基于“密铺”模式下的新图案生成法式研究——特鲁谢法则延伸与拓展

杨 叶

（南京艺术学院 设计学院，南京 210013）

一、密铺图案的由来与发展

密铺平面（Tessellation）是指一个或多个几何形状没有间隙或不相重叠地平铺一个表面，可以看做是一种二维平面网格的划分。早在公元前4000年，苏美尔人就开始使用密铺法来建造由粘土砖图案形成的墙壁装饰。1619年，约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）对“密铺”进行了早期文献研究。他在《世界的和谐》（Harmonices Mundi）一书中撰写了有关规则和半规则密铺的文章，据推测开普勒是第一个探索并解释蜂巢六边形密铺结构的人。

经过一代代科学家和数学家的研究，在20世纪末，1987年，布兰科·格林鲍姆（Branko Grünbaum）与谢泼德（G.C.Shephard）出版了著作《铺砌与图案》（Tilings and Patterns），该书梳理汇总了大量有关密铺的数理法则，对后世产生深远的影响。

二维平面密铺分为周期性密铺和非周期性密铺。周期性密铺图案（图1）主要分为规则密铺（regular tessellation）、半规则密铺（semi-regular tessellation）和不均匀半规则密铺（Demi-regular tessellation）。密铺法的本质是满足多边形顶角相接点处内角和等于360°。规则密铺是指同一形状的正多边形密铺一个平面，只有6个正三角形（内角为60°），4个正四边形（内角为90°）和3个正六边形（内角为120°）可以完成密铺，因为其余正多边形的内角度数都无法被360°整除。半规则密铺是指两种或两种以上的正多边形密铺一个平面，但每一个相接点周围的正多边形种类和顺序完全相同，这一密铺法有8种组合方式。以下用（nm）表示这8种组合方式，n为正多边形的边数，m为正多边形的个数，顺时针排布：（34，6），（33，42），（32，4，3，4），（3，4，6，4），（3，6，3，6），（3，122），（4，6，12），（4，82）。不均匀半规则密铺是指两种或两种以上的正多边形的组合密铺，这一法则的交接点混合了多种密铺图形，不同于前两者须满足交界点处密铺图形完全相同的要求。对于符合不均匀半规则密铺的图形组合在学术上一直存在争议，目前认同的较为精确的图形组合共有20种，由格伦鲍姆于1987年发表在著作Tilings and Patterns上。此外，约公元600年，从古罗马、萨珊王朝及拜占庭帝国衍生出的伊斯兰密铺图案也是周期性密铺模型的重要分支，由于伊斯兰文化的无神主义论促使艺术家们基于数学探索出了一套完备的图案装饰法则，以正方形和圆作为基底展开创作。

图1 周期性密铺图案的分类

图2 彭罗斯型密铺

图3 特鲁谢法则的两个基本模型

图4 以正三角形和正六边形作为框架模件的图案设计（作者自绘）

图5 密铺图形框架内模件设计规则（作者自绘）

图6 曲线填充型模件设计（作者自绘）

以上密铺方式均属于周期性密铺，非周期性密铺的模型也不在少数。彭罗斯型密铺（Penrose Tiling）是其中著名的模型之一，它是以英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）命名的。彭罗斯型密铺共有三种类型，五角星型密铺（pentagonal tiling）、风筝和飞镖型密铺（Kite and dart tiling）以及最为出名的菱形密铺（Rhombus tiling）（图2），由一个内角为36°、144°、36°和144°的窄菱形和一个内角为72°、108°、72°、108°的粗菱形拼接得到。

如今，密铺理论的应用颇多。二维和三维密铺模型都得到广泛的发展。如建筑领域中，密铺图案在建筑表皮和空间结构的应用；如晶体学领域中，密铺模式如何优化晶体结构等等。

二、特鲁谢法则的延伸（Truchet Tiling）——“中心对称边线分割法”

特鲁谢法则是在正四边形密铺法则的基础上，提出的对密铺图形加入装饰性纹样的法则，且装饰性纹样具有使正四边形四边任意相接的特性。1704年塞巴斯蒂安·特鲁谢（Sebastien Truchet）在一篇名为Mémoire sur les combinaisons的文章中首次提及。特鲁谢法则主要有两个模型（图3）。一是等腰直角三角形模件：沿正四边形的对角线将其平分为两个三角形并将其中一个填色。以此模件为基准，通过旋转、镜像的手法可以得到该单元共四个方向的模件，这四个模件满足四边任意相接的特性，从而通过不同的组合方式可以得到无穷多的拼接图案。二是1/4圆弧模件：1987年，Cyril Stanley Smith总结了特鲁谢的思想，并在其论文中加以推广，他提出了这一新模型，这一模型是连接正四边形相邻边中点的两个1/4圆，从而得到两个不同方向的模件并组合拼接出无穷的图案。

对特鲁谢法则的两个基本模型展开分析。两个基本模型实则都是对正四边形这一满足密铺条件的单元形的再设计，然而此处的正四边形只是作为模件框架存在，它的密铺性质是隐形的，最后组合图案的样式是由正四边形内图形的构成形式决定。所以特鲁谢法则的密铺框架单元不是唯一的，与正四边形具有相同性质的无缝密铺的图形框架是正三角形和正六边形，图4展示了以正三角形和正六边形作为框架模件的图案设计。

