例说高中数学“问题解决”的课堂教学

钱朝晖++陈宇峰

在高中数学课堂教学中实施“问题解决”教学模式，将有助于学生在掌握数学基本知识、基本技能的基础上经历数学化的发现问题、提出问题、解决问题的过程，从而在解决问题中提升“问题解决”的能力。如何在数学课堂教学中实施“问题解决”教学？本文以教学片段为例进行说明，供大家参考。

一、创设问题情境，感知、理解问题，提升提出新概念的能力

【课例1】“分数指数幂”的教学片段

教师：1898年12月26日，居里夫人发现了镭。现在，人们已经知道镭的半衰期约为1600年，即每经过1600年，有一半的镭会变成其他物质。问：1克镭在分别经过3200年、4800年后，还剩下多少克？

学生1：分别剩下克克。

教师：即 克和 克。假定镭的衰变是“匀速”的，那经过2400年，1克镭还剩下多少？

学生2：（迟疑地） 克？

（答案的怪异引起了全体学生的普遍兴趣，“究竟是多少？”成为学生亟待解决的问题。）

教师： ，很怪异。能否给这个数下个定义，使它“合情合理”？

在经过了简短讨论后，有学生举手发言。

学生3： = = =

（学生3的回答引起了同学们的一片赞叹。）

教师：有道理。如果经过1200年，1克镭还剩下多少？

学生4： 克，即 = = 克。

（学生4的回答得到了全体同学的赞同。）

教师：同学们似乎很赞同这个答案，但这个答案很“大胆”。所谓“大胆”，在于“分数指数”“四次根式”和运算性质“ = ”还没有接触过，是否成立还不知道。今天这节课就来探讨这些问题。（下略）

【评析】在课例1中，分数指数幂对初学的学生来说就是一个不能直接用整数指数幂进行计算的情境状态，需要重新定义其意义。规定相应的运算法则，这个问题一旦解决，将有助于学生形成对有理数指数幂的完整认识，进而完成从有理数指数幂到实数指数幂的认识飞跃。“问题解决”教学模式下的问题必须具备两个显著的特点：一是挑战性，学生不能直接应用以前的知识和方法找到问题的解法和答案，必须经过深入探究与思考、重新整合已有知识与能力储备才能得出答案；二是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，使其产生较高的解决问题的欲望，愿意运用已掌握的知识和方法去解决。课例1中教师通过科学背景（镭的半衰期）创设了问题情境，既有挑战性又有可接受性。

二、解决问题，获得知识，发展数学思维能力

在教师创设的问题情境中，学生发现问题、提出问题，仅是“问题解决”课堂教学的第一步，经历解决问题的过程并从中获得新知识、提升技能、体味成就感是“问题解决”课堂教学的核心环节。

【课例2】等比数列前n项和的推导过程

教师提出下列问题：小林、小明玩“贷款”游戏，规定：在一个月（30天）中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给2万元……以后每天比前一天多1万元；而小林则以这样的方式还贷：第一天支付1分钱，第二天支付2分钱……以后每一天支付的钱是前一天的2倍。试计算30天后两人各得的钱数。

学生很快由等差数列前n项和公式算出了小林得到的总额：1+2+3+…+30=465（万元），而对小明获得的总额仅仅列出了算式：1+2+4…+229（分），同时纷纷感到小明“亏大了”。

教师：同学们都感到小明“吃亏了”，那究竟“亏”了多少？1+2+4…+229的值究竟是多少？把它们逐项相加，显然是很麻烦的。能否像等差数列前n项和求和一样，发现规律减少运算量呢？学生感到无从下手。

教师接着点拨：算式1+2+4…+229其实就是等比数列1，2，4，…，2n-1，…前30项的和，这个等比数列的公比为2，也就是说，从第二项起每一项是前一项的2倍，能否以此作为解题的突破口？

