一阶近似下引力场中圆轨道运动径向微扰分析

王远卓

摘 要讨论圆轨道运动卫星受径向微小扰动后的运动，从能量与受力出发，通过一阶近似手段，从而得到径向运动的周期特性与相关推论。

【关键词】有效势能 微小扰动 一阶近似

圆轨道是人造卫星运动的理想状态，但由于各种外界因素的影响，卫星在运动过程中无法避免地会受到扰动从而运动状态受到影响。本文提出了在合理近似下卫星受到径向微小扰动后运动的数学模型。

1 匀速圆周轨道的稳定性分析

1.1 有效势能函数的建立

考虑一个质量为m的人造卫星环绕质量为M的中心天体作角动量为L的匀速圆周运动，这里引入离心势能：

（1）

（2）引力势能为

那么卫星运动的有效势能为离心势能与引力势能之和，即：

（3）

其函数图像如图1所示。

1.2 轨道稳定性的具体分析

卫星作匀速圆周运动的轨道半径R0满足：

（4）

若衛星在受到径向微小扰动后势能升高，那么根据势能最低原理，卫星将不会远离而是在轨道的平衡位置附近运动，此时认为该卫星的轨道是稳定的。根据势能判断：

（5）

可知卫星绕中心天体的圆轨道是稳定的。

2 径向振动一阶近似下的周期分析

2.1 运动参量的确定

根据卫星刚好做圆周运动，得到：

（6）

即： （7）

其轨道如图2所示。

如果卫星受到了径向微小扰动，根据万有引力的有心性，其运动过程中角动量守恒，那么有：

（8）

由此可以得到切向速度的表达式：

（9）

泰勒展开并保留至一阶小量，得到更为简洁的表达式：

（10）

2.2 径向运动的力学讨论

取随卫星转动的参考系，由于只考虑径向运动，可不考虑与速度垂直的科里奥利力作用。这里引入惯性离心力：

（11）

并且有万有引力：

（12）

那么卫星径向受到的合力为：

（13）

受到扰动后，则上式表达为：

（14）

这里的整理取到一阶近似。从以上表达式可以看出，卫星受到的是正比于径向位移的线性回复力，可以判断其做简谐振动。从式中可以得到等效劲度系数为：

（15）

那么卫星径向振动的周期应为：

（16）

3 对以上结果的讨论

3.1 运动经历半个周期时卫星位置的确定

取时刻：，此时经过了半个周期，卫星回到平衡位置，其轨道与圆轨道相交，由此可知在这段时间里卫星转过的圆心角为：

（17）

恰好转过半个圆周，这说明卫星运动的新轨道与原圆周轨道的交点位于受扰起始点与中心天体所在直线上。

3.2 运动经历一个周期时卫星位置的确定

另外取时刻，此时经过了一个周期，卫星亦回到平衡位置，其轨道与圆轨道相交。由此可知在这段时间里卫星转过的圆心角为：

（18）

恰好转过一个圆周，这说明卫星运动的新轨道仍然经过受扰起始点。

4 结论

从以上的推导中可以看出，卫星绕中心天体运动的圆轨道是稳定的。在受到径向微小扰动之后，卫星的运动可以近似地看做是圆周运动与径向简谐运动的合成。新轨道与圆轨道共有两个交点，一个位于受到扰动处，另一个位于受到扰动处与中心天体所确定的直线上。文章为人造地球卫星在受扰之后的运动提供了一个具有现实意义的物理模型，对于卫星的轨道调整有借鉴作用。

参考文献

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程-力学篇（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]文丽，吴良大.高等数学-物理类（修订版）[M].北京：北京大学出版社，2004.

[3]程守洙，江之永.普通物理学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

作者单位

西安高新第一中学 陕西省西安市 710075