佩雷尔曼的数学边界

本刊记者 张方方

佩雷尔曼的数学边界

本刊记者 张方方

佩雷尔曼

难倒世界的庞加莱猜想

1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学猜想：任何一个单连通的、闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

一个“闭的三维流形”就是一个封闭的三维球面；“单连通”就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续收缩成一点。当一个封闭的三维球面同时具有单连通的特点，将会意味着什么？打个比方，假如用一条橡皮带去勒住一个充满气的气球，既不能把橡皮带扯断，也不让它离开气球表面，慢慢地，这条橡皮带会把气球勒成葫芦形状，最终在这个“葫芦”的中心位置勒成一个点。但同样的状况放到轮胎面上，在不扯断橡皮带或者轮胎面的情况下，不管从哪个角度下手，也没办法把它缩到一个点上。此时，气球是单连通的，而轮胎不是。也就是说，如果曲面上所有的封闭曲线都能在这个曲面上逐渐缩成一个点，那么曲面必为拓扑球面。

这套逻辑没毛病，但庞加莱猜想的证明过程向世界数学界宣告了它没有那么简单。除了庞加莱本人，英国数学家怀特海、希腊数学家帕帕奇拉克普罗斯……一跟头栽到这个猜想上的数学家们实在太多了。直到上世纪60年代，美国数学家斯梅尔建议在更高维度上去解决庞加莱猜想，才使其证明进程前进了一大步。1966年，斯梅尔因对庞加莱猜想五维空间及五维以上的证明获得菲尔兹奖；1986年，美国数学家福里德曼因证明了四维流形拓扑的庞加莱猜想获得菲尔兹奖。但三维庞加莱猜想，没有任何进展。

到这里为止，数学家们所采取的几乎还都是拓扑学方法。对庞加莱猜想来说，一入拓扑深似海，随时可能会“沉船”，且长期“打捞”不上来。为什么不换一个工具试试呢？其实是有的。美国数学家瑟斯顿就引入了几何结构对三维流形进行切割，并因此得到1983年菲尔兹奖的青睐。而另一位菲尔兹奖获得者丘成桐，更看好瑞奇(Ricci)流在庞加莱猜想上的前景。然而，这些努力，也依然没能取得实质性的进展。

为什么这么多数学家前赴后继地奔走在庞加莱猜想上？牛津大学教授马库斯·索托的话或者能够说明一些问题。他认为，“这是一个重要的数学和物理难题，因为它探讨的是宇宙应该是什么形状的”。没有一个数学家能够拒绝对这个宏大命题的好奇心。

2000年5月24日，美国克雷数学研究所发出一道“悬赏令”，以单项100万美元的奖金悬赏7项“千年难题”。庞加莱猜想名列榜上，与P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题、霍奇猜想、黎曼假设、杨—米尔斯存在性和质量缺口、纳维叶—斯托克斯方程的存在性与光滑性、贝赫和斯维讷通—戴尔猜想一起，成为名扬世界的七大数学难题。沉醉于庞加莱猜想中的数学家们，也希望能有更多人投入到对猜想的证明中，以解决困扰了数学界近1个世纪的疑惑。

2002年11月到2003年7月，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在一家专门刊登数学和物理论文的网站上连续贴出了3篇论文，声称已经“勾勒了对这一猜想的综合证明的框架”。

这些文章在学术界引起了轰动，但没有一个人敢断定这些工作是千真万确的。如何判断并证实？看起来还有许多工作要去做，佩雷尔曼却“任性”地退隐了，似乎解出了这道题之后，剩下的事就与他无关了。“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”佩雷尔曼说。

鲜少有人能拒绝这枚来自菲尔兹奖的奖章

“我从来没有想成为唯一破解者”

佩雷尔曼在证明庞加莱猜想时，采用的也是Ricci流。

R i c c i流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程，该理论由汉密尔顿在1982年建立。该理论认为，如果在流形上给定一个度量，再用Ricci流发展方程加以改进，流形的曲率也随之伸展。丘成桐认为，利用这个结果可以完成一系列的拓扑手术，以构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维庞加莱猜想。但是，在使用Ricci流进行空间变换时，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。借鉴丘成桐、李伟光在非线性微分方程上的工作，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文，并在随后的几年中逐渐提出一些关于证明庞加莱猜想的想法。

