数学建模在梯形明渠水力计算中的应用

王宏军

（山西医科大学汾阳学院 山西省汾阳市 032200）

在计算梯形明渠特征水深时，其均为隐函数的一元高次方程，并没有进行较为直接的解析，求解工作可以通过试算法或者图解法进行计算。在计算上采取试算法十分麻烦，在对曲线进行查询时也极易出现误差，对精度产生影响[1]。现报道如下：

1 梯形明渠水力计算的基本方程

1.1 梯形明渠均匀流水深的函数表达式

根据相关文献显示，明渠均匀流流量的基本方程主要为：

过水面积：A=（b+mh）h

将上述各要素带入（1）式中可得，

在计算梯形明渠正常水深时，已知参数包括粗糙系数n、边坡系数m、底坡i、底宽b、设计流量Q，求水深h。

由此可见，在计算梯形明渠正常水深时，实质上是对含多个未知参数的高次方程进行求解，在理论上并无解析解。梯形断面如图1所示。

1.2 梯形明渠临界水深的函数表达式

根据相关文献显示，明渠临界水深的基本方程主要为：

过水面积：(b+mhk)hk=Ak

水面宽度：b+2mhk=Bk

将上述各要素带入（3）式中可得，

在计算梯形明渠正常水深时，已知参数包括粗糙系数n、边坡系数m、底宽b、设计流量Q，求水深hk。

2 计算梯形明渠水力的数学模型

2.1 梯形明渠均匀流水深的模型建立及求解

2.1.1 建立模型

改写后的方程主要为：

图1：梯形断面

图2：γ-p 的关系曲线

图3：x-k 关系曲线图

而迭代公式为：

表1：不同计算方法的误差比较

表2：不同计算方法的误差比较

2.1.2 求解模型

迭代法是一种常用的求解方法，其可以进行逐步逼近，从而达到最准确的结果，任意给定的m 和p 在迭代公式中，总有且有一个γ 与之相对应[2]。

根据实际工程中，γ 以及m 的取值具有一定的范围，γ 的范围主要为[0，2]，m 范围主要为[0，4]。具体关系曲线见图2。

由上述关系曲线可得，

其中A=f1(m)，B=f2(m)。

在实际的工程范围内，γ 以及m 的取值具有一定的范围，γ 的范围主要为[0，2]，m 范围主要为[0，4]：

计算迭代式，可以得到相对满意的结果。

可以得到计算公式。即：

2.2 梯形明渠临界水深的模型建立及求解

2.2.1 建立模型

梯形明渠（恒等变形）临界水深的基本方程可以写成以下：

2.2.2 求解模型

经过对多组数据进行优化，且进行回归分析可得相关曲线。见图3。

即

经过大量的运算可得出最佳的公式，见下式：

计算梯形明渠临界水深公式见下式：

3 应用实例

解析比较几种数模，多个公式的计算结果见表1。

从表1 的误差结果分析可以得出，采取直接计算公式的方法来进行模型求解，操作简单便捷，具有较高的精确度，可以满足实际工程的需要。

例题：有一个梯形明渠断面，已知参数为边坡系数m=1.0000，流量Q=15.0000m3/s，底宽b=5.0000，求临界水深hk。

3.1 计算此文公式可得，

3.2 解析比较几种数模

多个公式的计算结果见表2。

从表2 的误差结果分析可以得出，采取直接计算公式的方法来进行模型求解，操作简单便捷，具有较高的精确度，可以满足实际工程的需要。

4 结语

数学建模在日常应用中十分重要，是在各个领域中应用数学的具体表现，因此数学建模在梯形明渠水力计算中的应用价值较高，可以进一步推广。