时间:2024-05-04
江梅
函数平移问题是平面向量的理论,以三角函数为载体的一个综合性题型,难度中等,高考中常有涉及。要做好函数平移问题,需认真理清其思路与方法。
设函数[F(x],[y)=0]图象上的点[P(x],[y)]按向量[a=(h],[k)]平移到函数[F][(x],[y)][=0]图象上的点[P][(x],[y)],则有[OP=OP+a],
即[(x],[y)][=(x],[y)+][(][h],[k][)][=(x+h],[y+k)],也就是
[x=x+hy=y+k] (1)式 或 [x=x-hy=y-k](2)式
(1)式可稱为平移后点的坐标公式,(2)式可称为平移前点的坐标公式,则平移问题的处理思想与方法可根据所已知的方程归结为以下两条:
①若已知平移前函数方程[F(x],[y)=0],则用平移前点的坐标公式代入平移前方程[F(x],[y)=0],得到平移后的函数方程[F][(x],[y)][=0];②若已知平移后函数方程[F][(x],[y)][=0],则用平移后点的坐标公式代入平移后方程[F][(x],[y)][=0],得到平移前的函数方程[F(x],[y)=0]。
以上两个思路可处理三类问题:对平移问题中的三个要素平移前方程[F(x],[y)=0]、平移后方程[F][(x],[y)][=0]、平移向量[a=(h],[k)]来说,可以说是知二求一,而高考命题就是沿这个思路来设计的,以下用2009年高考真题举例说明。
例1(天津)已知函数[fx=sin(ωx+π4)(x∈R],[ω>0)]的最小正周期为[π],将[y=fx]的图象向左平移[φ]个单位长度,所得图象关于[y]轴对称,则[φ]的一个值是
A.[π2] B. [3π8] C.[π4] D. [π8]
解析:由已知的周期,显然[fx=sin(2x+π4)],则f(x)为平移前方程,据题意,可得平移向量[a=(-φ,0)],则再得平移前坐标公式[x=x+φy=y],代入平移前方程[fx=sin(2x+π4)],得平移后方程为[fx=sin2x+φ+π4],而此函数关于y轴对称,即当[x=0]时,[f0]取到最值,也就是[2φ+π4=k]π+[π2],所以得[φ=π8+kπ2],对比四个选择支,当[k=0]时,[φ]可以是[π8],故选D。
例2(湖北)函数[y=cos2x+π6-2]的图象按向量[a]平移到[F],[F]的解析式为[y=fx],当[y=fx]为奇函数时,向量[a]可等于
A.[(π6] ,[-2)] B.[(π6] ,[2)] C. [(-π6] ,[-2)] D. [(-π6],[2)]
解析:设平移向量[a=(h,k)],则把平移前坐标公式[x=x-hy=y-k]代入平移前方程[y][=][cos2x+π6-2],得[y-k][=][cos][2x-h+π6][-2],即平移后的图象F的方程为[y=fx=][cos2x-2h+π6-2-k],又已知[y=fx]为奇函数,因此其图象关于原点对称且过原点为,从而有[2×0-2h+π6=nπ+π2-2+k=0],[n∈Z] 即[h=-nπ2-π6k=2],[n∈Z],经检验,当n=0时得[a=(-π6],[2)],故选D。
例3(山东)将函数[y=sin2x]的图象向左平移[π4]个单位,再平移1个单位,所得的图象解析式为
A. [y=2cosx2] B. [y=2sinx2]
C. [y=1+sin(2x+π4)] D. [y=cos2x]
解析:由题意,知平移向量[a=(-π4,1)],则平移前坐标公式为[x=x+π4y=y-1],代入平移前方程[y=sin2x],得平移后方程为[y-1][=][sin2(x+π4)],即[y=sin]2[x+π4]+1=[sin2x+π2][+1=cos2x+1=2cosx2],故选A。
从以上例题来看,如果明确两个处理思路及三个可以处理题型,那么对于函数的平移问题,就不该再有疑问。
练习:(全国II)若将函数[y=tan(ωx+π4)(ω]>[0)]的图象向右平移[π6]个单位长度后,与函数[y=tan(ωx+π6)]的图象重合,则ω的最小值为
A. [16] B. [14] C. [13] D. [12]
(湖南)将函数[y=sinx]的图象向左平移[φ] (0≤[φ]<2π)个单位后,得到函数[y=sin(x-π6)]的图象,则[φ]等于
A. [π6] B. [5π6] C. [7π6] D.[11π6]
答案:1:D;2:D。
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