时间:2024-04-25
兰州市第五中学 甘肃兰州 730030
概率学是人们在长期生活中不断总结出来的一门学科,在高中阶段它是数学知识体系的重要组成部分。概率学不仅公式众多,而且对逻辑思维也有着较高的要求。因此,高中生在解答概率题时,极易出现各种问题,最终导致解题失败。针对这一问题,学生可以通过分析解题步骤中的错误点,发现解题失败的原因,积累经验,进而逐渐提高概率解题效率[1]。
分析以往概率解题中的错误可以发现,大多数错题的直接原因是学生对概念不熟、计算能力缺失,以及相关公式应用错误等。
概念是解题的依据,学生对于概念应当清晰、明确,模棱两可的概念记忆将导致学生在解题中判断错误,最终答案错误。尤其是对一些题目中的已知条件属性的判定,由于概念不熟导致已知条件属性的判定错误,最终结果必然与正确答案大相径庭[2]。
在过去较长的一段时间内,人们多使用纸、笔等方法计算,某些能力较强的人甚至可以心算。然而,随着现代科学技术的发展,人们越来越多地借助计算机、计算器等数字化工具进行计算,导致人们越来越依赖数字化工具,计算能力逐渐下降。
对于概率学中的各种公式,学生需要通过大量练习才能够做到熟练运用。然而高中数学的变式众多,因此,在基础公式掌握并不熟练的情况下,学生容易出现公式应用错误的问题。此外,这种公式应用错误不同于计算错误,其在大多数情况下难以被发现[3]。
针对高中概率解题中经常出现的几种错误,我们可以从以下几个方面入手:
概念是数学解题的依据,因此,在学习概率相关知识的过程中,学生应加强概念的记忆,结合实际题目深入剖析,从而做到在解题中准确使用概念,避免在解题过程中出现各种错误。
例1:对于一枚质地均匀的骰子,根据其最终点数将其分为多个事件,其中事件A为“向上点数为奇数”,事件B为“向上点数小于等于3”,求P(A+B)。
分析:该题目看似简单,但学生容易概念不熟导致计算错误,简单地将P(A+B)认为是 P(A)+P(B),在这种情况下,如果不及时发现错误,也就无法纠正解题过程,最终答案错写为1/2。
解:在事件 A中,满足其成立的概率为 P(1)、P(2)、P(5)然而,在事件B中只有P(1)、P(2)、P(3)能够达到要求,因此所谓P(A+B),其实就是计算同时满足这两个事件的概率,也就是P(A+B)=P(1)+P(2)+P(3)+P(5)。
其中,根据骰子每一面出现的概率为1/6进行计算,P(A+B)=2/3。
因此,这里需要记住的一个概念就是P(A+B)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),其主要适用于已知概率全部关系,或者是概率范围能够明确的题型。
在高中概率知识解题过程中,学生容易出现错误的又一重要原因是错误理解排列组合顺序。不同的排列组合形式会出现不同的结果,因此学生有时需要特别关注排列顺序。
例2:在一次竞赛中,老师给小明、小强准备了十个题目,其中有六个是选择题,另外四个是判断题,两人按照先后顺序进行抽题。请回答如下问题:
(1)小明抽到选择题、小强抽到判断题的概率是多少?
(2)小明和小强中至少一人抽到选择题的概率是多少?
分析(1):在该题目中,小明和小强的抽题有顺序,对于两人依次抽题的结果应当选择先拍后选的方式,其排列组合方式有种,其中,小明抽取题目为选择题的可能性有种,小强抽取判断题的可能性有种。然而,由于没有考虑排列组合的顺序,部分学生只简单将其看作无序抽题,进而认为是事件的集合。
解:(1)根据题目可知,小明和小强的抽题是有序的,因此,该题目需要按照有序排列组合形式进行解题。其中,满足小明抽取选择题的事件个数为,满足小强抽取判断题的事件个数为,有序排列事件个数为,由此可得:
分析(2):求两人至少一人抽到选择题的概率可以求其补集的概率,也就是两人全部抽中判断题的概率,这降低了解题难度和出错的概率。
高中数学考察的重点是学生对基础理论知识的掌握情况,以及是否能灵活应用多种解题方法。在解答概率知识问题时,学生需要特别注意解题思路的逻辑性,并要根据题目中的已知条件与问题进行分类求解,从而逐渐提高解题效率与正确率。
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