基于随机约束粒子群算法的配电网重构∗

朱 勇 陶用伟 李泽群 何 静 王常沛 石祖昌

（贵州电网有限责任公司凯里供电局 凯里 556000）

1 引言

配电网重构的含义是当配电网在正常运行或故障运行时，利用网络中分段开关、联络开关状态的改变使配电网的拓扑结构随之变化，从而使配电网运行状态为最优的一种网络运行方式［1］。

目前，国内外学者对含有分布式电源的配电网重构已进行了大量的研究。对于配电网重构模型的建立，主要采用基于概率的场景分析法［2］、同步回代缩减法［3］等，而对于分布式电源和负荷的不确定性描述，可采用区间数法［4］、多状态理论［5］等，且重构模型中的各参数采用期望值［6］表示。在求解含分布式电源的配电网重构时，可采用改进的二进制量子粒子群算法［7］、遗传算法［8］等。虽然不同程度地考虑了分布式电源和负荷的不确定性，但在实际情况中，分布式电源不仅有不确定性，同时分布式电源和负荷间还存在一定的相关性。

针对以上文献的不足，本文引入机会约束规划模型，以配电网有功网损满足一定置信水平的悲观值为目标，以节点电压和支路功率不越线概率为约束条件，基于等概率转换原则和Cholesky解提出了风速、光照强度和负荷相关随机样本抽样方法，由此建立了同时考虑风速、光照和负荷的不确定性和相关性的配电网重构模型。

2 相关性随机模型

2.1 风力发电输出功率的随机分布模型

风力发电的输出功率取决于当前时刻的风速大小，而风速主要受气象因素的影响，目前，大部分研究一般认为风速服从weibull分布［9］。其概率密度函数以及概率分布函数表达式如下：

式中，v为风速；c、k分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数。当已知风速后，风力发电的输出功率可由下式近似求得：

式中，Pr为风力发电的额定有功输出功率；vci、vr、vco分别风力发电的切入风速、额定风速、切出风速。其中：

2.2 光伏电源输出功率的随机分布模型

光伏电源主要依赖于太阳能电池，其输出功率随光照强度的变化而变化［10］。定义标准化光照强度H为实际光照强度r与最大光照强度rmax的比值，即

据统计，在一定时段内标准化光照强度H可近似看做服从Beta分布［11］。其概率密度函数以及累积分布函数表达式如下：

式中，Γ为Gamma函数；α、β为Beta分布的形状参数。已知光照强度后，其输出功率可由下式近似求得［12］：

式中，A为光伏阵列的总面积；η为光伏电池的转换效率。

2.3 负荷的随机模型

配电网中的负荷具有不确定性，一般认为负荷服从正态分布。此时，对于节点i，其有功功率PL的概率密度函数为

式中，μP、σP分别为负荷有功功率的期望和标准差；QL为负荷的无功功率；φ为负荷的功率因数角。

2.4 相关随机样本抽样

假定风速、光照强度、负荷采用随机变量Xi表示，服从的累积分布函数用FXi表示。根据等概率转换原则［13］，可将随机变量 Xi转换为服从标准正态分布的随机变量Yi。即

当已知随机变量序列{Yi}时，则可通过下式的逆变换得到原始的风速、光照强度、负荷序列{Xi}，即

式中，φ(Yi)为Yi的标准正态累积分布函数，为累积分布函数FXi的逆函数。因此，结合相关系数定义和以上转换关系可得转换前后的相关系数的函数关系［14］为

式中，σi、σj分别为随机变量 Xi、Xj的标准差，μi、μj分别为随机变量 Xi、Xj的均值。 φρY(i,j)表示相关系数为ρy(i,j)的标准二元正态分布的概率密度函数。

由式（13）可看出，风速、光照强度、负荷任意两者间的相关系数ρx(i,j)为变换后随机变量Yi和Yj间相关系数 ρy(i,j)的复杂非线性函数，一定精度下可采用二分法由 ρx(i,j)求解得 ρy(i,j)。同时，由于Yi服从标准正态分布，因此其协方差矩阵CY与相关系数矩阵相等。由此，产生具有相关性的风速、光照强度和负荷样本数据的步骤如下：

