一种非线性权重的自适应鲸鱼优化算法

赵传武，黄宝柱，阎跃观，代文晨，张 建

(1.中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院，北京 100083；2.开滦(集团)有限责任公司，河北 唐山 063018)

0 引 言

近年来，随着现实生活中优化问题的复杂度增加，传统优化算法不能对其进行有效的处理。智能优化算法如蚁群算法(ant colony)、蜂群算法(artificial bee colony，ABC)、粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)等是一类种群迭代寻优算法，具有算法原理简单、参数少、易于实现等特点，在参数优化[1-3]和遥感图像处理[4-6]等领域得到了成功的应用。

鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm，WOA)是由澳大利亚学者Mirjalili和Lewis[7]于2016年提出的一种启发式搜索算法。算法的本质是模仿座头鲸捕食行为，将包围捕食、泡网攻击、搜寻食物等行为数学模型化。鲸鱼优化算法与其他群智算法一样，也存在易早熟、易陷入局部最优和收敛速度慢等问题。基于此，许多学者从算法参数、位置公式以及与其他算法结合等不同角度来提高算法性能。龙文等[8]提出收敛因子随迭代次数非线性变化的鲸鱼优化算法，平衡算法的全局搜索和局部搜索能力，结果表明该算法具有较高的收敛精度和较快的收敛速度；钟明辉等[9]提出随机调控参数的鲸鱼优化算法(EWOA)，利用随机分布的方式调控参数，并对当前最优个体执行变异扰动，仿真实验表明改进方法能有效处理高维优化问题；郭振洲等[10]提出基于自适应权重和柯西变异的鲸鱼算法(WOAWC)，引入自适应权重，并用柯西逆累积分布函数对鲸鱼位置进行变异，实验表明该算法具有较好的收敛精度和稳定性；张永等[11]利用分段Logistic混沌映射初始化种群位置，并引入非线性自适应权重策略，仿真测试结果表明该算法具有更快的收敛速度和更优的收敛精度。上述不同策略从不同角度提升了鲸鱼优化算法的性能，但有些改进策略较复杂，且部分改进算法的收敛速度较慢。

为了加快收敛速度、提高求解精度，同时保留鲸鱼优化算法结构简单的特点，该文提出一种非线性权重的自适应鲸鱼优化算法(NWAWOA)。通过非线性权重S1和S2对鲸鱼优化算法三个阶段的位置更新公式采用两种不同的加权策略，平衡算法全局搜索与局部开发能力，同时加快收敛速度、提高求解精度。

1 鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法是模仿座头鲸捕食而实现的智能优化算法，即一种独特的泡泡网捕食行为[12]。算法采取“螺旋气泡网”策略，逐步缩小捕食范围、更新捕食位置，具有结构简单，调节参数少等优势[13]。该算法主要包括三个阶段：包围捕食、泡网攻击、搜寻食物。

1.1 包围捕食

座头鲸能够识别食物的位置并包围它们，由于无法提前获知食物的位置，WOA算法假设当前最佳的候选解为目标食物的位置或最接近目标食物的位置，其他鲸鱼个体向最优位置靠近，其位置更新的数学表达式为：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 泡网攻击

为了模仿座头鲸泡网攻击行为，通过收缩包围和螺旋式更新位置来设计鲸鱼捕食吐气泡行为。

(1)收缩包围：根据式(2)进行收缩包围，通过减小式(3)中的收敛因子来实现。若A∈[-1,1]时，鲸鱼个体向着当前最优鲸鱼的位置移动，并且|A|越大步长越大，|A|越小步长越小。

(2)螺旋式更新位置：首先计算鲸鱼个体与当前最优鲸鱼的距离，然后以螺旋方式搜索食物，其中螺旋式数学模型表示为：

(5)

(6)

座头鲸在捕杀猎物时不仅要收缩包围圈，还以螺旋形式游向猎物。因此，为了实现这种同步模型，以相同概率(阈值为0.5)进行收缩包围和螺旋式更新位置，其数学模型表示如下：

(7)

其中，p为[0,1]上的随机数，当p<0.5进行收缩包围，当p≥0.5进行螺旋式位置更新。

1.3 搜寻食物

(8)

(9)

2 鲸鱼优化算法的改进

2.1 自适应权重

鲸鱼优化算法与其他群体智能算法一样，平衡全局搜索和局部开发能力十分重要。权重对鲸鱼优化算法有重要作用，权重较大时，收敛速度较快，算法搜索的范围较大；权重较小时，搜索更加细致，不易错过最优解。

在鲸鱼优化算法中引入非线性权重S1和S2(如图1所示)，分别对当前最优位置和包围步长进行自适应调整，具体计算公式如下：

图1 自适应权重S1和S2

(10)

(11)

其中，γ为S1和S2的变化范围取值，取γ=0.5；λ为S1和S2的取值步长，取λ=1。

文献[14]中，将权重S1和S2引入到式(2)和式(5)中，如下所示：

|A|<1,p<0.5

(12)

|A|≥1,p<0.5

(13)

