数学思想在算法优化中的应用

文/高向敏

（镇江第一外国语学校 江苏省镇江市 212000）

1 算法优化概述

通俗地来讲，算法就是做某件事情或解决某一问题的方法、步骤、过程和程序，而算法优化是指对算法的有关性能进行优化。举个例子，大家熟知的田忌赛马的故事，在之前的比赛中，田忌总是以上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马，齐威王每一个等级的马都要比田忌的强，所以田忌总是输；后来孙膑给田忌出了个主意：比赛时，让他以下等马对齐威王的上等马，再以上等马对他的下等马，最后以中等马对他的下等马。比赛结束，田忌以三局两胜的战绩取得了胜利。同样的马匹，仅仅调换了比赛顺序，就得到了反败为胜的结果。从算法角度看，每场比赛的赛马次序编排都是一种算法，而孙膑的策略就是一种经过优化的算法。

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量将影响到算法、程序直至软件的工作效率。衡量算法性能的主要指标有时间复杂度、空间复杂度、正确性、健壮性等。就单纯编程竞赛来说，竞赛要求每题的每个测试点数据应在1s内出运算结果，也就是基本语句的运算次数应该控制108以内，因此对于问题规模较大的题目，对算法进行合理优化是必不可少的；就宏观应用来说，假若将一个大的程序运用到实际生产生活中时，算法的执行效率将直接影响了生产效率，特别是，大数据时代到来，算法要处理的数据数量级越来越大，处理问题的场景也愈加千变万化，因此，为提升算法的效率，对算法进行优化也是必不可少的环节。

2 数学思想在算法优化中的作用

2.1 数学模型是算法优化的基础

人们使用计算机处理问题时，首先要对实际问题进行抽象，运用数学思想创建数学模型，进而设计出解决的算法，然后再进行编程、测试、调整，这是一个实际问题运用计算机得以解决的过程。从这一过程可以看出，创建数学模型是前提，数学模型能够有效的把复杂的问题变简单，化繁为简，将一些复杂程度较高的、难以实现的编程问题，转化成单一的、便于运算的数学结构。因此，在进行算法优化分析时首要的就是要发挥数学理论知识的优势，构建数学模型，在此基础上设计并优化算法，求得问题的有效解决方式。数学建模不仅密切了数学、算法与计算机编程的关系，同时也直接影响了算法的正确性与性能。

2.2 数学算法是计算机算法优化的重要途径

当我们建立好数学模型后，将实际问题抽象化为单一简单的数学结构的时候，数学算法的使用对于计算机编程而言是必不可少的，是实现计算机编程算法优化的重要途径。如早期的数学算法代表——欧几里德算法，又名辗转相除法，是为了求得最大公约数的一种递回算法，每一步计算的输出值就是下一步计算时的输人值，这样的算法在处理大数时效率很高，也是计算复杂性理论的开篇。再如秦九韶算法、更相减损术、中国剩余定理等等，这些数学算法对编程算法优化都有着重大意义。除了诸如上述的经典数学算法之外，重要的数学方法如归纳法、演绎法等，或是程序设计者自己综合运用数学知识，充分挖掘实际问题中蕴含的数量关系，所寻找的数学规律、推导的数学公式、得出的数学结论，都是算法优化的重要途径。在此基础上设计的算法，往往使得原本难以解决的问题得以解决，原本已解决的问题得以高效解决。

图1：各因子对应关系

图2

图3：行列值与所在圈数之间的关系图

图4

总之，数学思想是连接问题与算法的一座桥梁，有些问题利用这座桥可以更为方便快捷地往返于河两岸，而还有一些问题，如果不利用这座桥可能根本无法到达河的对岸，因此，借助数学思想分析问题是进行算法优化的重要途径。

3 实例践析数学思想在算法优化中的应用策略

下面结合编程教学中的几个具体实例，践析数学思想在算法优化中的应用策略。

3.1 低阶应用——依据数学常识

求n以内的完全数。

表1：不同方法运行时间比较

表2

表3

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。第一个完全数是6（1+2+3=6），第二个完全数是28 (1+2+4+7+14=28)。若求n内的完全数，需要对2-n以内的每个数判断是否是完全数（1不是完全数），因此本题关键在于如何判断一个数i是否是完全数。对于这个问题可以用不同的数学方法来解决。

方法一：最直接的方法，从1到i-1每个数依次判断其是否是i的真因子，若是则累加求和至sum，若sum=i,则说明i是完全数。

方法二：根据数学常识，对于某一整数i来说，其最大因子为i/2，在i/2～i-1范围内没有数据可以整除此数。据此，我们可以把遍历范围缩小至1～i/2，这样程序效率可提高一倍。