步骤一：根据原始随机变量分布模型、相关参数信息和相关系数由式（13）求解得变换后随机变量协方差矩阵CY中的每个元素。

步骤二：对协方差矩阵CY进行Cholesky分解［15］，使得CY=LLT，得到下三角矩阵 L 。

步骤三：产生n维相互独立的标准正态分布随机向量W。

步骤四：利用矩阵 L对W进行变换，使Y=LWT，得到具有相关性的正态分布向量Y，该向量满足协方差矩阵为CY。

步骤五：对Y中每维向量分别进行逆变换，计算出X中对应的各元素，得到的X中每维向量即为服从不同指定分布同时具有给定相关系数ρx(i,j)的风速、光照强度、负荷样本。

3 配电网重构的数学模型

风力发电和光伏电源并网后，一方面会引起配电网的潮流发生改变［16］，另一方面风力发电和光伏电源输出功率的不确定性增大了配电网重构问题的求解难度［17］，传统的配电网重构模型不再适用于含风力发电和光伏电源的配电网。

3.1 目标函数

以满足一定置信水平α的有功网损悲观值最小为目标函数，其表达式为

式中，N为总支路数；ki为开关状态变量；ri为支路i的电阻；Pi、Qi分别为支路i流过的有功功率和无功功率；Vi为支路i的末端节点电压。

3.2 约束条件

在进行配电网重构过程中，还需满足以下约束条件：

1）潮流约束

式中，Pi、Qi分别为节点i的注入有功功率和无功功率；Vi为节点i的电压幅值；Gij、Bij和 θij分别为节点i、j之间的电导、电纳和电压相角差。

2）节点电压约束

式中，Vimin和Vimax分别为节点i的电压上、下限值；βV为节点电压需满足的置信水平。

3）支路容量约束

式中，Sj，Sjmax分别为支路 j的视在功率和最大视在功率；βS为支路功率需满足的置信水平。

4）拓扑结构约束

配电网运行时必须保持辐射状，且网络中不存在孤岛和环网［18］。

3.3 随机潮流

蒙特卡洛模拟法［19］具有原理简单，可考虑输入随机变量相关性和网络拓扑结构变化以及精度高等优点，因此本文基于风速、光照强度和负荷间的相关模型，结合蒙特卡洛模拟给出了考虑风速、光照强度和负荷相关性的随机潮流方法，其计算步骤如下：

步骤一：输入网络的相关运行参数，风速、光照强度、负荷概率分布模型的相关参数信息，设定最大采样规模为N，初始迭代次数k=0。

步骤二：由上一节的相关性分析方法产生具有相关性的N组风速、光照强度、负荷随机样本，根据光照强度和风速的随机样本利用相应的输出功率模型计算风力发电和光伏电源输出的有功功率和无功功率，进而得到配电网的N运行状态。

步骤三：基于配电网前推回代潮流计算方法，对配电网进行第k次确定性潮流计算，并保留本次潮流计算结果，其中k＜N。

步骤四：判断随机潮流是否满足收敛条件，若不满足，令k=k+1，返回上一步，进行确定性潮流计算；若满足，直接进入下一步骤。本文采用的收敛判据为有功网损的方差系数。

步骤五：统计各次潮流计算结果，采用非参数核密度估计法拟合得到配电网各节点电压、有功网损的概率分布，绘制概率密度曲线。

4 考虑相关性的配电网重构算法

4.1 整数粒子群优化算法

粒子群优化算法由Kennedy和Eberhart教授于1995年首次提出［20］，是受鸟群觅食行为启发，该算法的优点在于易理解，简单，收敛速度快等。传统的基本粒子群算法中，每个粒子代表问题的一个解，对应一个适应值，即目标函数值。假设粒子为D维，第i个粒子的位置 Xi为[xi1,xi1,…,xiD]，对应飞行速度Vi为[vi1,vi1,…,viD]，产生的个体最优位置 Pi,best为［pi1，pi2，…，piD］，全局最优位置 Pg,best为[Pg1,Pg2,...,PgD]，迭代过程中，粒子根据当前的速度、全局最优解以及粒子历史最优解进行状态更新，从而得到新的飞行速度和位置。其更新过程按下式进行：

