基于功率谱估计的骨密度含量程度的分析

刘璐

摘 要：传统骨密度仪测量的原理是利用超声波通过不同介质时波速发生相应的改变来测量骨密度含量，或利用X射线对骨密度做定量判断。但这些方法对于测量结果的分辨精度并不高。因此，文中提出了基于功率谱估计的骨密度含量程度测量方法。基于信号功率谱的分析，检测出骨密度的含量。经仿真实验验证，本方法对人体骨密度含量的程度分析具有一定的分辨精度，且运算复杂度较低。

关键词：骨质疏松；骨密度测量；超声波检测；功率谱密度估计

中图分类号：TP202 文献标识码：A 文章编号：2095-1302（2018）03-00-03

0 引 言

骨质疏松症（osteoporosis）是由多种原因导致的骨密度和骨质量下降，骨微结构破坏，而造成骨脆性增加，容易发生骨折的全身性骨病。骨质疏松症分为原发性和继发性两大类。骨质疏松症所带来的疼痛大大降低了患者的生活质量，导致患者脊柱变形、骨折甚至残疾，使患者活动受限、生活不能自理，增加肺部感染、褥疮发生率，不仅降低了患者的生命质量，导致死亡率上升，同时也给个人、家庭和社会带来了沉重的经济负担[1-3]。现阶段的双能X线吸收测定法（DXA）[4，5]是比较受推崇的方法，但使用该方法时需让患者接近X射线，辐射会对虚弱的患者造成一定影响，导致其身体不适。超声波探测法虽可避免接触射线，但测量精度不达标[6]。随着科学技术的发展，信号处理中的部分理论已可逐渐应用于仿真分析生物医学的检测结果中。功率谱反映了一系列生物特征，基于此，本文提出一种基于功率谱估计的骨密度含量程度分析方法。若超声信号回波能量比较高，则说明此时骨骼成份比较充足。因此，通过分析检测骨密度过程中检测信号的功率谱特征，可判断该患者的骨密度情况。将用谱估计方法得到的骨密度估计值与仪器测量值相比较，并用谱估计方法分析测量骨密度过程中测量信号的频谱特征。该方法对于骨密度含量的测量精度较超声波探测法高，且运算复杂度较低，同时还有效避免了X射线的辐射。

1 传统骨密度含量测量方法

1.1 超声波测量骨密度含量的方法

利用超声脉冲波入射到两种不同介质交界面上发生反射的原理检测骨密度。斜探头脉冲反射法是将压电晶片放置在具有一定倾斜角的有机玻璃块上，利用纵波斜入射到被测物中产生波形转换获得横波的检测方法[7]。检测部位为胫骨中部，即踝骨到胫骨顶部一半的位置，测量前先调整探头，找到与胫骨相对平行的区域以减小误差。超声电路的系统原理如图1所示。

1.2 X射线探测骨密度含量

双倍能量X光吸光测定法（简称DXA或DEXA）是当前骨密度检测的最佳方法，已得到了广泛应用。这种检测方法无痛苦且速度较快，不仅可有效检测脊椎骨和髋骨的密度，还能检测全身所有骨骼的密度[8]。由于对DXA扫描仪的校准程度不一，因此建议在同一个地方进行检测，避免出现检测结果无法比较的窘境。但该方法在检测过程中仍存在少量辐射，对身体虚弱的患者存在一定的健康隐患。

2 功率谱估计的方法

谱估计方法包括ARMA谱估计，最大熵谱估计， Pisarenko谐波分解法，扩展Prony法[9，10]。其中，ARMA谱估计方法和最大熵谱估计方法的原理基本相同。本文主要研究ARMA谱估计法。

2.1 ARMA谱估计法

在ARMA谱估计中，线性系统可以用线性差分方程描述。这种差分模型就是自回归滑动平均模型（Auto-Regression Moving Average，ARMA）。

任何一个有理式的功率谱密度都可以用一个ARMA随机过程的功率谱密度精确逼近。若离散随机过程{x（n）}服从线性差分方程：

x（n）+Aix（n-i）=e（n）+Bje（n-j） （1）

式中： i=1，2，…，p； j=1，2，…，q。e（n）为离散白噪声，则称{x（n）}为ARMA过程。上式称为ARMA模型。系数Ai和Bj分别为自回归（AR）参数和滑动平均（MA）参数，而p和q分别为AR阶数和MA阶数。显然，ARMA模型描述的是一个时不变线性系统。具有AR阶数p和MA阶数q的ARMA过程常记作ARMA（p，q）。

2.2 最大熵谱估计

最大熵谱估计（Maximum Entropy Spectral Estimation，MESE）是信号功率谱密度估计的一种方法。1967年由J.P.伯格提出。

最大熵谱估计是根据信号在已知有限延迟点上的自相关函数值保持不变，而按最大熵准则将未知延迟点的自相关函数进行外推后而获得其功率谱密度估计的方法。该方法是一种可获得高分辨率的非线性谱估计方法，特别适用于短数据序列的谱估计。

熵在信息论中是反映信息度量的一个量。某随机事件的随机性越大，即不确定性越高，其熵值与所携带的信息量也越大。因此，根据熵量最大准则，由已知自相关函数，外推未知自相关函数后获得信号谱估计，是可保证已知信息量不变化，而获得估计已知信息量最大的一种谱估计方法。利用最大熵提高谱估计的分辨率，效果明显。

