2013），本文选择每月距离到期日最接近28天的周三期权数据对风险中性概率分布进行估计。经过筛选，获得了1902个满足限制条件的期权合约，其描述性统计如表1所示。从表1可以看出，上证50 ETF期权存在典型的波动率微笑，并且期权交易在平价处最活跃。

表1 上证50 ETF期权描述性统计

（二）划分与预测市场波动率结果

首先对2015—2020年的上证50 ETF的对数收益率序列分别构建传统GARCH模型和存在状态转换的MSGARCH模型。为保证MSGARCH模型中协方差的稳定性，本文对参数施加了限制条件，为α0，k>0，α1，k>0，βk>0和α1，k+βk<1。根据AIC与BIC信息准则，采用GARCH（1，1）模型和t分布下2种状态的MSGARCH（1，1）模型进行估计，两个模型的拟合结果如表2所示。通过比较，MSGARCH模型比传统的GARCH（1，1）模型具有更高的似然率。为验证MSGARCH参数约束的有效性，本文进一步使用似然比检验，结果显示两模型的似然率存在显著的差异。因此，最后采用MSGARCH模型对市场收益率序列的拟合估计结果。

表2 GARCH模型和MSGARCH模型估计结果

利用MSGARCH模型，进一步计算出高波动率和低波动率时期的无条件波动率分别为0.274和0.109。比较两个状态下的参数可以发现，高波动状态的波动率过程对过去收益率反应更加剧烈（α11=0.0993），低波动率时期则对过去收益率反应更平缓（α12=0.0230）。根据Ardia et al.（2018），MSGARCH模型中不同状态下的波动率过程的持续性可以用α01+1/2α11+β1表示。表2结果显示，高波动率时期的持续性为0.9169，而低波动率时期为0.9344，均具有较高的持续性。因此，高波动状态下的波动率过程具有以下特点：一是波动率水平高；二是对过去收益率的反应更剧烈；三是具有更高的持续性。低波动率时期则在前两点上呈现出相反的特点。

根据MSGARCH模型的估计结果，将样本区间划分为3个阶段，其中高波动率时期为2015年2月—2016年4月和2017年11月—2020年12月，低波动率时期为2016年5月—2017年10月。这种划分也符合中国金融市场的实际情况，2015年上半年，由于中国政府实施体制改革，对金融市场放宽融资要求，杠杆交易制度的安排导致中国金融市场出现大量资金流入，股价迅速上涨。到2015年6月，由于场外配资清理、场内融资和分级基金去杠杆等因素，金融市场开始出现股灾，股价不断下跌。在2016年初，中国股市新添了熔断机制，然而在政策实施后的3天内，市场就发生了4次熔断，导致两次提前休市。在2015年2月—2016年4月，整个金融市场经历了从牛市向熊市的迅速转变，因此被划分为高波动率时期。而在2016年初至2017年末，中国股市在政府的干预下逐渐走出熊市，指数稳步上升，这段时间则被划分为低波动率时期。最后，2018年上半年由于不断爆发的信用事件以及美国股市暴跌，导致中国股票指数大幅回调，下半年中美贸易战的全面升级以及2020年的新冠肺炎疫情，都导致国内金融市场的系统性风险迅速增加，因此将其划分为高波动率时期。

在本文的研究中，MSGARCH模型的关键优势在于避免了固定参数的GARCH模型造成的系统性误差，即长期高估或低估未来波动率而迅速回归到长期均值水平。因此，使用估计的MSGARCH和GARCH（1，1）模型计算条件波动率，并与已实现的波动率进行比较。图2的结果表明，GARCH（1，1）模型估计的未来波动率持续处在长期均值的状态，因此造成在高波动率时期低估未来波动率，而低波动率时期高估未来波动率的情况。相比而言，由于不同状态下采用完全不同的参数，MSGARCH避免了标准GACH造成的周期性偏差，提高了对未来波动率的预测精度。

图2 条件波动率与已实现波动率比较

（三）经验定价核估计结果

使用MSGARCH模型和基于核函数的正交多项式方法，分别测量出上证50 ETF的客观概率密度和风险中性概率密度，进而得到2015年至2020年的经验定价核。图3展示了高波动率和低波动率时期的风险中性概率密度和客观概率密度。结果显示，风险中性概率分布相比客观概率分布总体呈现左偏厚尾的特征。具体而言，在高波动率时期，客观概率分布与风险中性分布的左侧比客观概率分布更加厚尾，而右侧则相对薄尾。在低波动率时期，风险中性分布的两端尾部都比客观概率分布更厚，并且相比高波动率时期，风险中性分布与客观概率分布在左尾处的差异明显减少。这将导致低波动率时期与高波动率时期的定价核形状产生显著的差异。

