权重信息不完全的混合型多属性决策方法研究

叶帆+叶永

摘 要： 针对属性权重信息不完全且属性取值为精确数、语言标度、区间数、直觉模糊数、区间直觉模糊数的混合型多属性决策问题，根据五种不同形式的属性值规范化定义，建立每种形式下属性值之間的相关系数。基于偏爱程度的加权平均（PDWA）算子和逼近理想解（TOPSIS）法构建单目标最优化模型求出各属性的权重，通过对属性值和属性权重的线性集结，得到排序结果。最后通过数值算例，验证了该方法的可行性和操作性。

关键词： 混合型多属性决策； 不完全权重； 偏爱程度的加权平均算子； 逼近理想解法； 相关系数； 单目标最优化模型

中图分类号： TN911?34； F272.1 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）06?0158?04

Abstract： In allusion to the problems that attribute weight information is incomplete and the attribute values are precise numbers in the hybrid multiple attribute decision making with linguistic labels， interval numbers， intuitionistic fuzzy numbers and interval intuitionistic fuzzy numbers， correlation coefficient between attribute values of each form is built according to five different forms of normalized definitions for attribute values. A single target optimization model based on preference degree weighted averaging （PDWA） operator and TOPSIS method is established to solve the weight of each attribute. The ranking result is obtained by means of linear aggregation of attribute values and attribute weights. The feasibility and operability of the method are verified by means of numerical examples.

Keywords： hybrid multiple attribute decision making； incomplete weight； PDWA operator； TOPSIS method； correlation coefficient； single target optimization model

0 引 言

多属性决策问题普遍存在于社会、经济、教育、管理等各个决策，是决策理论与方法研究的重要内容之一。决策者在决策中往往需要提供方案之间的偏爱信息，而对于定性和定量皆存的偏爱信息，用精确数、语言标度、区间数、直觉模糊数、区间直觉模糊数的混合型属性值去表示，显得更加方便、合适。由此统一混合属性值形式的研究已日益得到了重视[1?6]。逼近理想解（TOPSIS）法[7]自1981年由Hwang，Yoon提出以来， 获得了广泛的应用，尤其在混合属性值的多属性决策问题上也取得了一定的进展 [8?12]。本文针对只有部分权重信息的混合型多属性决策问题，定义了每种形式下属性值之间的相关系数，根据TOPSIS方法原理建立了最优决策模型求得权重，并对方案进行优劣排序。

1 基本概念

定义1 设[X=x1，x2，…，xn]是有限方案集[13] ，

[A，B∈IVIFSX]

[A=xi，μALxi，μAUxi，vALxi，vAUxi：xi∈X]

[B=xi，μBLxi，μBUxi，vBLxi，vBUxi：xi∈X]

称：

[EIVIFSA=i=1nμ2ALxi+μ2AUxi+v2ALxi+v2AUxi+π2ALxi+π2AUxi2] （1）

是[A]的信息直觉能，其中：

[πALxi=1-μALxi-vALxi]

[πAUxi=1-μAUxi-vAUxi]

称：

[CIVIFSA，B=12i=1n[μALxiμBLxi+μAUxiμBUxi+ vALxivBLxi+vAUxivBUxi+ πALxiπBLxi+πAUxiπBUxi]] （2）

是[A]和[B]的相关程度，进一步称：

[KIVIFSA，B=CIVIFSA，BEIVIFSA?EIVIFSB] （3）

是[A]和[B]的相关系数。

定义2 设[X=x1，x2，…，xn]是有限方案集，

[A，B∈FSX]

[A=xi，μAxi：xi∈X]

[B=xi，μBxi：xi∈X]

称：

[EFSA=i=1nμ2Axi+1-μAxi22] （4）

是[A]的信息直觉能，称：

[CFSA，B=12i=1nμAxiμBxi+1-μAxi1-μBxi] （5）endprint

是[A]和[B]的相关程度，进一步称：

[KFSA，B=CFSA，BEFSA?EFSB] （6）

是[A]和[B]的相关系数。

定義3 设[X=x1，x2，…，xn]是有限方案集，

[A，B∈IFSX]

[A=xi，μAxi，vAxi：xi∈X]

[B=xi，μBxi，vBxi：xi∈X]

称：

[EIFSA=i=1nμ2Axi+v2Axi+π2Axi2] （7）

是[A]的信息直觉能，其中[πAxi=1-μAxi-vAxi]，称：

[CIFSA，B=12i=1nμAxiμBxi+vAxivBxi+πAxiπBxi] （8）

是[A]和[B]的相关程度，进一步称：

[KIFSA，B=CIFSA，BEIFSA?EIFSB] （9）

是[A]和[B]的相关系数。

由于模糊数和直觉模糊数可以看作是区间直觉模糊数的特殊情况，所以集合[FS，][IFS，][IVIFS]上的相关系数[KA，B]具有以下性质：[KA，B=KB，A]； [0KA，B1]；[A=B?KA，B=1]。

通过以上定义，可以计算方案间的相似性，并且比较不同形式的属性值后做出合理的决策，进一步地，可以根据相关系数来简单合理扩展混合型多属性决策的TOPSIS方法。

2 扩展TOPSIS方法

设[X=x1，x2，…，xn]是混合型多属性决策问题的方案集，[u=u1，u2，…，um]是属性集，对于各个方案由专家根据不同的属性给出不同类型的属性值，而属性权重信息可由如下几种方式给出：

