基于位置信息的1-bit压缩感知重构算法

何 晶，李 智

(四川大学 电子信息学院，四川 成都 610065)

基于位置信息的1-bit压缩感知重构算法

何 晶，李 智

(四川大学 电子信息学院，四川 成都 610065)

针对现行1-bit压缩感知硬判决算法在高误码环境下对弱信号重构性能较差的问题，提出一种基于位置信息的重构算法。首先将测量数据分成位置数据和数值数据，然后在重构端对位置信息进行重构，再根据重构结果对数值信息进行重构。该算法较之经典的1-bit压缩感知硬判决重构算法，在维持相同测量数目的前提下，大大提高了位置信息重构性能。由于在数值信息重构过程中应用了精确的位置信息，使数值重构性能优于同类算法约0-3dB。

位置信息；1-bit压缩感知；重构算法；测量误码

0 引言

随着信息技术的发展，大规模、高速率的信息需求急剧增加，现有系统难以应对高速采样带来的大容量数据传输难题。如何有效压缩和恢复信号是信号处理领域亟待解决的问题。压缩感知(Compressive Sensing)理论[1]提供了一种解决问题的有效方法。通过这种方法，信号的采样和压缩可以同时进行，打破了传统奈奎斯特抽样定理的限制。在某些变换域中稀疏或可压缩信号可以通过与之独立的测量矩阵投影到低维空间。少量的投影就可以很高的概率重构高维原始稀疏信号。

1-bit压缩感知[2](1-bit compressive sensing)作为压缩感知的一个分支，在对稀疏模拟信号采样和压缩时，其测量值为正、负两个状态，与大量现有数字信号传输系统能很好地兼容。在实际信号传输系统中，低信噪比状态下的误码不可避免，本文主要对误码情况下的1-bit压缩感知信号重构性能进行研究，并对现有算法进行了改进。

1 1-bit压缩感知

1-bit压缩感知模型如图1所示，其中sign()函数指对结果取符号。信号X∈RN是实值的N×1维向量。如果向量X中仅有很少的元素值不为零，则认为该信号是稀疏的。如果信号X为稀疏信号，且其中仅有k个元素为非零值，则定义信号X为稀疏度为k的稀疏信号。X可构造特定的M×N维随机观测矩阵A，对原始信号X进行M次测量，获得M×1维观测值Y。保留Y值符号信息后，通过信道传输至远端，根据接收到的Y值，远端通过特定算法对X进行估值。压缩测量公式如下：

(1)

图1 1-bit压缩感知框架

(2)

2 1-bit压缩感知重构算法及改进

相对于传统压缩感知，1-bit压缩感知在信号测量过程中仅保留测量值符号信息。其重构算法研究方向大致分为：以IHT(Iterative Hard Thresholding)及其衍生算法[3-5]为代表的硬判决算法和以贝叶斯方法[6]等为代表的软判决算法。虽然软判决算法具有更好的重构性能，但硬判决算法由于其计算复杂度低，在特定使用场景中较之软判决算法更具优势。

2.1 硬判决算法

IHT算法模型以已知稀疏度k为前提，其可以表示为如式(3)所示的问题。

(3)

(4)

BIHT((BinaryIterativeHardThresholding)算法[4]是IHT算法的改进，主要是在每次迭代过程中将目标函数微调，其迭代如式(5)所示。其将误差量的计算由绝对量改为了相对量，提高了算法的收敛速度。

(5)

AOP[5](Adaptive Outlier Pursuit)算法是BIHT算法的改进，它的核心思想是在已知Y值的情况下，在重构中主动筛除存在较大噪声的测量值，提高在噪声环境下的重构性能，其迭代如式(6)所示。Loc表示对重构算法弱误码参数的选择向量，DXt为重构误差项，其值计算如式(7)所示。

(6)

(7)

AOP算法虽然重构性能优异，但其重构需要已知误码数，在工程应用中难以实现。AOP算法原作者提出一种不需要预先知道误码个数的Blind AOP算法，通过迭代参数估计测量值误码个数。

2.2 位置信息改进算法

针对上述问题，本文提出一系列基于位置信息的算法，分别对上述BIHT、AOP和Blind AOP算法进行改进，其核心思想就是通过使用维数减半的两个相互独立的测量矩阵，将测量值进行分类，前一半进行位置信息传输，后一半进行数值信息传输，实现在不影响整体重构性能的前提下，提高位置信息的恢复准确度。而后通过得到的位置信息，进一步提高数据信息还原的准确度。

