基于Matlab的飞机机翼结构拓扑优化设计

王飞 张晶辉

摘  要： 为达到飞机机翼结构的最优设计要求，文中提出一种智能化的飞机机翼结构拓扑优化改进设计方法。该设计方法在经典的变密度法的基础上，选用RAMP模型作为材料插值模型，改进了相应的数学模型，最终提出了对飞机机翼结构进行优化的设计方法。文中使用Matlab语言对该设计方法进行了仿真验证，仿真结果证明了该设计方法的可行性和正确性。

关键词： 拓扑优化; 飞机机翼; 数学模型改进; RAMP模型; 设计方法; 仿真验证

中图分类号： TN03?34; TP391                     文献标识码： A                     文章编号： 1004?373X（2019）20?0119?04

Matlab?based topological optimization design of aircraft wing structure

WANG Fei， ZHANG Jinghui

（Xian Aeronautical University， Xian 710077， China）

Abstract： An intelligentized topology optimization design method of aircraft wing structure is proposed to meet the optimal design requirements of aircraft wing structure. On the basis of the classical variable density method， the RAMP model is selected in the design method as the material interpolation model， and the corresponding mathematical model is improved. Finally， the optimization design method of aircraft wing structure is proposed. The simulation verification for this design method is carried out with Matlab.  The simulation results prove the feasibility and correctness of the design method.

Keywords： topology optimization; aircraft wing; mathematical model refinement; RAMP model; design method; simulation verification

在現代科技发展中，一个国家的飞机设计制造水平，既是科研与创造能力的重要体现，也是国防和军队现代化水平的重要指标。所以，大多数国家均对飞机设计进行着深入的研究与改进，不断地推出性能更加全面和先进的飞机。机翼是飞机的关键部件，负责为飞机提供大部分的升力，所以机翼的结构和质量直接关系到飞机的多种飞行性能指标。而如何设计出同时具有较轻的质量、较强的强度与刚度的机翼，成为了所有飞机设计师共同面临的问题[1?3]。

在传统的飞机设计过程中，飞机设计师通常是基于经验确定飞机机翼的原始设计。随后通过具体的实验结果，来验证该设计是否达到了相应的性能要求，若不能达到要求，则设计师需要反复修改其设计方案，重复进行实验。由此造成设计工作繁琐、复杂，缺少设计的统一标准，严重依赖飞机设计师的判断能力和经验水平。为实现飞机模块的优化设计与快速装配，研究者们提出了飞机机翼的结构拓扑优化技术[4?6]，利用力学的基本原理和计算机程序语言，在计算机上建立数学分析模型，从而完成飞机机翼结构布局设计和具体分析[7?8]。本文使用该设计方法，在连续体结构拓扑优化算法的基础上，选用变密度法和RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。并通过引入约束因子对原有的优化方法进行必要的改进，最终提出了智能化的飞机机翼结构拓扑优化改进设计方法。仿真结果表明，该设计方法性能良好。

1  拓扑优化方法

在数学上，结构拓扑优化问题是一种特殊的0?1规划问题。因为飞机机翼是连续体结构，所以本文研究的问题可以归纳为一个连续体结构的拓扑优化问题，即在确定范围内寻找飞机机翼结构的最优布局。连续体结构拓扑优化方法可分为均匀化法、独立连续映射法、渐进结构优化法、变厚度法和变密度法等。本文选用变密度法，主要是因为：

1） 均匀化法是一种基于严谨数学理论推导的优化方法，在拓扑优化理论领域具有无可替代的作用。然而，该种算法也存在变量繁多和计算复杂的缺点，实用性较差。

2） 独立连续映射法是一种将离散变量映射到连续变量，且求解速度较快的优化方法。然而，该方法的计算结果数值通常均不稳定，限制了该方法的应用。

3） 渐进结构优化法是一种通过删除低效结构单元来实现拓扑优化的方法。因该方法回避了多变量规划问题的求解，所以该方法具有简单、实用的特点。然而，此方法的迭代次数较少，导致其计算效率偏低，同时该方法的收敛性仍未被证明。

4） 变厚度法是将单元的几何尺寸设为变量的优化方法，回避了组成微结构的计算过程，在解决二维平面的优化问题中具有良好的性能。然而，该优化方法难以求解三维平面的优化问题。

5） 变密度法充分利用了伪密度和惩罚因子的概念，与其他方法相比，其具有原理清晰和实现简单等多重优点，却没有明显的缺点。所以，本文选用了该方法作为拓扑优化的基本方法。

2  变密度法

变密度法是一种引入伪密度和惩罚因子概念的优化方法。假设自然界中存在一种密度可变的材料，其弹性模量、允许用应力与密度成非线性关系。然后建立材料插值模型，根据密度的大小确定材料的分布情况，由此便可将0?1离散取舍问题转化为取值在[0，1]之间的连续变量优化问题。同时使用惩罚因子衡量材料的中間密度值，从而逼近传统的拓扑优化模型，具体为：

3  RAMP模型

在确定变密度法为基本优化方法之后，还需要选取相应的材料插值模型。一般而言，适用于变密度法的模型主要有SIMP模型和RAMP模型两种。其中，SIMP（Solid Isotropic Microstructures with Penalization）模型的基本原理为：假定有限元单元中的材料密度是常数，设定这一常数为设计变量。然后使用有限元法，利用材料属性随单元密度变化的指数函数，建立材料属性的总体刚度矩阵及其相应的函数关系。该模型的计算效率较高，且不会出现较大的计算误差。其基本原理与RAMP 模型类似，但由于RAMP模型加入了一个惩罚因子，这导致材料的柔度函数由凸函数变成了凹函数，从而使RAMP模型具有更加优良的稳定性。此外，其计算结果也趋向于收敛，所以本文选用RAMP模型作为材料插值模型[9?10]。RAMP模型的基本优化原理与SIMP模型类似，其模型的数学表达式如下：

3.2  模型求解

为了保持模型求解的稳定性，本文在模型的求解过程中添加了一个设计变量改变常数m，其取值范围为[0.1，0.3]。保证设计变量的下降速度不会过快，则优化模型的数学求解迭代过程如下：

4  仿真与分析

为验证优化模型的可行性，本文使用Matlab对该模型进行仿真验证。在仿真中，将飞机机翼的肋板大小设为500 mm×200 mm，其单元数量n=50×20，其弹性模量[E=2.5×109]，泊松比常数[υ=0.33]，体积因子[f=0.5]，同时，假设该机翼仅受山字载荷影响。使用这些参数，本文对该模型进行了多次仿真，得到相应的计算结果，如图1和图2所示。

图1  Matlab的模型优化结果

图2  优化效果与迭代次数关系

图1展示了本文模型的优化结果。从图中可以看出，其结果的孔洞布局随机翼结构类似，即其孔洞分布符合机翼结构的设计要求，飞机设计师在设计过程中可以参考这些优化结果完善飞机机翼的设计。图2展示了该模型的优化效果随迭代次数的变化规律。由图可知，本文的优化效果随着迭代次数的增加而逐渐趋于稳定，且具有较好的稳定性。同时，模型的迭代次数处于可以接受的范围内。

5  结  论

基于经典的变密度法和RAMP材料插值模型，本文通过引入惩罚因子和约束因子，提出了一种飞机机翼结构拓扑优化的改进设计模型及其求解方法。同时，还进行了必要的仿真和分析，结果表明，该设计方法性能良好。然而，该模型的收敛速度仍有提升的空间，这也是下一步的主要研究方向。

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