一种新的二元有理样条分形插值

蒋凤仪　许静

关键词：有理样条；分形插值；函数逼近

中图法分类号：0174 文献标识码：A

1引言

现实世界中的数据往往具有不光滑、不规则的特性。而对于一些经典插值（如多項式插值、有理插值）而言，构造得到的曲面都是光滑的，就不太适合处理此类数据。文献[1]首次基于迭代函数系理（IFS）论给出了分形插值函数的定义并提出了一种构造分形集的方法以及一种新的数据拟合方法，不仅为函数逼近理论开辟了一个新的研究领域，而且为计算机图形提供了强大的工具。文献[2]首次将该方法推广到二维层面，最先考虑了在三角形区域中，二元自仿射分形插值函数的构造问题。文献[3]提出了一个基于任意数据下的分形插值曲面的构造方法，并证明了分形插值曲面的一些性质，得到了曲面计盒维数的一个下界。而分形插值的诞生，就为非光滑数据拟合提供了一个更有效的工具。

上述双变量分形插值函数实际上都是多项式分形插值函数。通常，这类插值方法不具备保形性，常常会忽略数据的本质属性，从而使分形曲面无法继续保持原始数据的某些特性。当科学数据集以曲线或曲面的形式进行可视化时，又需要曲线或曲面表现出其固有的形状特性，才能说明科学实验的意义。而有理插值通常比多项式插值在形状保持方面更具优势，鉴于此，保形性有理样条分形插值的研究就非常意义了。文献[4]首先利用分形的方法来处理埃尔米特插值，生成了二阶连续的埃尔米特分形插值函数。文献[5]将IFS与样条函数结合起来，利用这类含有样条函数的IFS生成一类Cl连续的有理样条分形插值函数。文献[6～7]分别构造了一种保单调性的有理分形插值和一种具有保凸性的有理分形插值。文献[8]直接利用IFS生成分形边界曲线，再利用分形边界曲线的混合函数生成有理Coons曲面片。文献[9]讨论了一种基于函数和导数值具有线性分母的二元有理分形插值及其性质。文献[10]主要基于分子三次、分母二次的二元有理分形插值函数，提出一种保单调的分形曲面插值系统。文献[11]研究了分子三次，线性分母，具有四个形状参数的二元三次有理样条分形插值，并简单研究了其在图像插值中的应用。文献[12]研究了具有三个形状参数分母的有理分形插值，并对其保证性和单调性进行了研究讨论。文献[13]主要研究了分子三次、分母二次的二元有理分形插值函数，其也是文献[10]的一种推广，并将这种插值模型应用在图像处理中。文献[ 14]提出了一种新的具有三角基函数的保形性分形插值。文献[15]将二元连续函数的平滑保持“分形扰动”的一般理论应用于经典的二元的Hermite插值公式，提出了在矩形网格上插值Hermite数据集的一类二元分形函数的构造。文献[16]提出了具有函数尺度因子的有理分形曲线，并讨论了其稳定性和收敛性以及计盒维数。综上所述，分形插值与各种传统插值的结合是具有可行性的，保形性分形插值已经成为当前的研究热点。

本文首先简单介绍了一种经典的函数迭代系统，紧接着基于一种分子、分母均为三次的二元有理样条函数，通过将FIS看作高度函数的分形扰动，得到一种新的有理样条分形插值函数。而这种新的插值模型含有尺度因子和形状参数，因此，可以更灵活地更改插值曲面的形状。本文不仅给出了该插值模型的矩阵表示形式，还通过计算机仿真实验验证了插值模型的有效性，并探究了尺度因子与形状参数对插值曲面形状的影响。