最大熵功率谱估计表达式：若某随机信号x（n）在时延为1到M点上的自相关函数值Rxx（m）（m=1，…， M）已知，则其最大熵谱估计的表达式为：

从最大熵功率谱估计的表达式可以看出，最大熵法与自回归（AR）信号模型分析法及线性预测误差滤波法是等价的，从不同的观点出发得到了相同的结果。

3 基于谱估计的骨密度含量程度的分析

基于谱估计的骨密度含量程度的分析过程如图2所示。首先利用信号发生器产生信号的探测信号，进而采集进入到人体的探测信号的回波信号，此时采样的频率大于最高信号频率的2倍，然后将采集到的回波探测信号存储到信号存储器中，并進行信号处理，对信号进行功率谱估计。

由于电磁波在不同介质中的传播速度不同，因此到达信号存储器的时间延迟不同。电磁波在人体内的传播情况亦不相同。

当人体的骨密度很高时，少量电磁波通过骨头时会原方向返回，与发射信号形成平稳的相干信号。

用se（t）=Acos（2πft+φ）表示发射信号，反射回来的信号sr（t）=Acos（2πf（t-τ）+φ为可见发射信号，与接收到的发射波相差一个时间间隔τ，信号相关函数为：

解此方程组可得相应的功率谱估计系数。

当电磁波经过骨质密度比较疏松的骨骼时，电磁波会发散与折射，或被吸收，信号传播的方向会发生改变。在原有信号传播方向上信号的相关性会变弱。而在Yule-Walk方程组中的相关矩阵中亦有部分相关系数减弱，甚至在此方向上的相关值为零。如果此时解此方程组，则该方程组会变成欠定方程组，出现不确定项，因此对信号的回波功率谱估计效果会大大减弱。隨着相关矩阵中相关系数改变项的增加，即骨密度越来越稀疏，功率谱的估计精度也会逐渐减弱。由此可以判定骨质密度的状况。

可以根据判断正常骨质密度和疏松骨质密度的医学确定值来设定比对参数。表1 所列为骨质结构检测的数值对比。

T值=（测定值-同性别同种族正常成人骨峰值）/正常成人骨密度标准差。

根据T值的计算方法可以得到不同程度骨质疏松患者的骨密度测得值。应用此时的T值进行假设，可以得到相对应的Yule-Walker方程组的相关值矩阵。

假定同性别同种族正常人的骨峰值为D，正常成人骨密度标准差为E，则测定值为：

C=D+TE （6）

当骨密度正常时，取T为-1，则可得到C=D-E，进而可知C1≥D-E。

当骨量低下时可得：

D-2.5E

当骨质疏松时：C3≤D-2.5E。

其中C为测量所得的患者的骨含量值。C1，C2，C3分别为正常情况下的骨含量值，骨量低下时的骨含量值和骨质疏松时的骨含量值。

D与E为参考《人体健康指标书》的已知数值。在同样大小的参考样本下，分如下情况讨论：

（1）当C=C1时，骨密度含量较高，Yule-Walker方程中的自相关矩阵趋于满秩，假设有A个阵元，每个阵元的平均能量为C1/A。

（2）当C=C2时，骨密度含量中等，Yule-Walker 方程中的自相关矩阵的秩远远小于矩阵的行数，此时阵列的阵元数为（C2A）/C1，得到的功率谱会出现谱峰模糊现象。

（3）当C=C3时，骨密度含量较少，Yule-Walker 方程中的自相关矩阵为稀疏阵，其秩小于C=C2时的秩。可以根据不同的C值取对应自相关矩阵的阵元数。此时的阵列阵元数为（C3A）/C1。出现的功率谱谱峰模糊现象很严重，甚至出现分辨不清的状况。

4 实验仿真

取AR（4）令p=4，当C=C1时，自相关矩阵见式（8），且为满秩矩阵。

取AR进行功率谱估计，矩阵的取值为A=[1，-1.3，0.86， -0.676]，对A矩阵进行自相关运算。

运用蒙特卡洛算法，平均估计误差为0.01，运行200次，可得估计的功率谱如图3所示。

当C=C2时，自相关矩阵（8）中的某些元素值为0，非满秩矩阵。

同样，运用蒙特卡洛算法，平均估计误差为0.01，运行200次，可得估计的功率谱如图4所示。

当C=C3时，自相关矩阵（8）为稀疏阵，其中非零元素的个数K<<16（K代表非零元素个数）。

运用蒙特卡洛算法，平均估计误差为0.01，运行200次，可得估计的功率谱如图5所示。

分析比较后，图3所示的功率谱仿真图为正常骨含量的最小值，此时的功率谱图像清晰，在谱峰处形成的峰值较尖锐，可将此图作为高骨密度含量的对比图。

图4所示的功率谱仿真图骨含量较少，当被检测患者检测图的模糊程度处在此图和图3的范围内时，可判断患者骨质较低。

图5所示的仿真图为骨质疏松患者的检测图。当被检测患者的检测图峰值消失时，与此图对比可判断此时为骨质疏松，应该建议患者治疗。

5 结 语

本文主要研究了基于ARMA功率谱估计的骨密度含量程度的分析，重点仿真了其中的AR特性。研究结果表明，该信号处理手段可以有效判断患者的骨密度含量，同时避免X射线对人体的辐射，相比超声波测量方法分辨率高。

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