凑微分法和分部积分法探析

张奕河

摘 要： 针对高职学生在学习两个函数乘积的积分遇到的困惑，

通过类比凑微分法和分部积分法的异同点，归纳出一种统一的方法，使得求解时变得有规可循，化难为易，便于学生理解和掌握，也培养了学生探究能力和创新思维能力。

关键词： 乘积；凑微分；分部积分；顺序

求两个函数乘积的导数（微分），有了乘积的求导（微分）法则就容易解决了，而求两个函数乘积的积分，由于积分运算只有线性性质 没有乘除的运算性质，因此求两个函数乘积的积分成为高职学生的学习难点，除了部分题目化为线性运算用直接积分法和第二换元法求解外，大部分題目主要是用凑微分法和分部积分法解决，学生在学习中的难点是这两种方法选择哪种？无法做出正确的判定，无从下手，往往“知难而退”，作业抄袭上交应付了事。本人在教学中，通过类比两种方法的异同点，归纳出一种统一的方法，使得求解时变得有规可循，化难为易，便于学生理解和掌握。

一、凑微分法和分部积分法的异同点：

相同点：1、主要解决两个函数乘积的积分（特殊情况可以是单一函数）；2、都要凑微分。

不同点：1、凑微分主要解决复合函数的积分问题，要求两个乘积项都要与同一变量（中间变量u）有关，一个是中间变量的函数，另一个是中间变量的导数的常数倍，而分部积分法两个乘积项不需要有关系。

解题关键是u的选取和凑微分du。

二、统一方法

三、应用举例

小结：

学生遇到两个函数乘积积分题目不知要采用哪种方法，无从下手，产生畏难情绪，学习兴趣和积极性受到打击，找不到入门的手段和方法，有点倒在门外的感觉。通过教师引导，让学生找到两种方法知识点之间的关联并融会贯通，归纳出统一方法，培养了探究能力和创新思维能力，同时变复杂为简单，变抽象为具体，使得学生解决这类型问题变得有规可循，容易理解和掌握，入门、上手快，题目会做、乐做，乐学、思学，在学习过程中找到收获感和成就感。当然，积分难学就在于没有一种固定、万能的方法，但学生掌握了上述方法，做题不会再一筹莫展，学习有了积极性，通过一定的练习，熟能生巧，对一些常见的题型和技巧了如指掌，使得解题更加快捷自如，大大提高学生积分的计算能力。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.