浅析地球经纬网和单位经纬线长度

任正瑛

摘 要：单位经线长度是指经线跨越每1度、每1分、每1秒纬度的长度，单位纬线长度是指纬线跨越每1度、每1分、每1秒经度的长度。了解地球经纬度的定义和性质，在标准球体模型中我们很容易掌握地球经纬网的特征和性质，并推算出地球单位经纬线的长度。但地理学中的经纬度，是以特殊的角度来定义的，经纬线的真实长度受到地球真实形状和地形的影响，因此，在不同的地球坐标系中，地球的单位经纬线长度并不相等。地球上，不同地点的单位经纬线长度变化遵循什么规律，值得地理学爱好者认真研究和探讨。

关键词：地球;经纬度;经纬线;长度

一、地球经纬线和经纬度概述

1、地球经线和经度

经线也称子午线，是人们为了方便确定地理位置而假设出来的，指示南北方向的辅助线。高中地理教材中是这样描述经线和经度的：经线是地球表面连接南北两极的大圆线上的半圆弧;任两根经线的长度相等，相交于南北两极点;每一根经线都有其相对应的数值，称为经度。1884年的国际地理大会将经过格林尼治天文台的经线定为经度的起点，即“本初子午线”，本初子午线以东叫东经，本初子午线以西叫西经;将东经180°（与西经180°重合），定为“国际日期变更线”，该线两侧日期相差一日;东经用“E”表示，西经用“W”表示，每条东经线与背面的一条西经线共同构成一条经线圈，经度之和为180°。每一度经度分为60分，每一分分为60秒;不同的经线具有不同的地方时，偏东的地方时要比较早，偏西的地方时要迟。地理学里，经度的标准定义是：通过某地的经线面与本初子午面所成的二面夹角。如图1中，甲、丙同处在东经20°经线面上，经度均为20°W。

2、地球纬线和纬度

纬线也是为了方便确定地理位置而假设出来的，指示东西方向辅助线。它是地球表面某点随地球自转所形成的轨迹，它们都相互平行，并与经线垂直。纬线的长度不等，赤道为最长的纬线，从赤道向两极纬线圈逐渐缩小，到南、北两极缩小为点。每一根纬线都有其相对应的数值，称为纬度。地理学里，纬度的标准定义是：过球面上某点作法线（与地面垂直的线），纬度是该法线与赤道平面的线面角（线与面的夹角），其数值在0至90度之间。位于赤道以北的纬线叫北纬，记为N;位于赤道以南的点的纬度称南纬，记为S，起点面是赤道平面，北纬度的最大值为90°N，即北极点，南纬度的最大值为90°S ，即南极点。赤道、南回归线、北回归线、南极圈和北极圈是特殊的纬线。如图1中，甲、乙的地面法线与赤道平面的夹角均为40°，纬度均为40°N。（如图1）

3、地球经纬网

经度和纬度都是一种角度。经度是经线平面与本初子午线平面之间的夹角，纬度是与地面法线与赤道平面之间的夹角。在地球仪上，由经线和纬线组成了经纬网，覆盖全球。将经纬网地球仪展开，就形成了一幅展开的平面地图，各地显示比例与图1的投影图相比是有差别的。利用图中确定的地理坐标体系，人们可以确定地球任意一点的方向和位置，便于精确定位（如图2）。

如果将地球视作标准的球体，地面某点的经度等于球心连线和本初子午线平面的夹角;地面某点的纬度等于球心连线和赤道平面之间的夹角，此时的地球经纬网具有如下特点：

（1）一个经度和一个纬度一起确定地球上一个地点的精确位置。

（2）所有的经线圈都是一样长，且等于地球赤道周长。

（3）赤道是纬度的起点，也是最长的纬线，其长度向两极逐渐缩短，直到两极点的纬线长度为零。

（4）由于一个地点的经度一般与它于协调世界时之间的时差相应，每天有24小时，而一个圆圈有360度，因此地球每小时自转15度，经线每相隔15度，地方时相差1小时。通过对地方时的测量，一个人可以算得出他所在的地点的经度，为了计算这个数据，他需要一个指示协调世界时的钟和需要观察对太阳经过子午圈的时间。