式中，w为惯性权重；vi为第i个粒子的速度；c1、c2为学习因子；r1和r2为区间［0，1］内的随机数；xi为第i个粒子的位置；pi,best为第i个粒子的个体最优值；pg,best为全局最优值。

在配电网重构过程中，粒子的位置应为整数值，而在传统的基本粒子群算法中粒子的位置向量Xi为连续空间内的值，因此，本文在实现整数粒子群算法的迭代过程中，将位置向量Xi进行截断取整，截断规则为：当位置向量Xi中某维元素值小于1时，则该元素取为1；当位置向量 Xi中某维元素值大于该环路中开关位置最大编码时，则该元素取环路中开关位置最大编码值；当处于两者间时，则该元素取最接近的开关位置编码值。同时在粒子群中引入自适应调整的惯性权重，如下式：

式中，wmax，wmin分别为惯性权重的最大值和最小值；k为粒子当前迭代次数；kmax为粒子最大迭代次数。

4.2 配电网重构过程中无效解的判断修复

本文采用基于基本环路的整数编码规则［21］，选取包含支路数最少的闭合回路作为基本环路，将开关所在基本环路中的位置编号作为粒子编码。将解环效果相同的支路合并为等效支路组进行编号，根据断开开关所属等效支路组建立断开支路组向量M ，通过M 判断该粒子是否为有效解［22］：

式中，N为独立环路数，与联络开关个数相同；mi为环路i中断开开关对应的支路组编号。

4.3 重构算法

考虑风速、光照强度和负荷多维随机变量之间的相关性的配电网重构算法步骤如下，流程图如图1所示。

图1 考虑相关性的配电网重构流程图

1）输入配电网的初始网络结构，各支路阻抗，采用具有相关性的风速、光照强度和负荷随机样本数据，并得到对应的风力发电和光伏电源输出有功功率和无功功率。

2）随机初始化粒子种群，设置算法参数、最大迭代次数为Gmax，初始迭代次数g=1。

3）基于断开支路组向量依次判断粒子的可行性，并对无效解进行修复；根据蒙特卡洛随机潮流算法计算粒子的适应度值，得到粒子的历史最优位置、全局最优位置。

4）判断是否达到最大迭代次数，若未达到，令g=g+1，根据迭代公式对粒子的速度和位置进行更新，返回第3）步继续迭代；若已达最大迭代次数Gmax，则输出配电网重构结果。

5 算例分析

5.1 测试网络及数据

采用IEEE-33节点配电系统［23］为例对本文算法进行验证，并分析不同相关程度对配电网重构的影响，IEEE-33节点配电系统结构如图2所示。该系统含有33个节点，37条支路，5个联络开关，额定电压为12.66kV，网络总负荷为3715kW+j2300kvar。假设在节点24接入一台额定功率为500kW的风力发电机，其切入风速、额定风速、切出风速分别为3m/s、13m/s、25m/s；在节点32接入一个光伏电源，该光伏电源包含4个光伏阵列，光伏阵列采用Pilkington SFM144H*250wp型太阳能电池组件［24］，每个光伏阵列组件个数为400个，单个组件面积为2.16m2，光电转换效率为13.44%。风速服从形状参数k和尺度参数c分别为1.83和9.93的威布尔分布，光照强度服从分布参数α和β分别为2.06和2.5的贝塔分布。风力发电机和光伏电源采用恒功率因数控制，额定功率因数均为0.9。各节点负荷以其期望值为均值，取标准差为10%。