笔者认为将权重S1引入到位置上，不符合智能优化的初衷，改进公式如下：

|A|<1,p<0.5

(14)

|A|≥1,p<0.5

(15)

同时受文献[15-16]的启发，对文献[14]中的螺旋式位置更新公式即：

p≥0.5

(16)

(17)

由图1可以看出，S1随迭代次数增加呈非线性递增，使种群能充分向最优位置移动；而S2随迭代次数增加呈非线性递减，在后期有较小步长而加快收敛速度。在平衡全局搜索和局部开发能力的同时，提高求解精度、加快收敛速度。

2.2 算法流程

改进的鲸鱼优化算法，对三个阶段的位置更新公式采取了不同的加权策略：在包围捕食和搜寻食物阶段，即p<0.5，非线性减小的权重S2仅对距离数据加权；在泡网攻击阶段的螺旋式更新位置，即p≥0.5，非线性增加的权重S1不仅对距离数据加权而且对位置加权。鲸鱼算法流程如图2所示。

图2 NWAWOA算法流程

3 实验结果与分析

为了验证NWAWOA算法的有效性，选取10个基准测试函数[7]进行仿真实验，并与PSO算法、WOA算法、WOAWC算法[10]、EWOA算法[14]进行对比。选取的10个基准测试函数如表1所示，F1～F6为单模态函数，F7～F9为多模态函数，F10为固定维度多模态函数。

表1 10个基准测试函数

从两个方面对算法进行函数优化测试：(1)将NWAWOA算法与相关算法(PSO算法、WOA算法、WOAWC算法)进行比较，验证该方法的求解精度和收敛速度；(2)与文献[14]中的算法进行比较，进一步检验NWAWOA算法的寻优性能。

3.1 参数设置

算法的实验平台基于Windows 10专业版，64位操作系统，8 GB内存，采用Matlab R2018a进行仿真实验。5种算法的相关参数设置如表2所示。

表2 算法参数设置

3.2 与相关算法的比较

为了验证改进算法的有效性，对比NWAWOA算法与PSO算法、WOA算法、WOAWC算法的求解精度、收敛速度和稳定性。为了反映算法的求解精度和稳定性，4种算法分别对选取的10个基准测试函数独立运行50次，取50次最优值的平均值(mean)和标准差(std)，实验结果如表3所示。为了更加直观地观察算法优化的过程，图3展示了4种算法的收敛曲线。

表3 4种算法的性能测试结果

续表3

从表3可以看出，针对选取的10个基准测试函数，NWAWOA算法寻优性能远优于粒子群算法。对于函数F1～F4、F7、F9，均取得理论最优解；函数F5、F6、F8虽然没收敛到理论最优解，但与其他3种算法相比，该文提出的算法在求解精度、收敛速度和稳定性上均有一定的提高。

同时，对于多模态函数F9，WOA算法取得理论最优解，但从图3(i)可以发现，WOA算法迭代238次，而NWAWOA算法在第2次迭代便已取得理论最优解0，收敛速度远优于WOA算法；对于固定维度多模态函数F10，从图3(j)可以发现，WOA算法迭代46次得-1.031 6，而NWAWOA算法迭代236次，该文提出的算法对固定维度多模态函数优化效果稍差。

从表3可以观察到，对于函数F1、F3、F7、F9，WOAWC算法取得了理论最优解，但由图3(a)(c)(g)(i)可以看出，WOAWC算法达到理论最优解的迭代次数分别为487、491、151、186次，而NWAWOA算法均在第2次迭代取得了理论最优解。

(a)函数F1 (b)函数F2 (c)函数F3

由此可得：NWAWOA算法与其他3种算法相比，在求解精度、收敛速度和稳定性上都有一定的提升，尤其在单模态和多模态函数优化问题上，该文提出的算法更优。

3.3 与EWOA算法的测试对比

笔者受文献[14]中EWOA算法的启发，进行了算法的改进。为了进一步检验该算法的寻优性能，将其与EWOA算法进行比较，实验结果如表4所示。

表4 文中方法与EWOA算法的性能测试对比

从表4可以看出，两种算法对函数F1、F7、F9均取得理论最优解；但EWOA算法求得最优解的迭代次数为130、14、9次，而NWAWOA算法仅迭代2、2、2次便求得最优解，表明NWAWOA算法有更快的收敛速度；对于其他的函数的优化，NWAWOA算法表现了更高的求解精度和稳定性。总的来说，提出的算法具有更优的寻优性能。

4 结束语

针对鲸鱼优化算法求解精度低、收敛速度慢的问题，提出一种非线性权重的自适应鲸鱼优化算法(NWAWOA)，在优化算法性能的基础上保留鲸鱼优化算法结构简单的特点。通过非线性权重S1和S2对鲸鱼优化算法三个阶段的位置更新公式采用两种不同的加权策略，平衡算法全局搜索与局部开发能力，同时提高求解精度、加快收敛速度。对10个经典测试函数进行仿真实验表明，改进的算法与其他4种算法相比，具有较好的收敛速度、求解精度和稳定性，并且易于实现，在实际应用中具有一定的潜力。