部分学生若有所悟，在小组讨论的基础上，个别同学终于有所发现。

学生1：令S=1+2+4+…+229，则2S=2+4+8…+230，把两式相减，可以得到：S=2S-S=230-1，即1+2+4+…+229=230-1。

解法的新奇让其他学生恍然大悟。

教师：这位同学充分应用了等比数列的特征，通过在原式左右两边同乘以2，再把两式相减，消去了中间项，简化了计算。对于一个首项为α1，公比为q的等比数列{αn}，它的前n项和如何计算呢？（下略）

【评析】在课例2中，教师引导学生解决了等比数列前n项和的一个特殊情形问题，虽然问题比较简单，但对学生而言，却是一个创新过程。在教师的启发帮助下，通过自主学习、合作交流，学生在课堂上完全能解决这一问题。解决数学问题，从根本上来讲是把已学到的数学知识运用到新的情境中去的过程，是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。开展问题解决教学，绝不是教师讲题目、学生模仿的教学过程，需要经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，它能引导学生主动地对问题进行思考、探索、研究、讨论、解决和验证，获得真实的情感体验和丰富的实践经验，理解数学知识间的联系，并运用所学知识和方法解决问题。

三 、总结评价，提升自我反思和评价能力

在解决问题之前，教师应引导学生对解题活动作出整体性规划；在问题解决以后，教师还应引导学生对求解过程和结果进行检验与评价，审视解题过程是否合理、简便，有无其他解答方法，结果是否正确，能否通过一般化、特殊化、变换条件等方式对问题进行拓展与变式。如果发现过程或结论错误，应认真分析错误的原因，并及时纠正错误，使问题获得正确答案。

【课例3】（接课例2）首项为α1、公比为q的等比数列{αn}的前n项和公式的推导

学生2：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，则qS=α1q+α1q2+…+α1qn，把两式相减，可以得到：（1-q）S=α1-α1qn，即S= 。

教师：请同学们考虑一下，这个结果对吗？

在小声讨论之后，学生找出了错误。

学生3：（1-q）S=α1-α1qn，当q≠1时，才有S= 。

当q=1时，S=nα1。

教师：很好，等比数列的公比为1时，1-q为0，此时，等式两边不能同时除以1-q。同学们还有其他解法吗？

受学生2解法的启发，其他学生纷纷发言：

学生4：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，则 S= + α1+α1q+α1q2+…+α1qn-2，把两式相减，可以得到：（1- ）S=α1qn-1- ，当q≠1时，有S= 。

学生5：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，

则S=α1+q（α1+α1q+…+α1qn-2）=α1+q（S-α1qn-1）

变形，可得（1-q）S=α1-α1qn，当q≠1时，有S=

教师：同学们的解法很多。同学2和同学4所采用的求等比数列前项和的方法称为“错位相减法”，同学5则采用了整体代换的方法，这些解法都充分利用等比数列各项之间的关系减少了中间项，从而简化了计算。在运用等比数列前项n和公式时，一定要注意对是否为1进行讨论。

【评析】总结评价是构成数学问题解决过程的一个不可缺少的步骤，它对学生反省解题过程，保证解题过程及结果的正确性，养成从不同角度去分析和解决问题的能力及思维习惯，提高学生自我反思和评价能力都具有十分重要的意义。应经常要求学生反思这样的问题：“你是怎样想的？”“你能转化题目中的哪些条件？”“能否把问题特殊化（一般化）？”“如果……，怎么样？”“你认为哪个解答更好？”等，以此来吸引学生的注意力，使学生逐步具有反思的意识和习惯。

用“问题解决”方式组织课堂教学，让学生通过观察与实验、分析与综合、一般化与特殊化、类比与归纳等学习活动，经历知识发生发展的过程，有助于激发学生的学习热情，在发现问题、解决问题的过程中，培养学生的数学思维，提高学生的解题能力、学习能力，使其养成自我反思和自我评价的习惯。