具有时滞与扩散项的一类捕食者模型的时空动力学研究

曹姝萍

（延安大学数学与计算机科学学院 陕西省延安市 716000）

1 引言

自然界存在很多的正负反馈机制，这些反馈机制相互耦合形成的很多非线性特性使得生活中存在大量的斑图，如如空中云朵，动物体表花纹等。这些斑图的形成不能用热力学原理解释，故人们选择从动力学角度对其形成的原因及规律进行研究，形成了斑图动力学。斑图动力学的研究开始于Turing 对反应扩散系统的认识。他在论文《形态形成的化学基础》中，从数学角度给出了反应扩散系统的Turing失稳导致Turing 斑图的产生，即稳定均匀态会在某些条件下失稳，并自发产生空间定态图纹。

近几十年，反应扩散系统中有关斑图的分岔理论研究方法，已经取得了很大的发展。通常，非线性的反应扩散方程在某些控制参数的诱导下，会使得初始处于均匀稳定状态的系统发生一定的分岔，从而形成空间或者时空斑图形态。生物种群模型的多样性为斑图研究提供了可能性。Segel 等[首次将斑图动力学理论应用到种群研究中，考虑了桡脚类食草动物-浮游植物相互耗散的不稳定性。近些年来对捕食者-食饵模型中的斑图研究越来越受到人们的关注。Wu 等考虑了一类具有 Michaelis-Menten 功能响应的捕食者 - 猎物模型，通过规范型和中心流形定理确定了该模型在一定参数范围内，系统在平衡点处可以发生超临界或亚临界 Hopf 分岔。 Upadhyay等研究了具有 Holling 型函数响应的捕食者-食饵系统的时空斑图，考虑了其 Turing 分岔及其不稳定性。Cao 等通过研究一类具有Crowley--Martin 功能响应函数的捕食者模型的Turing 不稳定性、Hopf 分岔及Hopf-Turing分岔，发现此类模型有瞬态，双稳态和三稳态模式等丰富的时空模态。

Beddington 与DeAngelis等首次提出一类带有Beddington-DeAngelis(B-D) 功能响应函数的捕食者模型，充分考虑了捕食者之间的竞争关系。Ghorai 等给出了一类具有相互干扰的B-D 功能响应函数的捕食者-食饵模型在共存平衡点附近的Turing 不稳定存在的条件，并利用数值模拟得到了该模型的斑点、条纹及其混合斑图形态。Zuo 等[利用中心流形和正则方程，理论推导了在时滞下 B-D 捕食者模型的 Hopf 分岔周期解的方向和稳定性条件。Zhang通过弱非线性方法给出了一类具有B-D 功能响应函数的捕食者模型的振幅方程，通过对Turing 不稳定性及振幅方程稳定性的分析，发现该模型具有H六边形斑图、条状斑图，及H六边形与H六边形混合状态。Huang 等基于耦合映射格子模型对一类具有B-D 功能响应函数的离散捕食者模型进行了理论分析和数值模拟，数值模拟得到了丰富的各种时空模式，包括规则和不规则的斑点、条纹、迷宫、间隙、马赛克、螺旋、圆形以及介于两者之间的中间模式。

时滞在大多数系统中广泛存在，如在传染病学模型中，一个感染了某些疾病的人并不会立即出现症状，得过一段潜伏期才会发作，如狂犬病、禽流感、埃博拉病毒等。时滞会破坏系统的稳定性给系统带来更多的波动，而扩散通常在时空系统中起着稳定的作用，考虑其对系统的非均匀空间格局的影响至关重要。故本文主要考虑一类B-D 功能响应函数的捕食者模型（B-D 模型）在时滞影响下 Turing 分岔附近的时空动力学行为。

2 时滞B-D模型及稳定性分析

本文考虑一类带有 B-D 功能响应函数的捕食者模型。

2.1 模型（1-2）的稳定性分析

2.2 Turing分岔条件

3 数值模拟

由1.2 节的稳定性分析可得模型（1-2）的参数α、β 与时滞τ 的关系，如图1 所示，Turing 分岔线（黑线）和受不同时滞影响下的Hopf 分岔线将整个参数区域分成了四个区域，其中:1 表示Turing 区域；2 表示均匀定态解稳定；3 表示Hopf-Turing 区域，均匀定态解不稳定，系统会受到Turing 分岔及Hopf 分岔的共同影响；4 表示Hopf 区域，系统受到Hopf分岔影响从空间均匀态发生时间周期震荡相变。由图1 可得时滞的引入加大了Turing 不稳定区域，影响了模型（1-2）在Hopf-Turing 区域的斑图形态，对Hopf 区域影响较小。

图1： 不同时滞下模型（1-2）分岔

下面采用MATLAB 软件模拟给出模型（1-2）中的Turing 斑图。这里初值选取在E处作随机小扰动的值，方程采用欧拉向前差分格式及周期边界。时间步长 ，空间步长h=1.25，空间网格划分为100×100。由于反应物u与v 的空间斑图类似，故仅给出变量u 的斑图形成，并且一些参数取值固定：b=0.9，c=0.6，D=0.01，D=1。

图2 给出了不同α 和 β 值下变量u 的斑图形态，由图1(a-d)中得到当α=0.095 时，随着β 值的增大，u 的Turing斑图从热点到六边形斑图到六边形与条形斑图混合斑图，最后条形斑图完全占据空间。图2(e-f)给出了当α=0.2 时，不同β 值下u 产生四边形斑图和冷点斑图。图2 展示了系统在Turing 区域丰富的斑图形态。

图2： 模型（1-2）在不同参数下u 的斑图形态

图3 给出了模型(1-2)在Turing 区域内不同τ 值下u 随时间变化的斑图形态，通过图3(a)与图3(c)的对比，图3(b)与图3(d)的对比可以发现时滞不改变模型（1-2）斑图的结构，但会影响Turing 斑图生成的进程。

图3： 当α=0.2,β=0.07 时不同τ 值下u 随时间演化的Turing 斑图

图4 给出了参数α 与β 受时滞τ 的影响在不同区域下的斑图。由图4 得时滞会影响均匀定态解的稳定性。给定α=0.1，β=0.018，当τ=0 时，系统处于图1 中的Hopf-Turing区域，当τ=15 时，系统处于Turing 区域。图4(a)与(b)中的斑图形态相同，说明在Hopf-Turing 区域中Turing 不稳定占主导地位。

图4： 当α=0.1,β=0.018 时不同τ 值下u 的Turing 斑图形态

4 总结和展望

本章主要研究了时滞对具有 B-D 功能响应函数的捕食者模型在 Turing 分岔区域附近的时空动力学行为的影响。通过稳定性分析确定了Turing 斑图生成的参数条件，给出了参数空间α 与β 参数空间下系统的分岔分布空间。通过数值模拟，首先给出了无时滞下模型在Turing 区域各种斑图形态，其次通过给出不同 值下 随时间变化的斑图形态，说明了时滞不改变模型斑图的结构形态，仅影响斑图生成的进程。进一步通过固定参数值，发现时滞会影响模型的稳定性。最后发现模型在Hopf-Turing 区域中受Turing 不稳定的影响也会产生Turing 斑图，需要进一步对此区域进行分析讨论。