一类具有混合时滞的脉冲Hopfield神经网络的反周期解

曾国斌 张林丽

（1.海口经济学院科研处 海南省海口市 571127 2.海南大学应用科技学院 海南省儋州市 571737）

1 引言

在神经网络动力学模型的研究中，作为目前最流行的人工神经网络之一的Hopfield 神经网络模型被广泛地应用于生物、信号与图像处理、最优化设计和工程等诸多领域。在这些应用中，大都要求所设计的神经网络模型是稳定的。但是，信号在传播和处理过程中不可避免地会受外界干扰和产生时滞现象，而脉冲和时滞往往是神经网络系统振动和不稳定的原因。因此，探讨具有脉冲和时滞的神经网络的动力学行为具有重要的实际意义。

近年来,对具有脉冲和时滞的神经网络动力学行为的研究吸引了国内外广大学者的关注[1-6]。然而，大多数神经网络同步的研究仅仅考虑离散时滞，鉴于神经网络中各种轴突大小和长度的平行通路的存在，在模型中同时考虑离散时滞和分布时滞会更合理。文献[7]利用Brouwer 不动点定理、Barbalat 引理和Lyapunov 函数法研究了一类具有混合时滞神经网络模型平衡点的存在唯一性和全局渐近稳定性。文献[8]利用分析技巧和 Poincaré 映射给出了一类变系数混合时滞神经网络周期解的存在、唯一和指数稳定的充分条件。文献[9]利用不动点理论、Liapunov 及不等式的分析技巧给出了具有混合时滞的细胞神经网络的概周期解的存在性和全局指数稳定性的一个充分条件。文献[10]利用李雅普诺夫函数和一些分析技巧给出了在时间尺度上具有离散和分布时滞的脉冲Hopfield 神经网络的周期解全局指数稳定的一个充分条件。1988年，H.Okochi 最早提出了反周期的问题，并且对其在理论和应用方面作了进一步研究[11]。反周期函数是周期函数的一种特例，是具有两倍周期性的有界连续函数。神经网络的信号传播过程通常也被看作是一个反周期过程，但目前研究具有脉冲和混合时滞神经网络反周期解的文献尚不多见 。本文利用迭代分析方法研究了一类具有脉冲和混合时滞的Hopfield 神经网络模型反周期解的存在性、唯一性以及平衡点的一致稳定性。

本文考虑如下一类具有混合时滞和脉冲的Hopfield 神经网络模型：

其中，n 是神经网络中神经元的个数；脉冲时刻tk满足

假设：

如果常向量满足如下以下两个方程，则称x*为模型（1）的平衡点：

在本文中，我们假设满足一些条件可使得模型（1）的平衡点存在。如果常向量x=x*是模型（1）的平衡点，则令可得：

令

可得：

为了证明模型（1）的平衡点是一致稳定的，我们只需要证明模型（2）的平凡解是一致稳定的即可。

定义范数：

定义1[15]若一个分段连续函数满足以下两个条件，则称x(t)为系统（1）的解：

定义2[15]若一个分段连续的函数满足下列三个条件，则称之为系统（1）的一组T-反周期解：

2 基本假设

下面给出本文的基本假设条件：

(H1)存在常数Li>0 使得成立；

(H2)存在常数qik>0 使得成立；

(H3)时滞核函数Kij是定义在上的连续、可积的函数，并且满足：

给出如下记号：

其中

证明：令则zi(t)满足以下边值问题：

当时，此时无脉冲，可得

则当t=t1时，可得

在上考虑柯西问题（2）和初始值，可得

在（3）式中令t =T 可以得到

将（4）代入到（3）式中去，即得到都有下式成立：

3 主要结论

首先，利用迭代分析法证明模型（2）的T-反周期解的存在性，即可得到模型（1）的T-反周期解的存在性。

定理1 若假设条件(H1)-(H4)满足，则模型（2）存在唯一的一组T-反周期解，并且满足

证明：定义如下迭代序列：

其中i=j=1…,n.

利用归纳法易得如下不等式成立

则

接着，利用反证法证明模型（2）的T-反周期解的唯一性，即可得到模型（1）的T-反周期解的唯一性。

通过移项和合并同类项可推出如下（6）式成立

由假设条件(H4)可得即则说明模型（2）只有唯一的一组T-反周期解。

由定理1，可得到如下定理2：

定理 2 若假设条件(H1)-(H4)满足，则模型（1）有唯一的一组T-反周期解

下面，利用反证法证明模型（2）的平凡解是一致稳定的即可得到模型（1）的平凡解是一致稳定的,先给出平凡解是稳定的和一致稳定的定义。

定义 3[15]对于任意的，存在对于任意的，当时，有成立，则称模型（2）的平凡解是稳定的；如果δ 和t0无关，则称模型（2）的平凡解是一致稳定的。

定理 3 若假设条件(H1)-(H4)满足，则模型（2）的平凡解是一致稳定的。

根据定理3，则可得到如下定理4：

定理 4 若假设条件(H1)-(H4)满足，则模型（1）的平衡点是一致稳定的。