二维柯西不等式的几种证明方法

徐大刚

柯西不等式在不等式证明中占有重要的地位，而二维柯西不等式在高中数学竞赛中有会成为“常客”，且二维柯西不等式在高中数学中的代数、几何、三角等各个方面都有联系，熟悉这些联系能本质地把握不等式，并更自觉地应用它，本文将从多个角度来证明该不等式。

二维柯西不等式：若a、b、c、d∈R，则

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

证明：若[a2+b2=0]或[c2+d2=0]时，不等式显然成立。

现证明[a2+b2≠0]且[c2+d2≠0]的情况。

证法一：向量法：

设[m=（a]，[b）] [n=（c]，[d）]

[m=a2+b2] [n=c2+d2]

[∴m·n=ac+bd]

[又∵m·n≤m·n]

[∴ac+bd≤a2+b2·] [c2+d2]

两边平方得：[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

当且仅当[m]与[n]共线时取等号

证法二：全量不小于部分：

[∵a2+b2c2+d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2]

[（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

當且仅当ad=bc时取等号。

证法三：复数的模不小于实部（虚部）：

设[Z1=a-bi] [Z2=c-di]

则[Z1=a2+b2] [Z2=c2+d2]

[Z1·Z2=ac+bd+ad-bci]

[Z1][·][Z2][=][a2+b2·c2+d2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2][=][Z1·Z2]

而[Z1] [·][Z2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2]≥[ac+bd2][=][ac+bd]

[∴a2+b2·c2+d2≥ac+bd]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

证法四：斜线段不小于垂线段：

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]等价于[ac+bda2+b2≤c2+d2]

建立平面直角坐标系，设B（c，d） A（b，-a），直线OA：ax+by=0

设点B到直线OA的距离为BH，

[BH=ac+bda2+b2]

[∵BH≤OB]

[ac+bda2+b2≤c2+d2]

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

证法五：余弦定理：

建立平面直角坐标系，设A（a，b） B（c，d）

则在[△AOB]中

[cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB]

=[a2+b2+c2+d2-（a-c）2+（b-d）22a2+b2·c2+d2]

=[ac+bda2+b2·c2+d2]

∵[cos∠AOB≤1]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

证法六：判别式法：

构造二次函数[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

∵[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

=[（ax-c）2+（bx-d）2≥0]

∴可知判别式不大于0

即：[△=4ac+bd2-4a2+b2c2+d2≤0]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

参考文献

[1]罗增儒.高中数学奥林匹克.陕西师范大学出版社.

[2]全日制普通高级中学教材书·数学第二册（上）.