接着，对密铺图形框架内模件设计规则展开研究。经研究发现，模件必须具备各方向无缝衔接的特点，以满足“一到无穷”的图案拼接特性。因此框架内的填充图形与框架各边的交点须满足中心对称的设计规则。以正四边形框架单元为例，设正四边形边长为10个单位长度，则符合中心对称的取整数长度的分割法有11种，分别是（1，4，4，1）、（2，3，3，2）、（3，2，2，3）、（4，1，1，4）、（1，1，3，3，1，1）、（1，2，2，2，2，1）、（1，3，1，1，3，1）、（2，1，2，2，1，2）、（2，2，1，1，2，2）、（3，1，1，1，1，3）、（1，1，1，1，1，1，1，1，1，1）。若分割长度取所有有理数，那么分割所得的模件框架是无穷尽的。通过以上分割法的数据，可以设计出图中所示的模件网格，从而设计出多样的模件样式（图5）。当然，曲线填充型模件的设计，虽不以模件网格为基准，但依旧满足中心对称的边线分割法则，图6是以边长为10个单位，按照（2，3，3，2）的分割法完成的圆弧填充型模件设计和组合图案设计。

当掌握了模件设计规则，试图思考该规则下模件的变体。目前变体有以下几个方向：负形、线性、点阵、颜色。因为模件是在分割法规则下诞生的，所以模件的负形亦满足模件本身的所有特性，如图7展现了模件负形的多样性。线性法和点阵法分别是将模件中填充形面的关系变为线的关系和点的组合关系（图8）。而颜色的填充特别是渐变色的填充常常可以起到改变图案视效的作用（图9），从而带来图案的纵深感、空间感、膨胀与收缩、实与虚等等特性。对于模件变体的思考有助于丰富模件设计的细节与层次，使得拼接所得图案更加引人入胜。

最后，是对模件组合法则的扩展。模件都是以密铺图形为框架，除了等大排列模件以外，按一定的比例放大和缩小模件亦可排列组合成新的图案样式，由于图案大小的异同，使得组合而成的图案具有更丰富的节奏与韵律（图10）。综上，从“密铺框架单元”“边缘分割法”“模件变体”“模件组合方式”四个角度对特鲁谢模型展开延伸与拓展，由此获得一个新的图案构成系统，笔者称其为“中心对称边线分割法”，此法则的整体设计思路遵循图11所示的顺序和规则。

三、特鲁谢法则的意义与价值

图7 正负形模件（作者自绘）

图8 线性与点状模件（作者自绘）

图9 模件中不同的颜色配比带来的不同视效（作者自绘）

图10 模件组合法则扩展（作者自绘）

图11 “中心对称边线分割法”设计思路（作者自绘）

图12 特鲁谢法则的量化（作者自绘）

图13 国际通用17种对称法

运用数理分析法对特鲁谢法则的图案结果进行分析，通过量化的手法解说特鲁谢法则得到无穷图案的原因，这也是深入探索此法则的重要意义之一。设等腰直角三角形模型的基本模件为A，由此可以得到与此相关的其他三个方向的模件为A1，A2，A3（图12）。组合A与自身以及其他模件，可以得到“1×1”的新模块，其中以A为起始的模块有41个，共41×4=16个。接着，以AA为模件组合自身及其他模件，得到“2×2”的新模块，其中以A为起始的模块有42=16个，其他模件的组合方式和AA完全相同，所以共有42×4=64个。其次，以AAAA为模件组合自身及其他模件，得到“4×2”的新模块，其中以A为起始的模块有162=256个，以此类推，所有模件的组合共有256×4=1024个。同理，当以AAAAAAAA为模件组合为“4×4”的新模块时，以A为起始的模块有2562=65536个，以此类推，所有模件的组合共有65536×4=262144个。至此，研究表明，当模件组合得到的新模块无限增多时，其组合形成的图案样式亦无限增多，呈平方式陡增而达到无穷多个。

因而特鲁谢法则具有“一到无穷”的变化特性，由一个或多个满足特定条件的模件，经组合得到多样的模块，模块的再组形成无穷多的图案。重要的是，图案构成方式的视觉冗余度②的高低取决于设计者对模件组合方式的排布，于是呈现的图案具有多元性：对称或非对称，唯一中心或多中心，简单或复杂，有序或无序等等。因而该法则下组合得到的图案可以适配不同领域的不同要求，不论是要规避视知觉注意的边缘性装饰图案，还是要引起视知觉注意的具有视觉张力的中心性图案，该法则都可以满足实际需求，具有极强的包容性。

相比较当下几何图案的其他构成法主要有以下两种：一是基于1937年安德烈亚斯·施派泽（Andreas Speiser）提出的17种图形群体组合理论，并于1978年美国数学家多丽丝·沙特施耐德（Doris Schattschneider）以国际标准符号将这17种对称法则图标化（图13）；二是基于密铺模式体系下形成的密铺图案群。这两种几何图案构成法组合的图案单一、对称、有序，均具有显著的易被视知觉识别的重复单元与变换法则，因而视觉冗余度低，图案包容性弱。人类的审美经验存在这样一个基本事实：愉悦存在于单调和杂乱之间。单调图案的排布会在极短时间内让我们意识到它的规律，视觉预期会让我们停止对它的注意。而过于复杂则会使我们的知觉系统负荷过重而放弃对它进行观赏。

特鲁谢法则高包容度的优势是显而易见的。重要的是，在当下数字化时代，该法则具有量化为算法和程序的优势，可结合编程和参数化技术在各行各业发挥重要作用。

注释：

①“包容性”是指主体对客体的容纳程度。英国标准协会（2005）将包容性设计定义为主流产品或服务的设计能为尽可能多的人群所方便使用，无需特别的适应或特殊的设计。这里借用此意，意在指图案设计容纳不同人群审美需求、适配于不同领域的程度。

②这里利用贡布里希《秩序感》中对“视觉冗余度”的引申义，指视知觉对信息数据的感知程度。易被大脑识别、符合视觉预期的图案组织结构具有较高的视觉冗余度，不易引起我们的知觉注意；相反，不易被识别、违背视觉预期的图案组织结构具有较低的视觉冗余度，容易引起知觉注意。