梅森素数为何“火爆”全球

林远

梅森素数为何“火爆”全球

林远

目前世界上有190多个国家和地区近70万人，参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，并动用了超过136万个中央处理器（CPU）参与这一项目的计算。因此，仅从人力、物力方面来说，梅森素数的探究已足够“火爆”。这在数学史上是前所未有的，在科学史上也是极为罕见的。

梅森素数的由来

2300多年前，古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中就已经证明素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等等；同时他提出一些素数可写成“2^P-1”（其中指数P也是素数）的形式。而这种特殊形式的素数，具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、图灵等）和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森（Marin Mersenne）对“2^P-1”型的素数做过较为系统且深入的探究。为了纪念他，数学界就将这种素数称为“梅森素数”（Mersenne Prime）。

迄今为止，人类仅发现49个梅森素数。这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数海明珠”。尤其近百年来，人们发现的“超大素数”几乎都是梅森素数。

难度极大的探究

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大；它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。

1772年，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，利用优化的试除法，靠心算证明了2^31-1（即2147483647）是个素数。该素数是第8个梅森素数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”

为了寻找下一个梅森素数，俄国数学家伊凡·波佛辛（Ivan Pervushin）花了近20年的时间和精力，最后利用“卢卡斯定理”，于1883年证明了2^61-1（即2305843009213693951）是第9个梅森素数。在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛去探究梅森素数，但只找到12个。

计算机助力寻找

电子计算机的出现，大大加快了寻找梅森素数的步伐。1952年，美国加州大学洛杉矶分校的数学家拉斐尔·鲁宾逊（Raphael Robinson）将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序，使用大型计算机在不到一年内就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数2^11213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为让全世界都分享这一成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。

随着指数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比，而科学家及业余研究者们仍乐此不疲，竞争激烈。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家戴维·史洛温斯基（David Slowinski）和哈利·纳尔逊（Harry Nelson）宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前，美国加州的高中生兰登·诺尔（Landon Noll）就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食，又花了一个半月的时间，使用超级计算机找到了新的更大的梅森素数2^44497-1。

灵机一动见曙光

人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。由于梅森素数的分布时疏时密、极不规则，因此探究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。虽然英、法、德、美等国的数学家曾给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都有一个共同点，就是以近似表达式给出，其结果与实际情况的接近程度难如人意。

中国数学家、语言学家周海中1976年在广东雷州半岛当“下乡知青”时就开始探究梅森素数的分布规律。因当时这方面的资料十分匮乏，加之没有计算机，所以其探究在初期就困难重重，有过无数次的失败，但他并不气馁。有一天，他在阅读一本关于法国数学大师费马的书时，突然想到了“费马数”的形式，这为他日后解决难题找到了突破口。

经过多年的不懈努力，周海中终于在1992年发现梅森素数的分布规律，并给出了它的精确表达式。后来这项重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。

网格技术显身手

1996年初，美国数学家、计算机专家乔治·沃特曼（George Woltman）编写了一个寻找梅森素数的计算程序，并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的GIMPS项目，也是全世界第一个基于互联网的网格计算项目。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上寻找梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的“电子前沿基金会”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的“协同计算奖”。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发15万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯（Edson Smith）首先发现超过1000万位的梅森素数——2^43112609-1，该素数有12978189位；他也因此获得了EFF颁出的大奖。这一重大成就，被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。

今年1月7日，美国密苏里中央大学的数学家柯蒂斯·库珀（Curtis Cooper）通过参与GIMPS项目，找到了目前人类已知的最大素数2^74207281-1。该素数是第49个梅森素数，有22338618位数，如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可达100公里！

20年来人们通过GIMPS项目找到了15个梅森素数，其发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。

梅森素数的意义

梅森素数在当代具有重大的意义。它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术和程序设计技术的发展。

此外，梅森素数还有实用价值，它可以用来发现计算机系统或程序中存在的问题。早在上世纪90年代，克雷公司、苹果公司、英特尔公司等就利用梅森素数来测试计算机的功能。最近德国一名GIMPS项目参与者发现：当第六代Core处理器Intel Skylake在执行Prime95应用来搜索梅森素数时，运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的漏洞（bug）。

难怪许多科学家认为，梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席马科斯·索托伊（Marcus Sautoy）甚至认为，它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，而且是整个科技发展的里程碑之一。也许这也是梅森素数的探究极为“火爆”的原因之一吧。

编辑 / 钱敏rmzkqm@163.com