二、标准球体下的经纬线长度和单位经纬线长度

1、标准球体下的经纬线长度

我们知道，地球的平均半径为6371公里，将地球视为标准球体，根据圆的周长公式，我们很容易算赤道的长度约为40030公里（真实的赤道周长约为40075公里）。由于地球纬度长度由赤道向两极逐渐减小，因此，地球赤道两侧的其它纬线周长小于赤道周长，且相距赤道越远周长越小。

如图3左侧所示，我们将经过B点的水平圆弧定义为赤道，它的理论长度为40030公里，将经过A点的圆弧定义为目标纬线，AB处在同一条经线上（即AB垂直于A、B两点处在的纬度），连接AO和BO，AO垂直于地面，A点的纬度值即为AO与BO之间的夹角θ。用OAB平面截出地球剖面圖如图3右侧所示，OB为赤道的半径，AO为经过A点纬线的半径，可知：AO∥OB，∠AOO=90°，OA=OB，所以AO=OAcosθ= OBcosθ。根据周长公式C=2πr，经过A的纬线长度为“赤道周长×cosθ”，所以：过A点纬线周长等于赤道周长乘以A点纬度的余弦。

将地球视为标准球体，根据经线的定义，可以判断每一条经线圈的长度相等，每条经线等于赤道周长的一半，即约等于20015公里。

2、标准球体下的单位经纬线长度

（1）跨单位纬度的经线长度（简称单位经线长度），即经线跨越每1度（或每1分、每1秒等）纬度的长度。如图1所示的地球经纬度，甲、丙两点处在同一条经线上，且两点纬度跨40度，单位纬度长度是指甲丙之间每相距1个单位纬度产生的距离。我们知道标准球体模型下，经线的长度是相等的，那么单位纬度长度也很方便计算，即用经线总长乘以一定的均分系数即可，如下表所示。

（2）跨单位经度的纬线长度（简称单位纬线长度），即纬线跨越每1度（或每1分、每1秒等）经度的长度。如图1所示的地球经纬度，甲、乙两点处在同一条纬线上，且两点经度跨40度，单位纬线长度是指甲乙之间每相距1个单位经度产生的距离。由于纬线长度南北半球对称相等，且与纬度的余弦值成正比，通过查余弦值表，可以计算出不同纬度的纬线长度，再乘以一定的均分系数，即可算出不同纬度地区单位经度的纬线长度。下表列出了几个代表性纬线上单位经度的纬线长度。

三、地球实际情况的复杂性

人类很早就知道了地球呈球形。2000年多年前，亚里士多德通过观察不同地区北极星的位置，发现大地是弧形的;1519至1522年，葡萄牙人麦哲伦的船队完成了人类历史上第一次环球航行，它以无可辩驳的事实向全人类证明了地球是球形的说法。但是地球并非是规则的球形，这一点直到大地测量术取得发展后，才慢慢被发现，而这一结果的发现与测量单位经纬度的长度有关。我国唐代杰出天文学家一行和尚，在世界上首次推算出单位经线长度（当时的测量结果比真实情况稍有偏差），1730年，西方科学界根据各地测量的单位经纬线长度并不一致，对地球的真正形状产生了争论，法国数学家、物理学家莫佩尔蒂运用牛顿运动定律，在恩师约翰·伯努利的悉心指导下，论定地球不可能是标准球体，而是近扁球形的。他的学术对手法国天文学家雅克·卡西尼则认为地球是长球形的。为了平息这场争论，1736年，他们同时率领一支远征队去北极附近和赤道附近测量单位经纬度的长度，结果发现地球的确不是标准球体，而是“两极稍扁、赤道略鼓”的不规则球体。