图2 IEEE-33节点配电系统

5.2 考虑相关性的随机潮流分析

表1为不同情形下的配电网的有功网损和标准差，其中情形1为不含风力发电和光伏电源，只考虑负荷的不确定性；情形2～情形7为含风力发电和光伏电源，考虑风速、光照强度、负荷间相关系数分别为0、0.2、0.4、0.6、0.8、1。

表1 不同情形下的配电网有功网损

首先，将含有风力发电和光伏电源的情形2～7与不含风力发电和光伏电源的情形1对比，配电网的有功网损期望值、90%置信度的有功网损悲观值均明显降低，说明分布式电源的接入能够改善系统的潮流分布，减小配电网的有功网损，从而使系统能够更加经济的运行；其次，对比情形2～7，有功网损的期望值随相关系数的增大略有下降，但并不明显，情形7与情形2相比，有功网损期望值减小了2.6078kW，但是随着相关系数的增大，有功网损在90%置信度下的有功网损悲观值均明显降低，情形7与情形2相比，降低了33.2414kW；最后，对比情形2～7，随着相关系数的增大，有功网损的标准差也明显减小，情形7与情形2相比，有功网损标准差降低了20.9806kW，高达51.1%。由此可见，配电网的有功网损随风速、光照强度和负荷的相关程度的变化而变化，因此，在对配电网进行潮流分析时不能忽略其影响。

图3给出了情形2～7的配电网有功网损的概率密度曲线，可得出以下结论：随着相关系数的增大，配电网的有功网损分布更加集中，波动减小。

图3 有功网损概率密度曲线

图4 和图5分别为情形1～7的各节点电压幅值的均值和标准差曲线。由图4和图5可知：风力发电和光伏电源接入配电网后，各节点电压幅值的期望值均得到了明显的提高，表明分布式电源的接入能够有效改善各节点的电压水平；随着相关系数的增大，各节点电压的标准差逐渐减小，即电压波动减小。

图4 各节点电压幅值均值曲线

图5 各节点电压幅值标准差曲线

图6为情形2～7节点18电压幅值的概率密度曲线。分析图6可得到如下结论：随着相关系数的增大，节点18的电压幅值分布更为集中，即波动性减小，这与前述结论一致；在低电压段和高电压段时，随着相关系数的增大，节点的越线概率减小。

图6 节点18的电压概率密度曲线

5.3 考虑相关性的重构结果分析

基于以上的随机潮流分析，设置最大迭代次数为50次，种群数量为50，目标函数有功网损的置信水平α=0.9，节点电压置信水平βV与支路功率置信水平 βS一致，即取 β=βV=βS=0.9，对IEEE-33节点配电系统进行重构。

表2为情形2～7重构前后90%置信水平下有功网损悲观值的结果对比。由表2可知，通过重构，90%置信水平下的有功网损悲观值均得到明显降低，说明通过配电网重构可有效改善系统潮流分布，减小配电网的有功网损，使配电网能够更加经济地运行。

表2 重构前后结果对比

表3为情形2～7配电网的重构结果。由表3可知，相关程度的强弱会引起配电网重构结果发生变化，情形2～情形4（相关系数分别为0、0.2、0.4）断开开关均为7、14、9、36、28；情形5和情形6（相关系数分别为0.6、0.8）断开开关为7、14、9、32、37；情形7（相关系数为1）断开开关为7、14、9、36、37；这主要是因为随着相关系数增大，电压越线概率逐渐减小，因此，在对含有风力发电和光伏发电的配电网进行重构时，忽略风速、光照和负荷相关性会给重构结果造成误差。

表3 配电网重构结果

6 结语

本文基于等概率原则和Cholesky分解提出了风速、光照强度和负荷的相关随机样本抽样方法，采用蒙特卡洛模拟法计算配电网的随机潮流，并引入机会约束规划理论建立了配电网重构的数学模型。算例结果表明，风速、光照强度和负荷相关性强弱会对配电网的潮流结果和重构方案产生影响。因此，在对含风力发电和光伏电源的配电网进行潮流计算和重构时，不能忽略风速、光照强度和负荷间的相关性，否则会对随机潮流结果和重构方案造成误差。