FEM分析固体受外力下的应变状况

肖雅文 严沁蔚

摘要：以有限元法为理论基础，建立简支梁受力模型，分析简单的简支梁在不同负载条件下所受应力，求解结果与公认分析结果一致。通过不同负载分布的比较，可以用于寻找最优化设计以降低梁的危险。有限元分析方法的精确度受所选试探函数和划分精度影响。合理的微分建模可以使有限元法成为无损检测的有效模拟手段。

关键词：有限元分析;悬梁;无损检测

0 引言

无损检测是指在不损坏或不影响被检测对象使用性能，不伤害被检测对象内部组织的前提下，检测零件和设备中的损伤。但是无损检测方法的准确性往往需要大量的实验数据支撑，而在被检材料中不断改变裂纹损伤信息及裂纹位置和深度显然是不容易的。对于求解复杂的工程问题，数值计算方法的通用性较强，有限元法是其中一种常用方法。（基于有限元模型）以有限元法为基础，通过求解偏微分方程或偏微分方程组实现对真实物理现象的仿真。利用该仿真对实际进行仿真建模，不仅可以方便地更改裂纹损伤信息，而且不受周围环境噪声的影响，仿真结果更加精确[3]本文基于有限元理论，对于有限元法在工程中的重要性进行初探，并以简单的简支梁为例，研究仿真方法的准确性。[1]

1 理论基础

当杆受到垂直变形时会发生弯曲变形，即直线变成曲线。以弯曲变形为主的杆件称为梁。梁在弯曲时会受到弯矩和剪力的作用，其中剪力时材料的横截面沿外力作用方向发生相对错动变形，弯矩即力偶矩，作用使梁发生弯曲。如图一所示为简支梁，q为梁上所加负载，M为梁所受弯矩，V为杆所受的剪力。图中所示为均匀载荷的情况下简支梁的分析图。

根据工程力学，梁所受剪力，弯矩以及载荷之间有以下关系：

恒成立，其中v（x）称为试探函数，取值范围限于多项式空间内，试探函数的选取需要满足在0以及L处其值为0。利用有限元分析方法（FEM）将研究区域分为M个元素区域，每个元素区域选取K+1个节点，针对各个节点选取试探函数，并利用加权余量的方法可以对方程（3）进行求解。其中节点数对试探函数的多项式空间进行限制，即多项式的最高次幂为K，加权余量方法限制试探函数仅在最多两个节点处的值为1，其余节点值为0。具体求解过程可以参考引文。[2]以上是针对于边界条件为狄利克雷条件，对于边界条件为非均匀狄利克雷条件：M（z）=MD（x）on OзΩ，可以设置

M=V+U（x）

U（X）= MD

将M代入方程（1）可以得到关于V的狄利克雷条件下的泊松方程。此方程的求解过程依然可以按照FEM进行数值模拟，并最终解得函数M（x）。

2 结果与讨论

为简单起见，设置梁长为1，载荷均匀分布为1，求解图1简支梁。求解结果如图2所示。图中弯矩呈抛物线型分布，在梁中间取最大值;剪力沿杆呈现线性分布，在梁的固定处取最大值;FEM模拟梁的分布图1结果基本相同。为模拟显示生活中货物摆放规律，载重应选择抛物线形式。为了与前面的均匀

载荷进行比较，所加载荷总重量应当相等，即q（x）=6*x（x-1）形式，此时解出弯矩以及剪力分布如图3所示。与图2相比，此时梁所受玩具明显变大，剪力分布也呈现出非线性的分布。从图2和图3的对比我们可以看出载荷分布对梁的受力分布起着很大的影响，实际工程当中应该优化载荷分布使工件的关键部位应力达到最小以改善质量。接下来我们对于影响有限元分析的精度的参数进行了研究，在考虑均匀载荷的情况下，分别考虑了试探函数的次数K以及划分区间的宽度作为变量，将解析解与数值解进行比较计算了数值模拟偏离解析解的方差。k=1时结果如图4所示。图中显示随着选取元素的间隔的减小，数值解的偏差也呈现数量级的减小。当选取试探函数次数k=2时，偏差的数量级到达IE-IO以下，图中并未标出。由此可以看出FEM在检测方面的应用范围广泛，并且精度较高。对于本例来说，仅需测量或估算出所受载荷的分布就可以通过数值模拟的方法对梁的受力和受弯矩情况进行精准分析，从而实现了无损检测的功能。

3 結束语

本文对有限元法在检测中的应用做了初步探索。对于简支梁建立了微分方程模型，并对模型进行了数值求解，在梁受均匀负载情况下模拟结果与书中分析相符。进一步又对梁受抛物线型载荷的情况进行分析，发现梁受剪力及弯矩都增加。有限元法可以用于寻找最优分配方案，以减轻现实生活中的使用风险。最后，发现试探函数的选择与元素划分方法均对有限元法的准确度产生影响。总的来说，有限元法可以用于实际检测中，通过边界条件的正确测量，以及合适的模型搭建即可以对设备所受应力状态进行无损评估。

参考文献：

[1]陈振华，王燕，谢长鸿等.超声cofd检测的有限元分析及其试验验证应用声学，2015，34（3）：272277

[2][ finite element method in ld ].https：//github.com/dwshin/basic—fem—tutorial/tree/ master/fem一1d.

[3]刘静，柳成，曲永印等.基于有限元法的电涡流无损检测可靠性分析北华大学学报（自然科学版），2018.19（6）：836.