与此同时，身在俄国的佩雷尔曼也十分认同Ricci流在证明庞加莱猜想上的关键性作用。他认为，汉密尔顿的工作遇到了瓶颈，而他本人已经发现了解决问题的出路。

2002年11月，佩雷尔曼在网站上张贴了他的第一篇文章，并将文章摘要以电邮发送给一些数学家，包括汉密尔顿、田刚和丘成桐等。2003年4月起，佩雷尔曼应邀在美国进行巡回演讲。到2003年7月，他的后两篇文章在网上公布。证明庞加莱猜想，让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道，即使是《自然》《科学》这样声名显赫的杂志采访，他也不为所动。2004年，他任职的斯杰克洛夫数学研究所推荐他当选俄罗斯科学院院士，他拒绝了；2005年，他干脆辞掉了在斯杰克洛夫数学研究所的职位，退隐江湖，不知所踪。期间，他不曾对自己的工作论证问题发表过意见，用他的话说，“人们需要时间去适应这个有名的问题不再是猜想这样一个事实”，而他不能去影响这个过程。

于是，大神挥手自兹去，只留下全世界的数学家们一字一句地梳理他的论文，填补细节，寻找漏洞，苦心孤诣地验证这项工作正确与否，尽管这些验证也关系到佩雷尔曼是否能够拿到千禧年大奖的百万美元奖金。最终，中山大学数学教授朱熹平和另一位华人数学家曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，给出了庞加莱猜想的完全证明。等到国际数学界终于就此达成共识，已经是2006年。这一年，佩雷尔曼刚好40岁。

此前，曾经有两位数学家因为证明高维庞加莱猜想获得菲尔兹奖。而三维庞加莱猜想是百余年来悬在国际数学界头顶的达摩克利斯之剑，它的封顶，让佩雷尔曼成为2006年菲尔兹奖的最大热门。作为数学界的诺贝尔奖，菲尔兹奖更注重奖励年轻数学家。按照规定，这一届的的获奖人在2006年1月1日应该未满40岁。佩雷尔曼出生于1966年6月13日，恰巧在菲尔兹奖的年龄门槛上。

2006年8月22日，第25届国际数学家大会在西班牙首都马德里举行，国际数学联合会（IMU）公布了4位菲尔兹奖获得者，佩雷尔曼果然名列其中。但是，当西班牙国王卡洛斯一世在3000名世界一流的数学家面前，为获奖者颁发奖章时，佩雷尔曼缺席了。

传说，国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼，他唯一的目的就是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。谁都知道这是数学界的最高荣誉，此前共有44位数学家获此殊荣，没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball的劝说，佩雷尔曼的回答只是“我拒绝”。他解释说：“如果我的证明是正确的，别种方式的承认是不必要的。”

同年年底，《科学》杂志为庞加莱猜想盖棺定论，将之选入“2006年十大科学进展”，并指出：“俄罗斯人佩雷尔曼给出的庞加莱猜想证明至少是10年内最大的突破。而其他人却花了这10年中相当多的时间来证明他的结论。佩雷尔曼解决了数学界最令人肃然起敬的问题之一。”

之后，轮到克雷数学研究所纠结了。按理说，庞加莱猜想得到证明，证明人获得百万美元的悬赏奖金，是一件自然而然的事。可遇到佩雷尔曼，偏偏就出了岔子。按照千禧年数学大奖的立项规定，获奖者必须在权威数学期刊上发表论文，但显然，佩雷尔曼认为在网站上公而告之以后就大功告成了，甚至连获得菲尔兹奖的消息都不能把他吸引出来。哪怕有人提醒他，在网上随便发表如此重要的问题解答论文可能会带来风险，假如证明过程有纰漏也许会令他蒙羞，甚至被他人纠正而失去成果的优先权。“如果我错了而有人利用我的工作给出正确的证明，我会很高兴。我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。”

