例谈整体思想在高中数学解题中的应用

齐齐哈尔恒昌中学 黑龙江齐齐哈尔 161000

在学习高中数学时，解题能力是关键，为了有效解题，所以高中生必须重视解题思路。毕竟在课堂中教师不能讲解每一道题，这要求学生必须举一反三，活学活用，充分掌握数学公理、概念、定义等。整体思想是一种能够有效提高学生解题效率的数学思想，也是目前高中生必须具备的思想。基于此，举例分析整体思想在高中数学解题中的运用具有十分现实的意义[1-2]。

1 整体思想在数学解题中的意义

所谓整体思想，指的是在数学习题解析过程中，暂时忽略较为模糊的细节问题，着眼于整体，最终得出想要的结论。整体思想是一种灵活、简洁的数学解题思想，如果高中生能够掌握这种方法，则能将数学难题简单化，提高解题的效率。整体思想实际上是将问题视角放大，通过判断问题的整体形式、结构，将题目中的条件等因素看作是一个整体，进而让解题过程更加清晰，同时也让解题者思路更开阔。

在高中数学解题过程中，整体思想的运用不仅省事省力，能够让问题变得清晰明了，而且还能将复杂的问题简单处理，使高中生在大视角下看待问题，有效处理问题中各个条件、结构的关系，消除了高中生的固有思维定式[3]。

2 形成数学整体思维，不过分在意细节问题

在高中数学解题过程中，题目有时候并非只是单纯考察一个知识点，在遇到此类问题时高中生需要全面整合新旧知识进行解题。例如，解答高中代数习题时，我们常常会遇到一些看似条件不足的题目，但是在解题过程中运用整体思想，换一个思路，就会思如泉涌，快速找到解题的切入点。在数学解题练习的过程中，我们应该有意识地提高整体意识，不要纠结于题目中某一个条件，而要从整体出发，灵活运用各种定理、知识[4]。在三角函数学习的过程中，我们都能够熟悉运用30度角、45度角、60度角等常用三角函数值，但是对于一些不常见的角度三角函数值来说，我们就很难记住。这就要求我们从整体角度出发，熟练应用熟知的三角函数值以及三角函数的相关定理。例如：tan25°+tan20°+tan25°tan20°=？无论是25°还是20°，这些都不是常见的三角函数，不能直接套用得出函数值，如果按照常规计算方式，计算难度极大，也很难得到正确的答案。而将其看成一个整体时，就可以将问题简化，即将20°与25°当作是45°角分出来的两个小角，继而转化为tan45°=tan（20°+25°）=1；继续拆分可得（tan25°+tan20°）/（1-tan25°tan20°）=1，即算式最终结果为1。

3 整体思想在函数奇偶性判断及求值问题中的应用

很多高中生在学习数学时，形成了固定的思维方式，并在学习基础理论知识后，通过大量的练习来巩固知识。但是这种传统的学习观念已经不能适应教育的改革要求。这就需要学生不断改善学习方式，提高学习效率与质量，保证解题效率与精准度。学生在平时学习中也要注重整体思想的运用，在脑海中形成数学知识的整体框架，在框架中梳理小的知识点[5]。

其中，关于函数奇偶性证明以及求值问题解答中，这种整体思想具体体现在解答整体换元类问题。

例如：已知 f（x）对一切 x，y 都有 f（x+y）=f（x）+f（y）

1.求证：f（x）是奇函数；

2.若 f（-3）=a，求 f（12）。

1.证明：

f(x)=f[(x+y)-y]

=f(x+y)+f(-y)

=f(x)+f(y)+f(-y)，

所以f(y)+f(-y)=0，

所以f(y)=-f(-y)，

f(x)=-f(-x)，

所以f（x）是奇函数。

2.解：

f(12)

=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)

=4f(3)

=-4f(-3)

=-4a

再如，函数 f（x）、g（x）定义域都为（- ∞，-1）∪（-1，1）∪（1，∞），其中 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且 f（x）+g（x）=1/（x-1），求 f（x）和 g（x）。

解：用 -x 代换 f（x）+g（x）=1/（x-1）中的 x ①

得 f（-x）+g（-x）=1/（-x-1）②

∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴②可化为 f（x）-g（x）

=1/（-x-1）③

①+③得2f（x）

=1/（x-1）+1/（-x-1）

=2x/（x2-1)

∴ f（x）=x/（x2-1)

③得 g（x）=1/（x2-1)。

4 整体思想在函数零点求解问题中的运用

函数零点问题是高中函数问题的重要分支，学生在处理这类问题时基本都运用零点分布定理，然后结合数形结合、分类讨论等思想加以解决。这种处理方式是解题的通用之法，但是很多题目求解十分繁琐，此时学生需要借助于整体思想，简化解题过程，提高解题效率。

例如：求函数f(x)=2x3-x-1零点的个数。

分析：采用常规的数形结合方式，零点个数就是求f(x)=0的解的个数，也就求是2x3-x-1=0的解的个数，即函数f(x)=2x3和函数g(x)=x+1的交点个数。

画图可以看出，两个函数都是单增函数，并且g(x)在第三象限恒大于f(x) ，因此两个函数只有一个交点，所以零点个数是1个。

而如果采用整体思想，f(x)=(x-1)(2x2+2x+1)

x-1=0或者2x2+2x+1=0

后面的式子△＜0无解，

所以f(x)只有一个零点，也就是(1，0)。

可以看出，利用整体思想，进行因式分解，过程将变得更加简单。

再如：若函数y=x2+(m+2)x+5-m有2个大于2的零点，则m的取值范围？

解：有2个大于2的零点，即方程x2+(m+2)x+5-m=0有两个大于2的根。

判别式Δ=(m+2)2-4(5-m)=m2+8m-16=(m+4)2-32＞0

5 结语

本文分析了整体思想的含义及其在高中数学解题中的应用，同时通过实际例题，详细分析了整体思想在函数零点问题、三角函数、函数奇偶性等问题解析过程中的应用。