方法三：进一步思考，若j是i的一个因子，则i/j一定也是i的因子，若已知1，2，4，5，10是100因子，相应地即可得出100，50，25，20，10也是其因子（如图1所示），据此，我们可以把遍历范围缩小至1～即可。

方法三改进：sqrt函数一个求平方根的库函数,函数调用有一定的时间损耗,其次,内部是浮点数运算,效率也不高，乘法的效率比除法要高的多,因此我们对循环结束条件又做了一部分改进（j*j<=i），程序效率会大大提高。

为了更加直观对比各算法的运行效率，我们分别对其进行了n=10000,以及n=1000000的测试，程序运行时间对比如表1。

利用简单的数学常识，缩小数据范围，对程序的局部进行优化，如对程序循环次数简化等，从而达到提高程序工作效率的目的。

3.2 中阶应用——寻找数学规律

一个n行n列的螺旋矩阵可由如下方法生成：从矩阵的左上角（第1行第1列）出发，初始时向右移动；如果前方是未曾经过的格子，则继续前进，否则右转；重复上述操作直至经过矩阵中所有格子。根据经过顺序，在格子中依次填入 1,2,3,...,n2，便构成了一个螺旋矩阵。图2是一个 n = 4 时的螺旋矩阵。现给出矩阵大小 n 以及i和j，请你求出该矩阵中第i行第j列的数是多少。

方法一：最直接解法，建立一个二维数组a依次存放各个矩阵数据，然后输出a[i][j]的值即可。而当n=30000时，需要建立30000*30000的二维数组，结果会发生数据溢出且超出内存上限。

方法二：我们可采用类似贪吃蛇的方法，让它在n*n个方格内自外向内逐格移动，控制其右转的方向，直到到达i行j列位置，整个过程中移动步数即为求解值。

方法三：在上一个方法中，若遇到极端情况——当n=30000时候，求第15001行15000列的数是多少，需要移动次数为900000000，显然太慢，因此我们需要进一步优化。考虑到贪吃蛇总是从外围一圈圈地向目的地前进，而每一圈刚好是一个正方形，我们可以先计算外围各圈正方形的周长之和，再让贪吃蛇从目的地所在圈的的左上角出发，计算其从出发地到目的地的长度就可以了。鉴于此，我们需要寻找如下几个数学规律：

（1）第i行j列位于第几圈（假设为第x圈）

（2）前x-1圈，每一圈有多个数字；

（3）第i行j列位于第x圈的第几个。

由图3得数学规律：第i行第j列的所在的圈数x一定是（i,j,n+1-i,n+1-j）这四个数中的最小值；第1圈有(n-1)*4个数字，第2圈有(n-3)*4个数字，……，则第k圈有(n-2*k+1)*4个数字；我们只需要从所在x圈的左上角（x,x）位置出发，走到目的地（i,j）即可，最多走一圈，各算法效率比较如表2所示。

建立数学模型，寻找各数据之间内在的数学关系，归纳数学规律，在此次基础上优化算法，往往大大提高算法性能。

3.3 高阶应用——借助数学公式推导

如图4，一条狭长的纸带被均匀划分出了n个格子，格子编号从1到n。每个格子上都染了一种颜色colori（用[1，m]当中的一个整数表示），并且写了一个数字numi。

定义一种特殊的三元组：(x,y,z)，其中 x，y，z 都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：(1) x,y,z都是整数,x

方法一：最直接的解法，根据x,y,z的关系 y-x=z-y，双重循环枚举x,y，当满足条件colorx=colorz时求得该三元组分数并累加起来。

方法二：方法一中如果n数值较大时，非常慢，因此需要充分挖掘数据之间的关系，本题我们可以借助数学公式推导：根据题意可知，三元组的分数仅与x,z有关，与y无关.假设编号为x1，x2，x3的元素彼此间都符合题目要求的2个条件，则它们必定奇偶性相同、颜色相同。我们假设同颜色元素个数k=3,则其三元组分数之和表示为：

因此，我们只需要找出每一种颜色下编号同为奇数三元组分数之和、编号同为偶数三元组分数之和即可。如表3所示。

充分挖掘问题中的数据关系，借助数学公式推导，得出结论，并在结论基础上从整体架构、设计算法，从而提高算法性能，达到事半功倍的效果。

4 结束语

计算机的学习离不开数学理论与知识的学习和运用，数学算法是计算机编程的基础，数学思想作为沟通问题与编程实现的一座桥梁，有着极其广泛的应用。它不仅可以直接为解题提供思路，如果与其他算法或者思想相结合，还能够起到很好的辅助作用。通过数学模型的建立，利用数学算法对编程逻辑进行分析设计，不断优化数学算法，降低其时间复杂度、空间复杂度。在你觉得“山穷水复疑无路”时，不妨用数学的角度重新审视问题，也许就会“柳暗花明又一村”。