无论如何，2010年3月18日，克雷数学研究所还是对外公布，千禧年数学大奖有了第一位获奖人——佩雷尔曼。十余名世界级的数学家在巴黎为佩雷尔曼颁发千禧数学奖，他们中的多数人从未与佩雷尔曼谋面或是有任何接触。更重要的是，佩雷尔曼本人依然没有到场。

大奖于他如浮云

“NO先生”佩雷尔曼

佩雷尔曼不是从庞加莱猜想开始说“NO”的。

早在1982年，16岁的佩雷尔曼就在国际代数和几何奥林匹克竞赛中拿到了金奖，甚至创造了有史以来的最高分——42分，这项比赛的满分。获奖1个月后，美国耶鲁大学向他递出了橄榄枝，他们看好这位数学神童的潜力，为他提供了丰厚的奖学金，但佩雷尔曼表示对赴美深造没有什么兴趣。

1993年，佩雷尔曼解决了数学上一个长期存在的问题——“灵魂猜想”。灵魂猜想是美国纽约大学库朗数学研究所的杰夫·齐杰教授与另一位数学家共同提出的，他们在研究非紧非负曲率的黎曼流形中发现，所有的拓扑信息都包含在一个紧集合上，这个集合被命名为soul（灵魂）。灵魂猜想认为，如果上述流形在某一点的曲率是严格的，那么此时的流形同胚于欧氏空间。20年来，很多人写了长篇大论来分析这一问题，但仅仅只能做出部分证明。佩雷尔曼则做了一个能够让所有人惊讶不已的完整证明——而且，他只用了4页纸！这让佩雷尔曼一举成为数学界的年轻明星。这一年，他才27岁。

3年后，因为包括灵魂猜想在内的一系列漂亮的工作，欧洲数学协会决定授予佩雷尔曼杰出青年数学家奖。该奖项四年一度，只颁发给32岁以下的数学家，是欧洲的顶级数学奖。但当杰出青年数学家奖找到佩雷尔曼时，他只是轻描淡写地回复“我暂时不需要这些”。至今，佩雷尔曼还是该奖项史上唯一一个拒绝领奖的获奖者。

事实上，佩雷尔曼不感兴趣的不只是飞来的荣誉和横财。上世纪90年代初，因写出了几篇非常有原创性的论文，佩雷尔曼受邀在国际数学家大会作报告。他的成就引起了美国数学界的关注。随即，加州大学伯克利分校、斯坦福大学、麻省理工学院、普林斯顿大学等一批著名学府都对他发出了高薪任教邀请，但他选择了在1995年夏天回到圣彼得堡。从此悄然隐身，直到8年后，突然在互联网上张贴出庞加莱猜想的证明。

而2003年发表庞加莱猜想的证明，并不意味着佩雷尔曼重出江湖，相反他再次从人们视野中消失了。据说，他和母亲一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太人家庭很少对外开放。除了定时光顾离家不远的一个副食商店外，他基本不离开自己的家。

这家副食商店商品检验员奥丽加·明茨和塔季扬娜·波里亚科娃在接受采访时曾详细描述过佩雷尔曼的状态——多年来，佩雷尔曼总是在同一个时间来商店，穿一身黑色的衣服，留着长长的头发和长长的指甲，他买的东西也基本没有改变过：一个黑面包，一包通心粉，比菲多克牌和比菲来弗牌酸奶。水果部那边他几乎都不过去，进口苹果和橙子他似乎买不起。他也不买酒水和其他多余的东西。总之，“只买那些很便宜又好做的简单食品”。

那么，是因为付不起路费才不去领奖吗？外界不知道的是，数学家大会组委会其实会为他支付一切相关费用，不需要他去考虑“成本”。不管怎样，一再拒绝领奖和数年的隐居生活，围绕着佩雷尔曼产生了不少的流言，这一名声甚至超越了他的数学成就。埃及《金字塔周刊》中一篇题为“佩雷尔曼：最聪明的数学家”的文章居然认为，只有金字塔设计者的后裔，才有可能破解庞加莱猜想这一百年谜题。