此外，由于全球各地地形的不同，地球表面离地心的距离非常复杂，它必定对大地测量的精准度产生影响。在卫星遥感和定位技术成熟后，经过精确测量，并划定大地平均水准面后（为了减少地形对地球半径的影响），人们发现：从远距离看上去，地球形状像一只梨子：它的赤道部分鼓起，是它的“梨身”，北极有点放尖，像个“梨蒂”，南极有点凹进去，像个“梨脐”，整个地球像个梨形的旋转体，因此人们称地球为“梨形地球”。从地心到北极或南极的距离，大约6356.9公里（两极的差极小，可以忽略）;从地心到赤道的距离，大约6377.8公里;地球平均半径大约6371.4公里 ，这个数字是地心到地球表面所有各点距离的平均值。据此可计算出地球赤道周长大约为40075千米，比用地球平均半径计算出来的结果大约增加45公里。

四、地理坐標系统和经纬度大地测量术

1、三大地理坐标系统

地理坐标分为天文坐标系、大地坐标系与地心坐标系。

天文坐标系是以铅垂线为基准、以大地水准面为基准面建立的坐标系。它以天文经纬度（λ，ψ）表示地面点在大地水准面上的位置，其中天文经度λ是观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的二面角，天文纬度ψ定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。天文坐标系形成得较晚，但对其它坐标系有校正作用。

大地坐标系是以椭球面法线为基准线，以参考椭球面为基准面建立的坐标系，它以大地坐标（L，B，h）表示地面点在参考椭球面上的位置，其中大地经度L为参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的二面角，大地纬度B为参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角，h为大地高，即从观测点沿椭球法线方向到椭球面的距离。大地坐标系成熟于20世纪半期，我国目前常用坐标系就是大地坐标系 （CGCS2000）。

地心坐标系是与地球真实情况固定在一起的参考坐标系，它以球心为原点建立标准球体坐标系，与地球固连在一起，与地球同步运动，以（L，B）来表示点的位置，其中L为地心经度，与大地经度一致，B为地心纬度，指观测点与球心连线与赤道面之间的夹角。地心坐标系是天文坐标系与大地坐标系之间融合而成的坐标系，产生时间较晚，但与航空航天密切相关。

2、经纬度大地测量术

人们很早就发现，在地球上任何地点，只要有一只精确的钟表、一根竹竿和一把卷尺，就可简易地测出当地的经纬度。方法如下：为了计算方便，我们取中国东北所地，并在春分日当天测量（太阳直射点在赤道上）。在水平地面上垂直地插上竹竿并固定住，假设竹竿的影子最短时是中午13点20分，此时杆长与影长之比为1，则可知该地是北纬45°（tanα=1，则α=45°）。由于我国采用的北京时间位于东八区（中心经线为120°E，中午12点时太阳入射角最高，竿影最短），此地太阳入射角度最高是13点20分，说明地处东八区偏早1小时20分的时区，经度每1小时减15°，4分钟减1°，说明此地经度为东经100°。后来，人们根据一年中太阳直射点变化规律，可以参照以上方法，在任意时点推算出当地的经纬度，从而建立地球的经纬网，延用至今，这个经纬坐标系属于大地坐标系。

五、单位经纬线长度的修正

2000多年前，古希腊天文学家托勒密根据前人测量结果，绘制了一份标有经纬度的地中海地图，对地中海沿岸重要城市等8000多个地方标识了经纬度，这份地图被航行在地中海中的一些船只用于定位和确定航程。但经过航海家的反复验证，发现这幅地图并不实用，许多航线的距离存在偏差，从而发现地球的单位经纬线长度并非完全相等。

下图4是地球沿某条经线剖开后的地表示意图，该经线经过B点。为了便于研究，我们将赤道隆起部分放大，即OB>OA。我们画出地表的法线CG、DF，分别与赤道OB相交于G点和F点。根据大地坐标系和纬度的定义，我们可以发现C点的纬度实际上是∠1的度数，D点的纬度实际上是∠2的度数。如果∠2是∠1的两倍，即从赤道上的B点出发，到达D点时测量的纬度，是到达C点时测量的纬度的2倍，显而易见，所经过的弧BC和弧CD并不一样长。

