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妙解等差数列基本问题

时间:2024-05-04

黄雨明 闽侯二中 福建福州 350112

数列作为高中数学教学中最重要的考察内容之一,在高考中占有非常重要的地位。而高中所涉及的数列主要包括等差数列和等比数列两大类,本文主要探讨等差数列,并结合近年来的高考真题就等差数列在高考中的考察方式进行解析,以供读者参考.

一、等差数列的定义

定义:等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

二、等差数列的基本性质

在高考中,对于等差数列的考察,主要以其基本性质为主,下面归纳几条在高考中常考的等差数列的基本性质.

⑴数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列中,当项数为2n (n∈ N)时,S偶-S奇 = nd,S奇÷S偶=a÷a;当项数为(2n-1)(n∈N)时,S奇—S偶 =a(中), S2n-1=(2n-1)a(中),S奇 ÷S偶=n÷(n-1).

⑶若数列为等差数列,则Sn,S2n -Sn ,S3n -S2n,…仍然成等差数列,公差为nd.

三、实战演练

下面结合具体的高考真题,对等差数列进行解析.

例1(2015陕西卷理科,13)

中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为_________.

【答案】 5

【解析】设数列的首项为a,则2015 2 1010 2020 a+ =× = ,所以5a=,故该数列的首项为5,所以答案应填:5.

【点拨】这道题考察的是等差中项的计算,即等差数列的[首项+末项=2×中间项].

例2(2016全国卷理科,17) S为等差数列{a}的前n项和,且 a= 1, S=28.记b=[lg a],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0 .9]= 0,[l g 99]=1.

(Ⅰ)求 b, bb;

(Ⅱ)求数列{b}的前1 000项和.

【答案】(Ⅰ) b= 0 , b= 1 , b= 2 ;(Ⅱ)1893.

(II)用分段函数表示bn,再由分段函数的前n项和公式求数列{bn}的前100项和.

(Ⅰ)求{ a}的通项公式:

所以数列{ a}是首项为3,公差为2的等差数列,

所以 a=2 n + 1 ;

【点拨】这道题考察了数列前n项和与第n项的关系,还考察了等差数列定义与通项公式,难点是裂项相消法。(Ⅰ)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{ na }的递推公式,可以判断数列{ na }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{a }的通项公式;

四、小结

通过以上几道真题的解析,我们不难发现,高考对于等差数列的考察难度一般不会太大。主要考察等差数列的定义、等差数列的基本量运算以及等差数列的性质应用。在考试的过程中,需要熟练掌握这三点。在复习中要注重基础知识的梳理、基本数学思想和方法的归纳与提炼,既要熟悉有关公式与结论,还要注重知识的内在联系,既要用好教材,又要注重深化与拓展。其次数学解题中,一定要注意书写与表达的规范、严谨,如写数列的通项公式应写成方程形式,并尽量写出定义域等。另外很多学生在解数学题时常常因为粗心大意而计算错误,究其原因,这其中有数学基本功不够扎实的因素,也有粗心大意等原因,实际上,有时我们需要静下心来仔细分析我们的运算过程,思考计算能否优化与简化的问题。改进这些不良因素需要长期的磨练与积累。长此以往,或许你会不再惧怕运算了,反而因为数学的巧妙运算而另眼相看。

总之,学习数学的过程中要端正态度、重视课本的范例、加强阅读、学会审题、规范表达、提高运算技巧、提升思维能力、善于总结,力求小题不丢分,大题多得分,坚定自己的信心,面对考题时真正做到不畏惧,相信自己一定能考出好成绩的。

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