关于离散型随机变量的分布列问题

刘颖

求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率。求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提.离散型随机变量分布列求解是进一步求解数学期望、方差最关键的开始，分布列求解错误，必然导致数学期望与方差的错误，故这里万万不可忽视，就这个问题提出几个建议如下：

一、正确认识离散型随机变量

所谓随机变量，实际上是用变量对试验结果进行的一种刻画，是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f（x）的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果。离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延，而离散型隨机变量的概率分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，更主要的是应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。

二、求离散型随机变量分布列的步骤

（1）明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

（2）利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；

（3） 按规范形式写出分布列，并注意用分布列的两条性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.

例1、一个口袋有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3个，以ξ表示取出球最小的号码，求ξ的分布列.

[解析] 因为同时取出3个球，ξ表示取出球的最小号码，所以ξ的取值为1，2，3.

当ξ=1时，其他两球可在余下的4个球中任意选取，因此其概率

为=；当ξ=2时，其他两球的编号在3、4、5中选取，因此其

概率为=；当ξ=3时，其只可能为3，4，5一种情况，其概率为。

评注：处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量，明确随机变量所代表的量。

三、对离散型随机变量的分布列特性的认识

（1）离散型随机变量的概率分布的两个本质特征，是确定分布列中参数值的依据。

（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

（3）处理有关离散型随机变量的应用问题应仔细审题，透彻理解题意，并注意根据实际问题确定恰当的随机变量。

（4）求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提。

例2.将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最大个数记为ξ，求ξ的分布列。

[解析] 明确题意，搞清杯子中球的最大个数的可能值，再由此求出相应的概率.

依题意可知，杯子中球的最大个数ξ的所有可能值为1，2，3。当ξ=1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当ξ=2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当ξ=3时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形。

评注：（1）随机变量本质上讲就是随机过程每一个可能发生的基本结果，这个要十分注意；

（2）验证的过程最好不要缺少，因为它涉及正确求解数学期望和方差，要确保分布列的准确。

四、特殊分布

二项分布、几何分布是两种常见分布，应熟悉其试验特征及题型特征，并掌握其分布列计算公式.此外两点分布、超几何分布列也是特殊的分布，要熟练掌握。

五、值得注意的地方

在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但由于时间的把握，以及对学生的放手程度上‘实施落实的可能还不到位，有待改进。

总之，在今后的教学工作中，需不断总结、反思。作为数学教师，一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，做一名真正合格的人民教师。