由于赤道的地球半径更长，C点处的法线必然更加偏离球心（G点比F点更加向右侧偏离），所以弧BC<弧CD，即地表隆起幅度越大，单位经线长度越短，而单位纬线长度就越长。由于地中海沿岸城市地处北纬200至450之间，各地的地球半径并不相等，航海家依照托勒密地图在大海上航行，他们认为纬度相差n倍，距离就应该相差n 倍，必然会发生“图实不符”的现象，这也是莫佩尔蒂在测量北极的单位经纬线长度时，发现北极有些地区的单位经线长度高于赤道附近的单位经线长度的原因。

图4  赤道附近单位经纬度测量偏差分析

我们再在弧AB的内侧，画出以OA为半径的标准圆。使得∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，可以看出从地表上的B点向A点移动，单位纬度的长度之差在逐步减小。如果我们把赤道隆起和地形相联系，同样可以看出海拔高度也会对单位经纬线长度产生影响，因此大地坐标系与其它坐标系有较大的差别。在现代测量技术出现后，科学家根据地球的平均海拔给地球表面建立了平均水准线，并运用卫星定位系统对经纬坐标进行修正，地球三大地理坐标系统现在均已不受地面海拔的影响。

经过科学家的测量，在广泛运用的大地坐标系中，不同纬度地区的实际单位经纬线长度如上表3所示。将表3与表1、表2进行比照，可以看出：

1、真实的地球，低纬度区域跨单位纬线长度，比以地球平均半径为半径的标准球体的单位纬线长度要长，在45°N和45°S附近差距最大，跨1度经度的纬线长度差距可达到0.3公里;在高纬度区差距逐渐缩短，两极极点附近一定短于标准球体的单位纬线长度。

2、真实的地球，低纬度区域的单位经线长度，比以地球平均半径为半径的标准球体的单位经线长度要短，赤道附近跨1度纬度的经线长度差距可达到0.62公里，相差比例达到5‰，且纬度越低差距越大，在45°N和45°S附近差距几乎为零;高纬度区域的单位经线长度，比以地球平均半径为半徑的标准球体的单位经线长度要长，两极附近跨1度纬度的经线长度差距可达到0.5公里，相差比例接近5‰，且纬度越高差距越大。

由于地球形状的不规则，天体测量所得的信息（如卫星导航系统）并不能在地面等距离地测出位置。庆幸的是，在卫星遥感和定位系统出现后，科学家利用卫星导航技术对全球的经纬度系统进行了严格确定，目前全球定位系统（GRS80）已经对地表任一处经纬度进行了精确定位，避免了再运用大量实测来修正理论计算的复杂过程。

六、结论

根据以上分析，假定地球是标准球体，地球经线长度相等且等于赤道长度，纬线随纬度增加而增加，且等于赤道长度乘以纬度余弦值。而根据地球真实形状，利用地球赤道半径、极半径和平均半径，可以计算出赤道长度，确定每跨1度经线赤道的单位长度。由于赤道地区的地球半径稍长，在大地测量时会发现：赤道地区单位经线长度比理论值要少，相差比例达到峰值5‰，单位纬线长度比理论值要多;在45°N和45°S附近，单位经线长度与理论值相近，单位纬线长度比理论值要多，相差比例达到峰值2‰;在两极地区，单位经线长度比理论值多，相差比例达到峰值5‰，单位纬线长度比理论值要少，相差比例达到峰值5‰。上述的差距变化遵循渐变规则，在计算时可以粗略估算出来。

随着高科技的发展，人们对确定目标位置的准确性提出了更高的要求，在精确定位时，我们需要注意不同的坐标系统之间的互换规则。不同的导航设备和地理坐标往往有系统差别，例如，现代大地测量学常用天文经纬度定义地理坐标，地图学则以大地经纬度定义地理坐标，而在小比例尺制图中，通常采用地心经纬度。注意这些细小差别，科学地进行坐标系统转换，并对不同系统中的单位经纬线长度进行验算比较，才能确保坐标系完全一致，做到“图实相符”，从而使定位更加精确。