下面以改进BIHT得到的PFIHT(Position Fixed Iterative Hard Thresholding)算法为例，对其具体步骤进行阐述。

(2)PFIHT算法。输入：N×1维稀疏信号X，N×1维位置信息P，M1×N维测量矩阵A1，M2×N维测量矩阵A2，最大迭代次数maxT，调节系数μ；

基于位置信息算法的关键是在进行数值迭代前进行一次位置信息计算，并在后续数值重构中应用相应的位置信息。

通过类似方法，可对AOP及BlindAOP算法进行改进，其与PFIHT算法的主要差别是在数值迭代部分的迭代式不同。

3 算法仿真实验

前面对BIHT算法、AOP算法、BlindAOP及其各改进算法进行了介绍，本节通过仿真实验分析这些重构算法性能，从而证明本文提出算法的有效性。

3.1 主要考察指标

(8)

(9)

(10)

(11)

(3)角度误差(Angular Error)如式(12)所示。

(12)

(13)

(14)

3.2 仿真结果

0%～10%环境下，对Y、P误码在各算法下的重构性能进行仿真(其中原始算法对Y值做M次测量，基于位置信息的算法则对P和Y值各进行M/2次测量，以保证总测量次数一致)，仿真中测量矩阵采用伯努利矩阵。仿真实验取稀疏度k=10，N=1000，M=2×N，maxT=200，stopthrhd=1×10-7。图2～图6中横轴为测量值的误码率，下面的仿真结果是100次重构的平均值。

从图2～图4可以看出，在测量值没有误码的情况下，基于位置信息的算法与原始算法性能相当。随着误码的提高，各原始算法的恶化较为明显，基于位置信息的各算法性能均好于其原始算法。从图5、图6看出，在误警虚警概率指标中，由于基于位置信息的算法对于位置信息进行单独运算，其重构性能比各原始算法表现更好。与此同时，在保证测量值数目一致的情况下，原始算法时间复杂度为O(N×M)，基于位置信息的算法则为O(N×M/2)，也更具优势。

图2 归一化信噪比仿真结果

图3 汉明距离仿真结果

图4 角度误差仿真结果

图5 误警概率仿真结果

图6 虚警概率仿真结果

4 结语

基于位置信息算法可应用于大部分1-bit压缩感知硬判决算法中，其主要优势是在降低原算法时间复杂度的情况下，提高了其在高误码传输环境下的重构性能。通过归一化信噪比、角度误差和汉明距离3个指标的仿真，证明了其在信道噪声不可知的情况下，具有优秀的重构性能。通过误警、虚警指标的仿真，进一步证明了它在稀疏信号位置信息这个重要的应用场景中具有绝对优势。

与各类软判决算法相比，硬判决算法的重构性能较差。但由于硬判决算法具有运算实现简单、资源开销小等特点，在未来的1-bit压缩感知领域仍具有较大的研究价值。

[1] DONOHO D L. Compressed sensing[J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2006, 52(4): 1289-1306.

[2] P BOUFOUNOS ， R BARANIUK.1-bit compressive sensing[C].in Proc Conf Inf Sc Sys (CISS), Princeton, NJ,Mar,2008.

[3] T BLUMENSATH, M E DAVIES.Iterative threhsolding for sparse approximations[J].Fourier Anal Applicat,2008,14(5):629-654.

[4] JACQUES L, LASKA J N, BOUFOUNOS P T, et al. Robust 1-bit compressive sensing via binary stable embeddings of sparse vectors[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2013, 59(4): 2082-2102.

[5] YAN M, YANG Y, OSHER S. Robust 1-bit compressive sensing using adaptive outlier pursuit[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(7): 3868-3875.

[6] LI F, FANG J, LI H, et al. Robust one-bit Bayesian compressed sensing with sign-flip errors[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(7): 857-861.

(责任编辑：杜能钢)

何晶(1987-)，男，四川成都人，四川大学电子信息学院硕士研究生,研究方向为压缩感知信号处理; 李智(1975-)，男，四川成都人，博士，四川大学电子信息学院副教授、硕士生导师，研究方向为压缩感知。本文通讯作者为李智。

10.11907/rjdk.162785

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