浅析初中几何中的逆向思维

汪玉艳

摘 要：初中几何的教学要求学生必须具有一定的逆向思维能力，但学生在进行数学问题处理时容易受定向（常规）思维模式影响，解题思路禁锢，解题能力受限，因而觉得几何远比代数难学。作为教师我们应注重培养学生的逆向思维能力，以促使初中学生的数学逻辑思维能力得以全面发展。所谓的逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。在几何题中，是从结论反推至已知的一种方法。

关键词：逆向思维；推理；学习；渗透

一、逆向思维在初中几何中的应用

1.利用逆向思维分析所求结果，探知条件和结果的因果关系，寻求解题途径

例：如上图在直角三角形ABC中，斜边BC上的高为AD，求证：+=。这道题已知条件不多，需要证明的结论较复杂，一般学生都觉得难以证明。如果我们告诉学生利用逆向思维分析，从结论反推通分不难得出：=，再由勾股定理可知：AC 2+AB 2=BC 2，将AC 2+AB 2用BC 2代替从而推理出：BC 2. AC2=AB 2. AC2，再提示学生在几何图形中观察，BC、AD与AB、AC这两组线段的积与直角三角形ABC的面积关系，这样就回到了已知条件。

2.利用逆向思维为有效添加辅助线提供帮助

例：如图一已知AB∥CD，求证：∠A+∠AMC+∠C=360°

逆向思维过程：从结论∠A+∠AMC+∠C=360°入手，要得到360°结合前面所学知识，要么就要构建两个平角、要么就要构建一个四边形或者构建一个三角形和一对补角、两对补角。根据这些联系，结合图形思考，学生不难作出下列几种辅助线。

（1）过M作AB的平行线EF（如图二），将∠AMC分成两个角∠AME、∠EMC，再根据平行线的性质不难得到两对同旁内角互补（或者得到两个平角∠EMF、∠FME，再根据平行线的性质，得到∠A=∠AME，∠C=∠CME），命题得证。

（2）过A作直线与CD相交（如图三），构建一个四边形AMCE，由AB∥CD不难得出∠BAE=∠AEC，利用四边形内角和得出结果（过C点作直线与AB相交构建一个四边形方法也一样）。

（3）延长AM与DC的延长线相交，再延长BA（如图四），利用三对互为邻补角∠MAF和∠MAB、∠AMC和∠EMC、∠MCE和∠MCD与一个三角形MEC的内角和得出结论（延长CM与BA延长线相交也一样）。

（4）连接AC（如图五），得到一个三角形AMC与一对互补的同旁内角∠ACD和∠CAB，也不难求得结果（任意连接AB、CD上的一点不包括AC，构建一个五边形，利用五边形的内角和减去一对互补的同旁内角，结果也一样）。

逆向思维这种特殊的思维方式，在初中几何解题中可以从一种思维途径自由地转向另一种完全不同的思维途径，思维跳跃性大，更能激发学生的学习兴趣，进行多角度、多方位尝试，打破常规的、固定的思维模式，这种思维的灵活性表现为几何中的一题多解及求异思维。

二、在几何教学中逆向思维的培养

1.培养学生逆向思维意识，了解逆向思维的作用

司马光砸缸救人：7岁的司马光跟同伴在一大水缸边玩耍，一同伴不幸掉入盛满水的大水缸中，其他人吓得四处飞奔，只剩下司马光一人，可他年幼身矮，不能从水缸里救出同伴，怎么办？司马光当时就想，我虽不能将人脱离水缸但我却可以让水与人分开。所以他毫不犹豫地拿起石头将水缸砸破，救出同伴。从这则小故事中不难看出，当时的小司马光在紧急关头，思维活跃，不能使用常规的救人方法将人救出水缸，但却想到了可以让水主动脱离同伴，从而使得同伴得救，这就是逆向思维在生活当中的活用。在做几何证明题时，有时我们碰到一些题根据已知结合图形，不知道使用什么方法推理出结果，这时我们可以尝试从需要得出的结论入手，假若結果成立我们从这里可以得到什么，再一路逆向推理，就可以回到题中的已知，从而将问题解决。所以，在几何学习中学会逆向思维，也会在关键时刻收到异想不到的效果。

2.重视定理、性质的可逆性教学

在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理.因此教学时应重视定理和逆定理，强调其可逆性与相互性，对培养学生推理证明的能力很有帮助. 实践表明，学生对定义、定理、性质的逆向运用不习惯，缺乏应有的潜意识，思维定势在顺向应用上，所以在教学中应强调逆向运用。.如线段垂直平分线的定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。它的逆定理（判定定理）：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。例：若A点到线段BC两端点的距离相等，且AD⊥BC于D，E是AD上的点，求证：BE=CE，大部分学生都会用三角形全等来证明BE=CE，而不会先利用线段垂直平分线的判定定理也是线段垂直平分线的逆定理得出AD是线段BC垂直平分线上的线段，再直接得出BE=CE。解题时学生不会运用互为逆定理解题。 特别在平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定等相关定理与逆定理教学时，要引导学生注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学对开阔学生思维视野，活跃逻辑思维大有裨益。

3.加强逆向变式训练，强化学生的逆向思维

例如：“求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。”一般学生解决这个问题是不困难的，为了使学生对此类问题有更系统、更完整的认识，还可以顺延提出以下问题。变式1：顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么四边形？ 变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么四边形？ 变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么四边形？ 变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么四边形？ 变式5：顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形？ 变式6：顺次连结什么四边形中点可以得到矩形？得到菱形？得到正方形？

变式训练就是让学生同时练习那些在知识、方法上有关联，而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想加深领会，达到触类旁通。

4.重视几何题解题分析，注重逆向思维的渗透

一般的几何题解题思路：从已知条件入手，结合图形利用所学相关知识进行推理，得出结论。但如果我们引导学生先确定所要求证的结论，再结合图形观察，可得到一些比较直观的东西，结合所学一般的题目可能一至两步就能知晓解题方法；甚至碰到一些已知条件较少，不能直接使用常规法推理出结果的，或者需要添加一些辅助线构筑相应的几何图形，才能推理出结论的几何题，利用逆向思维进行思考，也会收到意想不到的效果。

综上所述，逆向思维在初中几何教学中具有十分重要的作用。学生运用逆向思维可以加深对基础知识的理解和掌握，可以简化解题过程，降低解题难度，巧获解题结果；进而可以培养学生创新能力，提高综合分析问题的能力，增强逻辑思维的灵活性。因此在平时的数学教学过程中，我们必须有意识、有计划地渗透和强化逆向思维的训练，培养学生的逆向思维能力，提升学生的思维水平。