圆的切线问题探究

郝珍

摘 要：在初中知识结构的基础上，用方程的思想研究圆的切线的图形特征。

关键词：圆的切线；四点共圆

在初中数学中，对于圆的切线问题已经有了初步的认识，知道过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点有两条切线，并且两条切线长相等.高中数学解析几何模块中，把四种圆锥曲线放在平面直角坐标系下，借助坐标，用方程的思想研究圆的切线的特征.

一、过圆上一点的切线方程

1.定理一：过圆O：[x2+y2=r2]上一点[M（x0，y0）]的切线方程是[x0x+y0y=r2].

分析：要证直线[x0x+y0y=r2]是圆O：[x2+y2=r2]的切线，只需证明直线[x0x+y0y=r2]过点[M（x0，y0）]，并且圆心O到直线的距离是r.

证明：由已知，点[M（x0，y0）]在圆O：[x2+y2=r2]上，所以[x02+y02=r2]，点[M（x0，y0）]代入直线[x0x+y0y=r2]，等式成立，所以点[M（x0，y0）]在直线[x0x+y0y=r2]上.圆心O到直线的距离[d=r2x20+y20=r].[∴]直线[x0x+y0y=r2]与圆O：[x2+y2=r2]切于点[M（x0，y0）].

2.定理二：过圆C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]上一点[M（x0，y0）]的切线方程是[（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2].

证明：由已知，点[M（x0，y0）]在圆C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]上，则[（x0-a）2+（y0-b）2=r2]，[∴]点[M（x0，y0）]在直线[（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2]上.又[∵kCM=y0-bx0-a]，直线的斜率[k=-x0-ay0-b].[∴k?kCM=-1]，

即直线[（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2]与圆C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]切于点[M（x0，y0）].

二、过圆外一点的切线方程

过圆C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]外一点[M（x0，y0）]的切线方程.

如图1，过点[M（x0，y0）]作圆C的切线，切点分别为A、B，则

（1）[|MA|=|MB|]；

（2）[MA⊥AC，MB⊥BC]；

（3）点M、A、B、C在以线段MC为直径的圆上，且点[M（x0，y0）]，点[C（a，b）]，所以，该圆的方程为[（x-x0）（x-a）+][（y-y0）（y-b）=0]；

⑷若令[|MC|=|d]，则[|AB|=|AM?r|d=r?1-r2d2]；

⑸方程[][（x-x0）（x-a）+（y-y0）（y-b）=0]與方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]相减，得到直线AB的方程.

例.已知抛物线E：[y2=2px（p>0）]的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：[（x-2）2+y2=1]的两条切线，切点分别为A、B，[|AB|=423].

⑴求抛物线E的标准方程.

⑵过抛物线E的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P、Q、O三点共线，求点N的坐标.

解析：⑴解答过程略，抛物线E的标准方程是[y2=4x].

⑵分析：利用N、P、Q、C四点共圆，得到圆的方程，直线PQ是两圆的公共弦所在的直线，所以，再把两圆想减，得到直线PQ的方程， 由直线过原点得点N的坐标.

解：设点[N（y204，y0）]，点C（2，0），由已知，N、P、Q、C四点在以CN为直径的圆上，该圆的方程为：[（x-y204）（x-2）+y（y-y0）=0]，变形得：[x2+y2-（y204+2）x-y0y+y202=0]，圆C：[（x-2）2+y2=1]变形为：

[x2+y2-4x+3=0]，两式相减得，直线PQ的方程为：[（y204-2）x+y0y+3-y202=0]，点O（0，0）代入得：[y0=±6]，[∴N（32，6）]或[（32，-6）].

一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础.长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣。