单调动力系统的一些应用

宋娟 游丽霞

摘要：单调动力系统是一类在生物、物理、化学等方面运用非常广泛的常微分方程。本文主要阐述如何应用单调方法和稳定性理论进一步分析一系列三维动力系统的动力学行为，从而将这些三维动力系统加以应用。

关键词：单调动力系统；数学模型

单调动力系统是一类特殊的动力系统，它是单调方法与动力系统观点相结合的产物。十九世纪末，Poincaré等人在研究经典力学和微分方程定性理论时，提出了动力系统的概念。在二十世纪六十年代，这套理论形成了基本的框架。这之后的几十年里，动力系统的研究取得了重大的进展并展示了广泛的应用前景。研究动力系统的方法理论多种多样，它的一個核心问题就是轨线的渐近性态或拓扑结构。

单调方法在微分方程中的应用，也有非常悠久的历史。早在二十世纪二、三十年代，Kamke[1]和Müller[2]在考虑常微分方程关于初值问题的最大解与最小解时，发现方程的解所对应的半流关于初值存在一个保序关系，并且给出了保持这一序关系的充分条件，在这时他们已经将单调方法运用于常微分方程了。之后，krasnoselskii[3]关于这个问题的研究也做了大量的工作。不过，最终把单调方法和动力系统的观点相结合并且形成系统理论的是Hirsch[4]。

首先，我们应该提到Smale[5]，他有力的反驳了当时生物数学界"竞争系统的渐近性态是简单的"的论调，Smale表明n-维合作或者竞争常微分方程系统的渐近性态并不比（n-1）-维一般常微分方程系统简单。反过来，n-维合作或者竞争常微分方程系统的渐近性态是否比（n-1）-维常微分方程系统复杂呢？在Hirsch的论文[4]中给与了回答，同时也激发了他的一系列著名的工作。他的一系列文章里都得出了单调合作不可约的常微分方程的普通解都收敛到平衡点集的结论，进而得到了n-维合作或者竞争的单调常微分方程的紧极限集上的流与（n-1）-维常微分方程限制在一个紧不变集上的流是拓扑同构的。作为特例，Poincaré-Bendixson定理为三维单调动力系统提供了这方面的理论基础。在单调动力系统这套理论建立和完善的过程中，还有一些重要的工作是Smith[6]和Thieme做的，他们修正了Hirsch[7]中关于强单调半流的正极限集二分性的证明过程，得出了强保序半流仍然具有相应的极限集二分性原理，在这基础上证明了序列极限集三分性原理及其相关性质。由此，Matano证明了存在一个开的稠密子集使得从其出发的轨道都收敛于平衡点集。

在应用方面，近年来Ortega和Sánchez[8]研究了关于圆锥的合作与竞争的常微分方程系统，随后Sánchez将其应用在电路模型[9]以及Chua系统[10]、Lorenz系统[11]等单调动力系统中。另外在生物系统中也有应用，比如Zhao[12]就将单调方法运用到常见的Lotka-Volterra竞争模型中。

对于一般的三维自治动力系统，如果我们假定它导出的流在某锥下是过去单调的，Hirsch证明了它的导出流的紧极限集是均衡的，并且这个紧极限集是拓扑等价于平面上的紧不变子集。我们把这个结果应用到其他动力系统上，我们就可以寻找使得这些三维动力系统成为竞争动力系统的参数条件，让这些三维系统的导出流的极限集拓扑等价于平面上的紧不变集。然后利用Dulac准则在平面上寻找使得导出流最终是收敛到平衡点的参数条件。

比如，有许多文章是研究三维动力系统Chen系统的混沌性，也有些文章是研究Chen系统的稳定性和分支。周天寿与陈关荣老师发现当c

再比如，Belousov化学反应，它是由Belousov在1951年发现的，并且他在1959年的俄国医学大会上发表了一篇简短的文章说明这个反应。尽管Belousov-Zhabotinskii反应中有许多的化学反应在发生作用，然而它们可以减化为五个关键的反应。这五个化学反应可以被表示为一个三维化学系统。这个模型是1974年由Field和Noyes建立起来的，也就是著名的FN模型。有一些文章比较关注于用实验来研究这个化学反应的振荡性，也有些文章考虑这个化学反应的周期轨的存在性，相对于上面的结论，我们比较感兴趣的是找出系统的一些参数区域，使得系统的轨道不发生振荡，也不产生周期轨。换句话说，我们可以利用上述单调方法给出FN系统在某个正不变集内每个正半轨都收敛到平衡点的充分条件。

今后，希望将单调方法更大程度地应用到其他模型里，得到一些更好的结论。

参考文献：

[1]E. Kamke， Zur theorie der system gewosknlicher differentialgliechungen： Ⅱ， Acta. Math.， 58（1932）， 57-85.

[2]M. Müller， Uber das fundamenthaltheorem in der theorie der gewohnlichen differentialgleichungen， Math， Zeit.， 26（1926）， 619-645.

[3]M. A. Krasnoselskii， Positive Solutions of Operator Equations， Groningen Noordhoff， 1964.

[4]M. W. Hirsch， Systems of differential equations which are cooperative or competitive， Ⅰ： Limit sets， SIAM J. Math. Anal.， 13（1982）， 167-179.

[5]S. Smale， On the differential equations of species in competition， J. Math. Biol.， 3（1976）， 5-7.

[6]H. L. Smith， Cooperative systems of differential equations with concave nonlinearities， Nonlinear Analysis. Theory. Methods & Applications， 10（1986）， 1037-1052.

[7]M. W. Hirsch， Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems. J. Reine Angew. Math.， 383（1988）， 1-53.

[8] R. Ortega and L. A. Sánchez， Abstract competitive systems and orbital stability in ， Proc. Amer. Math.， 128（2000）， 2911-2919.

[9]L. A. Sánchez， An application of the theory of monotone systems to an electrical circuit，Proc. Roy. Soc. Edinb.， 132A （2002）， 711-728.

[10]L. A. Sánchez， Convergence in a Chuas system with three equilibria， Z. Angew. Math. Phys.， 55（2004）， 183-200.

[11]L. A. Sánchez， Convergence to equilibria in the Lorenz system via monotone methods， J. Differential Equations， 217 （2005）， 341-362.

[12]Sze-Bi hsu and Xiao-Qiang Zhao， A Lotka–Volterra competition model with seasonal succession， J. Math. Biol.， 64（2012）， 109-130.

課题：2018年湖北省教育厅科学技术研究项目，课题名称：三维单调动力系统的应用

项目编号：B2018123

作者简介：宋娟（1981-02），女，汉族，湖北武汉人，讲师，博士，主要从事数学教育研究。

游丽霞（1980-05），女，汉族，湖北武汉人，讲师，硕士，主要从事微分方程边值问题的研究。