一种酉权重量子感知机

周晓彦,嵇福高,刘文杰,安星星,潘道蒙

1(江苏省气象传感网技术工程中心,南京 210044) 2(江苏省大气环境与装备技术协同创新中心,南京 210044) 3(南京信息工程大学 电子与信息工程学院,南京 210044) 4(南京信息工程大学 计算机与软件学院,南京 210044)

1 引 言

现有的量子神经网络模型分为四种不同的实现方法[6]:(1)量子测量取代阶跃函数;(2)量子线路模拟经典神经网络;(3)量子感知机;(4)量子点相互作用建立量子神经网络模型.在本文中,聚焦于第3种方法,即采用量子机制对感知机算法进行设计和改进.

2001年,Altaisky[7]首次提出量子感知机模型,克服了经典感知机无法解决的问题.他的量子感知机模型的输出为:

(1)

本文剩下内容组织如下:第2节相关知识准备;第3节提出本文的量子感知机算法并进行实例分析;最后对本文内容总结.

2 知识准备

2.1 量子比特

在经典计算中,经典比特采用二进制数0或1表示.与经典计算不同,量子比特是两个基态(|0〉和|1〉)的任意线性组合,

|Ψ〉=α|0〉+β|1〉

(2)

2.2 经典感知机

1958年,Rosenblatt[12]首次提出了经典感知机.经典感知机是二分类的线性可分模型,由两层神经元组成,输入层神经元用来接收外界输入信号并传送给输出层,输出层是M-P神经元.在M-P神经元模型中,神经元接收外界N个其他神经元xj通过带权重wj的连接传送过来的输入信号,然后通过激活函数f(x)处理,最终得到神经元的输出y.神经元输出y为:

(3)

感知机学习规则比较简单,对于训练实例(x,d),若当前的感知机训练得到预测结果为y,则感知机的权重学习规则为:

wj(t+1)=wj(t)+η(d-y)xj

(4)

其中η∈(0,1)称为学习效率.从公式(4)可知,当神经元预测结果与训练实例一致时,则感知机不发生变化,否则需要进行权重调整.

2.3 奇异值分解

任意矩形矩阵A,都可以分解三个矩阵满足:

A=UΣVT

(5)

其中U是酉矩阵,即UU+=U+U=I(单位矩阵),Σ是对角阵(对角线的元素是A的奇异值),V是酉矩阵,即VV+=V+V=I(单位矩阵).

3 基于酉权重的量子感知机算法

3.1 算法过程

量子感知机算法通过一步迭代和保持量子计算权重的酉性来进行训练学习,最终得到正确的训练结果.具体算法流程如下:

算法准备:先准备N个训练算例:

{(|x1〉},|y1〉),(|x2〉,|y2〉),…(|xj〉,|yj〉),…,(|xN〉,|yN〉)}

1)求输入|xj〉的共轭转置:

|xj〉+=〈xj|

(6)

(7)

(8)

5)得到量子感知机的形式为:

(9)

3.2 实例验证

一个任意量子门可以由Hadamard门、相位门、受控非门、π/8门组成[13].我们将选择这些门来验证所提量子感知机算法的正确性.与Seow等人所提出的量子感知机模型[11]不同,我们选择的算例是非理想化的,即考虑到超完备与欠完备两种情形.此外,我们选择了一个由多个量子门构成的组合门作为实例,对算法的通用性进行了进一步验证.

1)Hadamard门

实例1.(超完备):假设算例为:

(a=1,b=2)

感知机训练:根据3.1算法过程,首先,应用公式(6)计算输入|xj〉的共轭转置,并通过公式(7)求解

修正后的结果为:

最后,得到量子感知机的形式为:

正确性验证:利用得到的量子感知机对各种输入进行验证计算,即,判断|youtput〉是否为对应算例的预期输出.

|y1〉

|y2〉

实例2.(欠完备):假设算例为:

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证:

2)相位门

实例3.(超完备):假设算例为:

|x1〉=|0〉,|y1〉=|0〉

|x2〉=|1〉,|y2〉=i|1〉

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证:

实例4.(欠完备):假设算例为:

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证:

3)受控非门

实例5.(超完备):假设算例为:

|x1〉=|00〉,|y1〉=|00〉

|x2〉=|01〉,|y2〉=|01〉

|x3〉=|10〉,|y3〉=|11〉

|x4〉=|11〉,|y4〉=|10〉

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证:

实例6.(欠完备):假设算例为:

|x1〉=|00〉,|y1〉=|00〉

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证：

4)π/8门

实例7.(超完备):假设算例为:

|x1〉=|0〉,|y1〉=|0〉

|x2〉=|1〉,|y2〉=eiπ/4|1〉

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证:

实例8.(欠完备):假设算例为:

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到子感知机为:

正确性验证：

5)组合门

为了验证所提出的量子感知机算法适用于多个门的组合计算,我们将Hadamard门、相位门、受控非门、π/8门进行组合,构造出一个组合门(如图1所示),通过对该组合门进行训练学习,来验证算法的通用性.

图1 组合门量子线路Fig.1 Quantum circuit of the composite gate

实例9.假设算例为:

感知机训练:同样通过3.1算法步骤进行训练学习,最终得到量子感知机为:

正确性验证:

4 结束语

利用量子计算来解决人工网络的具体问题,一个基本规则就是不能破坏量子力学本身固有的属性,即激活算子和权重矩阵的酉性.本文提出的量子感知机的算法是酉性权重矩阵的,且具有以下优点,(1)通过分析计算参数使权重保持酉性,不需要多次迭代学习,就能得到正确结果;(2)该量子感知机能够实现Hadamard门、相位门、受控非门、π/8门等基本量子门功能.此外,通过对多个量子门构成的组合门进行训练学习,进一步验证该算法的通用性.我们下一步工作将基于该量子感知机研究更为复杂的量子神经网络.

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附中文参考文献：

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