当然，在数学界，佩雷尔曼依然是最受尊敬的人物。如同英国广播公司（BBC）评价的，他破解了庞加莱猜想，“是数学发展，也是人类思想发展的里程碑”。英国曾经评选出十位数学天才，认为他们的革命性发现改变着我们的世界，佩雷尔曼榜上有名。

数学家的边界

《可能与不可能的边界：P/N P问题趣史》中写到过心理学家对数学家做的一个实验。实验开始时，心理学家把一个数学家关进了一个小木屋里，地上放一些引火物、一张桌子，桌子上有一桶水。然后心理学家点着了地上的引火物。数学家提起桌上的水桶把火扑灭了。

好，一切正常。当心理学家进行二次实验时，做了一个改变，把桌上的水桶放到了靠近引火物的地上。这一次，当心理学家点火后，数学家的举动令人瞠目张舌，他提起水桶，放回到桌上，等待。实验的结局是，心理学家和同事们好不容易才把数学家从即将烧塌的小木屋里救出来。

“为什么不像上次一样把火扑灭？”面对心理学家的发问，数学家回答：“我已把问题归结到1个之前解决过的情形。”

这个回答，也是佩雷尔曼的边界。在他的生活里，只分为已经被证明过和未被证明过的数学题，而他只对后者全力以赴。

2003年春季，佩雷尔曼应邀在纽约大学柯朗研究所演讲时，报告厅里挤满了记者和慕名而来的非专业听众。这让佩雷尔曼演讲的热情大打折扣，他拒绝回答记者提出的“有何应用”的问题，并大声制止为他拍照的企图，他敏感地认为自己说的任何事情都不可能引起公众一丝一毫的兴趣，而他们有兴趣的问题，他又不想说。“我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”佩雷尔曼说。

佩雷尔曼这种看起来“孤僻”的性格来源于他的成长环境。他的父亲雅科夫·佩雷尔曼曾著有《趣味物理》丛书，母亲是一位数学家。耳濡目染之下，佩雷尔曼从考入列宁格勒第239中学开始，就已经可以称得上是个数学家了，数学已经成为了他的生活方式。他沉默寡言、彬彬有礼，几乎没有朋友，因为如果想与他交朋友，首先要能够听明白他要和你讨论什么，这对其他学生而言相当有难度。而后，他免试进入了列宁格勒国立大学数学和力学系，成为学校中的天才优等生，并且拿到了列宁奖学金。大学毕业后，他考入斯捷克洛夫数学研究所列宁格勒分部的研究生班，师从著名的亚力山德罗夫院士。故事到这里，可能还只是一个天才数学少年在成长道路上“曲高人和寡”。真正的转折在于，随着前苏联的解体，大批在俄罗斯的犹太人迁往以色列，佩雷尔曼的父亲固执地选择要离开，而母亲却坚决选择留下，同样留下来的还有佩雷尔曼。家庭的分崩离析对佩雷尔曼造成了巨大的影响，从此他的世界越发只有数学。这种性格或许让他看起来不像是生活在这个世界的人，但也让他保持了一颗纯粹的赤子之心。

因为纯粹，他拒绝炫耀浮华和过度崇拜，并将这一点发挥到极致。牛津大学数学历史学家杰里米·格雷说：“我从未见过他出席某个颁奖礼，然后在加长轿车上向观众挥动着支票。这不是他的性格。”

或者正如同行们感受到的，大奖只是数学界检验他理论的工具，还是一个他本人不甚在意的工具，他需要的从来不是奖赏、职位和金钱，而是数学。学术界甚至流传着各种版本的玩笑，有人说也许在圣彼得堡拥有100万美元是件很危险的事情，也有人说他宁可在圣彼得堡附近的森林里找蘑菇。

美国《纽约时报》的一篇报道，开头就是“佩雷尔曼，你在哪里？”佩雷尔曼本人也许根本看不到这篇报道。在这位疏离于数学界的数学家边界里，除了解决数学问题，其他的一切都是肤浅的。等到他再次引起轰动时，也许又一项难题被解决了。