1） [wiwj]；

2） [wi-wjδi>0]；

3） [wiδiwj，0δi1]；

4） [δiwiδi+εi，0δiδi+εi1；]

5） [wi-wjwk-wl，j≠k≠l]。

记[H]为上述形式的信息组成的属性权重约束集。设关于混合评价信息的决策矩阵规范化后矩阵为[R=rijm×n]，在扩展TOPSIS方法做出决策的过程中，需要在权重信息不完全的情况下确定合理的权重信息[w=w1，w2，…，wmT]。所以先根据PDWA算子[6]将每个方案在不同属性下的偏爱程度PD集结成最终值[PDWAwri1，ri2，…，rim]，[i=1，2，…，n]，计算每个方案的得分[SPiw]，显然方案的得分越高，则此方案越优。于是建立以下优化模型（M）：

[Max SPiw， i=1，2，…，n]

[s.t. w=w1，w2，…，wnT∈H， wi0， i=1，2，…，m， i=1mwi=1]

通过求解模型（M），可得到最优解，即每个方案[Oi]下关于各个属性的权重向量[wi=w（i）1，w（i）2，…，w（i）mT]。为了得到最后统一的属性权重[w=w1，w2，…，wmT]，把所有的方案作为一个整体考虑，于是建立了最优解[wi=w（i）1，w（i）2，…，w（i）mTi=1，2，…，n]的权重矩阵，如下：

[W=w（1）1， w（2）1， …， w（n）mw（1）2， w（2）2， …， w（n）m ? ? ? ?w（1）m， w（2）m， …， w（n）m]

同时，计算属性值规范化后[rij]的得分[sij]和得分矩阵[S=sijm×n]，再计算矩阵[STWTSTW]的归一特征向量[ω=ω1，ω2，…，ωnT]，用如下方法求出合成向量作为属性权重向量[w=w1，w2，…，wmT]：

[w=Wω=w（1）1， w（2）1， …， w（n）mw（1）2， w（2）2， …， w（n）m ? ? ? ?w（1）m， w（2）m， …， w（n）mω1ω2 ?ωn= ω1w1+ω2w2+…+ωnwn] （10）

另外，根据得分矩阵[S=sijm×n]，得到混合属性值的正、负理想解：[O+=maxsijj=1，2，…，nriji=1，2，…，mT=r+1，r+2，…，r+mT] （11）

[O-=minsijj=1，2，…，nriji=1，2，…，mT=r-1，r-2，…，r-mT] （12）

然后利用式（3）、式（6）、式（9）分别计算各个方案与正理想解和负理想解的相关系数：

[S+i=j=1mwjKrij，r+j] （13）

[S-i=j=1mwjKrij，r-j] （14）

最后，根据相对贴近度：

[Ci=S-iS-i+S+i， i=1，2，…，n] （15）

给出所有备选方案的排序。

3 应用举例

考虑从4个不同的品牌，但是相同功率的空调中选择一个品牌的空调购买，当然在决策的过程中，希望购买的空调价格越低、适用范围越大、噪音越小、售后服务越好。该决策问题的备选方案是4个不同品牌的空调，记为[xi][i=1，2，3，4]，受关注的属性是价格、适用面积、噪音和售后服务，分别用[ui][i=1，2，3，4]表示。其中，适用面积和售后服务是效益型属性，而其他属性则是成本型。不同品牌空调的价格，适用面积的最大最小值和噪音的分贝范围可以直接从商家得知，而它们的售后服务由专家来评价，于是确定了价格是精确数，适用范围是区间数，噪音是直觉模糊数，售后服务是语言标度的混合多属性决策问题，决策矩阵如表1所示。

其中售后服务的评价用一般的七级语言标度来表示，即G，P，VG，EG属于集合：endprint

[S=s0=Extremely Poor，s2=Poor，s4=Fair， s6=Good，s7=Quite Good，s7.5=Very Good， s8=Extremely Good]

使用前面的規范化方法将决策矩阵化为规范化矩阵，如表2所示。

假设属性权重信息不完全，约束集为：

[H=w10.1，0.3w20.5，0.1w20.2， w3-w2w4-w1，w40.4]

利用优化模型（M）求出最优权重向量并组成权重矩阵为：

[W=0.10.40.10.10.20.10.10.20.30.40.40.30.40.10.40.4]

计算得分矩阵[S=sijm×n]，解得[STWTSTW]的归一化特征向量[ω=0，0.000 48，0.022 46，2.155 36T]，进而求得属性权重[w]：

[w=Wω=0.10.40.10.10.20.10.10.20.30.40.40.30.40.10.40.4 00.000 480.022 462.155 36 =0.1，0.198 9，0.301 1，0.399 9T]

根据得分矩阵[S=sijm×n]，确定正理想解[O+]和负理想解[O-]为：

[O+=1，0.285 7，0.142 9，0.230 8，0，[0.935 7，0.98]，[0，0]；][O-=0，0，0.285 7，0，0.307 7，[0，0.2]，[0.5，0.7]]。

最后利用式（1）～式（9）和式（13）～式（15）分别求出各方案与正理想解和负理想解的相关系数，各方案相对贴近度及排序，如表3所示。

4 结 论

本文定义不同类型属性值的信息直觉能、关联程度和关联系数，利用偏爱程度的加权平均算子拓展了TOPSIS方法，并将此方法应用于决策领域，为属性权重信息不完全的混合型多属性决策问题提供了一条有效路径。从而不仅丰富和发展了混合型多属性决策问题的理论研究，而且为促进其实际应用进行了有益的尝试。

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