图3 上证50 ETF风险中性概率分布与客观概率分布

利用式（1），进一步计算出2015年2月—2020年11月上证50 ETF的经验定价核。图4展示了高波动率时期和低波动率时期上证50ETF的EPK。图4显示，在不同的波动率时期，经验定价核的形状存在明显差异。在低波动率时期，大部分的经验定价核呈U型分布，经验定价核的左右两端分布对称且极端值较大，“定价核之谜“现象表现明显。而高波动率时期经验定价核大多数为递减型分布或波浪形分布，在右尾处并没有出现明显的递增，经验定价核的左端更高，且极端值相比于低波动率时期较小。

图4 2015—2020年上证50 ETF经验定价核

本文认为造成上证50 ETF在不同时期定价核形状差异的原因可能是在不同时期上证50 ETF波动率的特征。根据表2结果显示，在高波动率时期，由于波动率对过去收益率的反应更高，同时高波动率具有更高的持续性，投资者会更加恐慌，往往会倾向于购买期权来对冲风险，高的风险对冲需求导致在左侧形成一个较大的方差风险溢价，风险中性分布左侧相比较会更厚，使得经验定价核的左尾相比于右尾更高，更有可能在右尾出现递减形状。而在低波动率时期，收益率变动比较平稳，波动率对过去收益的反应更弱，冲击也更短暂，因此投资者情绪相对稳定，相比高波动率时期，左侧方差风险溢价减少，风险中性更倾向于对称分布，进而导致U型经验定价核的产生。

根据上述理论，当投资者由于市场收益率的较大波动而处于恐慌情绪时，会通过购买期权来对冲所面临的投资风险，对冲需求的增加会在左侧形成一个较大的方差风险溢价，进一步造成风险中性分布的厚尾，同时导致隐含波动率曲线和经验定价核形状出现差异。因此，基于上述分析，进一步对投资者恐慌情绪进行测算，分析不同市场阶段下投资者的对冲需求；并对两种波动率状态下的隐含波动率曲线进行分析，判断不同市场阶段下隐含波动率曲线的形状是否存在差异。

通过对2015年2月—2020年12月间IVIX指数进行计算，以此判断在此期间的投资者情绪变动情况。然而，IVIX指数已经于2018年2月暂停发布，因此本文采用相同的计算方法，对2018年2月以后的IVIX指数进行补充。图5结果显示，投资者的恐慌情绪与MSGARCH模型划分的高/低波动率的市场阶段基本吻合，在高波动率时期，尤其是2015年的股灾期间，IVIX指数达到最高峰，投资者情绪处于极度恐慌当中，进而通过购买看跌期权对冲风险；在低波动率时期，IVIX指数则相对较小，投资者的情绪更加平稳，在左尾处购买期权以对冲风险的需求变低。

图5 中国金融市场恐慌指数

此外，本文进一步计算了两种波动率时期的隐含波动率曲线，所得结果如图6所示。结果显示，在不同的波动率时期，隐含波动率曲线同样存在明显差异。在高波动率时期，上证50 ETF出现隐含波动率斜笑。然而在低波动率时期，隐含波动率曲线出现U型，即波动率微笑现象。此外，从数值上比较，高波动率时期的隐含波动率整体高于低波动率时期的隐含波动率，但在右尾处小于低波动率时期。这与不同时期风险中性分布的差异相吻合，即高波动率时期的风险中性分布的左尾更厚右尾更薄，而低波动率时期的风险中性分布左右尾更加对称。其原因在于高波动率时期所表现出的向下倾斜的隐含波动率曲线可能与股市崩溃有关，此时投资者会倾向于通过买入看跌期权来为自己提供保险，进而为自己能够承受的最大损失设定一个下限。图6所显示的隐含波动率曲线差异也从侧面验证了不同市场阶段下投资者的投资需求变化会通过方差风险溢价影响风险中性分布的形状，而风险中性分布的形状差异则会进一步造成经验定价核形状在不同市场阶段存在显著差异。

图6 上证50 ETF隐含波动率曲线

四、经验定价核的经济特性分析

（一）定价效果分析

为检验考虑波动率状态转换后的经验定价核的有效性，比较了MSGARCH模型和传统GARCH模型得到的经验定价核的定价效果。参考Sichert（2020）的方法，本文使用欧拉方程误差对两类经验定价核的定价误差进行比较。分析欧拉方程误差是检验候选定价核函数的一种非参数的标准方法，其可以从经济学上解释为定价误差。即对于任意资产j，都将满足条件欧拉方程：

其中，Rt表示资产j的收益率，Mt为随机贴现因子。由于在实证当中只能测算无条件的定价误差。因此，资产定价误差可以被定义为其历史平均收益率与由经验定价核M̂t隐含的风险溢价之间的差额。而检验一个经验定价核是否有效的必要条件即为欧拉方程平均误差是否显著为零。若拒绝了零的原假设，则表明该定价核的定价效果并不理想。利用式（10），可以计算无条件的欧拉方程误差：

