妙解等差数列基本问题

黄雨明 闽侯二中 福建福州 350112

数列作为高中数学教学中最重要的考察内容之一，在高考中占有非常重要的地位。而高中所涉及的数列主要包括等差数列和等比数列两大类，本文主要探讨等差数列，并结合近年来的高考真题就等差数列在高考中的考察方式进行解析，以供读者参考.

一、等差数列的定义

定义：等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

二、等差数列的基本性质

在高考中，对于等差数列的考察，主要以其基本性质为主，下面归纳几条在高考中常考的等差数列的基本性质.

⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N)时，S偶－S奇 = nd，S奇÷S偶=a÷a；当项数为(2n－1）(n∈N)时，S奇—S偶 =a（中）， S2n-1=(2n－1）a（中），S奇 ÷S偶=n÷（n-1）.

⑶若数列为等差数列，则Sn，S2n －Sn ，S3n －S2n，…仍然成等差数列，公差为nd.

三、实战演练

下面结合具体的高考真题，对等差数列进行解析.

例1（2015陕西卷理科，13）

中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_________.

【答案】 5

【解析】设数列的首项为a，则2015 2 1010 2020 a+ =× = ，所以5a=，故该数列的首项为5，所以答案应填：5.

【点拨】这道题考察的是等差中项的计算，即等差数列的[首项+末项=2×中间项].

例2（2016全国卷理科，17） S为等差数列{a}的前n项和，且 a= 1， S=28.记b=[lg a]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0 .9]= 0，[l g 99]=1.

（Ⅰ）求 b， bb；

（Ⅱ）求数列{b}的前1 000项和.

【答案】（Ⅰ） b= 0 ， b= 1 ， b= 2 ；（Ⅱ）1893.

（II）用分段函数表示bn，再由分段函数的前n项和公式求数列{bn}的前100项和.

（Ⅰ）求{ a}的通项公式：

所以数列{ a}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以 a=2 n + 1 ；

【点拨】这道题考察了数列前n项和与第n项的关系，还考察了等差数列定义与通项公式，难点是裂项相消法。（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{ na }的递推公式，可以判断数列{ na }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{a }的通项公式；

四、小结

通过以上几道真题的解析，我们不难发现，高考对于等差数列的考察难度一般不会太大。主要考察等差数列的定义、等差数列的基本量运算以及等差数列的性质应用。在考试的过程中，需要熟练掌握这三点。在复习中要注重基础知识的梳理、基本数学思想和方法的归纳与提炼，既要熟悉有关公式与结论，还要注重知识的内在联系，既要用好教材，又要注重深化与拓展。其次数学解题中，一定要注意书写与表达的规范、严谨，如写数列的通项公式应写成方程形式，并尽量写出定义域等。另外很多学生在解数学题时常常因为粗心大意而计算错误，究其原因，这其中有数学基本功不够扎实的因素，也有粗心大意等原因，实际上，有时我们需要静下心来仔细分析我们的运算过程，思考计算能否优化与简化的问题。改进这些不良因素需要长期的磨练与积累。长此以往，或许你会不再惧怕运算了，反而因为数学的巧妙运算而另眼相看。

总之，学习数学的过程中要端正态度、重视课本的范例、加强阅读、学会审题、规范表达、提高运算技巧、提升思维能力、善于总结，力求小题不丢分，大题多得分，坚定自己的信心，面对考题时真正做到不畏惧，相信自己一定能考出好成绩的。