其中，̆为已实现经验定价核，通过将已实现的指数收益率水平Rt，t+τ代入两条件经验定价核的函数形式中计算得出。

表3 经验定价核定价误差估计结果

（二）经验定价核的期限结构

为检验经验定价核的期限结构状况，除了计算期限为4周（28天）的EPK外，采用相同方法对距离到期日1周，2周和6周的经验定价核进行计算，所得到的结果如图7所示。结果显示，在其他期限结构下，本文的结论依然成立，即高波动率状态下的经验定价核呈递减分布，而低波动率状态下的经验定价核呈U型分布。此外，图7显示在高波动率时期，期限结构短的经验定价核左尾处会更加陡峭，而在低波动率时期，期限越短的经验定价核在两尾处的斜率越大，U型形状越明显，随着期限的增加，经验定价核形状逐渐变得平缓。这一实证结果与Driessen（2019）中的结论类似，即随着期限变长，“定价核之谜”逐渐消失，经验定价核的局部递增状况越来越不明显。造成这种趋势的原因在于投资者更愿意使用短期期权来对冲风险，这种对冲需求在两尾处造成了方差风险溢价，进而导致短期经验定价核出现局部递增，即出现“定价核之谜”。

图7 经验定价核期限结构

（三）市场收益相关性研究

在实证分析中，发现不论是高低波动率时期，过去收益率对当前波动率的影响都是显著的，且波动率过程都具有较强的持续性。因此，上证50 ETF指数收益率会受到过去收益率因素的影响。而在不同的波动率状态下，经验定价核能够反映投资者对未来市场不同情况的预期，传达投资者对风险价值的评估。本文参考史永东和霍达（2020）的研究方法，用下期的对数收益率对当期资产的已实现经验定价核进行回归，并选取已实现波动率、流动性指标、长短期利差和去除趋势后的无风险利率作为控制变量，建立回归方程式：

其中，Rt，t+τ为上证50ETF在t时刻到到期日间的对数收益率，Mt为当期已实现经验定价核，Volt、Liqt、TMSPt和RRELt为控制变量，分别表示第t期的已实现波动率、换手率、长短期利差和去除趋势后的无风险利率。

经验定价核的回归结果如表4所示。结果显示，在期限为1个月时，定价核统计量的系数为-0.0297且在5%水平上显著，说明当期经验定价核对下一期收益率有着显著的负向影响。然而当期限变为2个月时，定价核统计量的系数不再显著，这说明定价核对未来指数收益率的预测作用仅在短期内有效。造成这种情况的原因就在于经验定价核反映的是投资者对未来市场的短期预期，这种预期会对短期市场收益的预测具有一定的指导作用。此外，本文还根据Bollerslev et al.（2009）的方法构建关于方差溢价的回归模型，结果显示经验定价核对未来的市场收益率预测效果要优于传统的方差溢价模型。

表4 经验定价核与未来市场收益率回归结果

五、结论与启示

本文首先利用考虑马尔可夫状态转换的MSGARCH模型对上证50ETF对数收益率序列进行拟合，划分不同波动率特征的市场阶段，预测市场波动率。随后，在基于MSGARCH模型的基础上计算客观概率分布，并利用基于核函数的正交多项式法计算风险中性概率密度，进而计算得到不同市场阶段下中国期权市场的经验定价核。最后，对考虑状态转换后的经验定价核的定价效果，期限结构和预测能力进行研究。研究结果表明：第一，上证50 ETF指数波动率存在明显的周期性变化，而考虑了状态变换后的MSGARCH模型降低了传统GARCH模型在预测条件波率时存在的周期性误差。第二，由于不同状态下波动率特征和投资者情绪造成隐含风险中性分布的变化，经验定价核在低波动率时期呈现U型分布，而在高波动率时期主要以递减型或波浪型分布为主。第三，考虑波动率状态的经验定价核的定价效果显著优于传统定价核。第四，上述结论在其他期限下同样成立，并且随着期限结构的增加，经验定价核的形状逐渐平缓。第五，经验定价核与未来1个月的市场收益率呈显著的反向关系。综上，本文认为由于金融市场波动率的周期性变化，上证50 ETF期权的定价核在不同时期存在明显的差异，且考虑状态转换后的经验定价核对未来短期市场收益具有良好的预测作用。

本文的研究结论深化了对国内金融市场的经验定价核形状及其成因的认识，并检验了新的经验定价核定价与预测功能，结果表明新的经验定价核具有良好的定价效果，且对未来短期收益率具有一定的预测作用，拓展了对国内金融市场经验定价核的研究，具有重要的现实意义。上述研究结果的启示在于：一是国内金融市场存在结构性突变，因此研究者与投资者在进行理论研究和投资实践时应当将这一特征考虑在内，以避免周期性偏差对研究结果和投资行为的影响。二是期权市场所隐含的经验定价核能够较好地捕捉投资者情绪，反映投资者对未来市场的风险价值预期。三是考虑状态变换后的经验定价核具有良好的价格发现功能，并能够对未来短期市场收益率进行预测，为投资者和市场管理者在进行收益风险管理和分析期权市场状况时提供指导与帮助。