通过路径优化提高介质击穿算法效率研究

梁国茂 张天成 贺惜晨

【摘要】    在军事领域，人们通过对HPM（高功率微波）大气击穿研究，希望改进现有雷达系统。本论文以大气中闪电现象依托，来讨论介质击穿算法的效率，首先简述介质击穿分析模型，分析有限差分法，通过优化有限差分法以提高介质击穿算法的效率。建立介质概率击穿模型，讨论在介质中电树枝如何隨机形成的，通过实验求解介质击穿路劲，使用matlab工具编写静电场边值问题的有限差分法算法通过文献资料与实验，本文最终完成对有限差分法的优化，达到提高介质击穿算法的效率的目的。

【关键词】    有限差分法（FDM）    介质击穿路径    MATLAB    边值处理

世界上主要国家都以发展HPM武器而研究HPM脉冲压缩技术，如俄罗斯TOMSK核物理研究所，美国空军研究实验室。与HPM脉冲压缩技术相关的HPM大气击穿技术可以用于提升现有雷达技术。依据这一强有力的背景，本文选取电磁场分布的热门话题，提升介质击穿算法效率，在电磁学中常使用有限差分法在处理电磁场分布方法，使用MATLAB工具进行介质击穿算法实现，在实验中优化路径预测算法，根据实验与理论确定最终优化方法。

一、研究方法与研究模型

1.1有限差分法简介

有限差分法（FDM，全称finite difference method）本质思想是离散化场（域），在格点中运用差分原理，将微风方程通过具体运算来处理，是一种经典的应用。另外在时间工程中，通常不需要解析解，只要数字解即可解决工程问题，以此近似替代是有效的，并且被经常使用。

在格点模型中使用足够小的方格，将方格组成网络标示场（域），使用φ0、φ1、φ2、φ3、φ4代表五个点的电势。当ρ=0时，便可以得到拉普拉斯方程的五点差分公式（1）。

公式（1）是在格点相同，即每个网格的边长是相同的，忽略距离参数的公式，如果是非均匀格点划分，则只需加入距离因子即可。因为在本论文的实验中，方格边长足够小，可以忽略距离的影响，可以不用考虑其影响。下面介绍使用有限差分法近似求解固定边界的问题进行求解。

在格点模型中，除边界外的点都有一个五点方程，由这些方程组成方程组，这些差分方程组便可以标示整个场或域。由高斯-赛德尔迭代法可以推导出公式（2），公式中的（i，j）是坐标，n是迭代次数。该公式即是基本的有限差分迭代次数。

在matlab中可以使用公式（3）进行计算。

由于有限差分解是微分的近似解，经过多次迭代后，场（域）中每个点的前后两次计算值的误差小于修正值时，可以终止计算，即获得近似解。迭代终止条件，如公式（4）所示。公式中w是修正值，是最大允许的误差，即迭代终止条件，本实验采用1×10-5。

1.2介质击穿的概率模型

1.2.1四个点的闪电概率模型

BDM模型引入概率因子，从概率方面模拟介质被击穿的过程。

本论文讨论二维平面的情况，假设其中三边电势为零，则另一边电势为纵向格点数量。击穿的格点就是介质击穿路径。

公式中P是该点被击穿的概率，φ是该点电势。因为场内的每个点都存在被击穿的可能，所以随机产生一个0到1的数，使用该数值所在概率区间，决定距离最近的四个点中哪个点被击穿。

1.2.2八个点的改进模型

另外四个点的距离相同，但是其距离是最近的四个点的距离的倍。增加计算的有效信息量，可以使用周围相邻的八个点。实际运算中只要引入距离参数即可将公式（4）改写为公式（6），假设格点距离是单位距离，则公式（6）中的d是距离。

1.3有限电场模型

在实验开始前，以自然界闪电为有限电场原型，以闪电路径，作为介质击穿路径。假设一理想矩形空间，四周金属板电势固定，中间是普通空气填充。该场一面电压是100伏，其余三面电势是0，使用个格点描述该场。

为了简化求解过程，将连续过程离散化求解，使用有线差分进行有效逼近，最终转化为求解差分形式的线性方程组。可把原方程和有定解的条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和有定解的条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到电势在整个区域上的近似解。

二、结果分析

常规的计算方法是通过构建135*135矩阵，在固定位置插值后进行矩阵运算，然后通过抽值来直接求解矩阵。该方法编程比较繁琐，其空间复杂度与时间复杂度都很大，这将导致其计算效率比较低。当边界条件复杂时该方法的编程将十分麻烦，由于计算本身是近似方法，精确求解没有实际意义，实际上只需要满足精度的近似解即可，因此引入迭代法简化编程，以提高工作效率。

通过与直接计算方法相比同时处理17*11格点模型，迭代法比在常规直接计算的方法浮点系数矩阵空间大幅减少。在四格点模型中，每一点的电势，由最近的四个点决定，因此简单迭代方法求解时需要先对场域内的格点赋予迭代初值。带入公式（1）中，进行反复迭代。若第N次迭代以后，所有的内节点的相邻两次迭代运算值之间的最大误差不超过允许范围，即可接受误差，可终止迭代，将此次计算的结果作为有限电场内并将第N次迭代结果作为内节点上电位的最终数值解。

在上述迭代算法中的扫描方式是逐行扫描的，即在求取的值时，它的前一点与上一点已经从新计算过，在计算时有新值可共使用新值，因此可以将公式（3）进行优化，改写为公式（7）。

在使用公式（7）进行迭代运算时，只迭代了223次，比公式（3）的迭代次数减少了将近一般。因此该优化方向是正确的，优化算发是生效的。

为了取得更大的优化效果，可以使用超松驰迭代公式，即公式（8）。

其中a是加速收敛因子，顾名思义，a的取值可以影响迭代的收敛速度。由于以上实验都是基于逐行扫描的，很自然的想到通过隔行掃描与对称扫描，以尽可能的使用新值来降低算法的复杂度。

下面本论文使用该方法讨论并解决实际模型--自然界的闪电现象。假设地面与云端在同一平面，并且地面电势为100，云端电势0，闪电起于云端，终于地面，闪电路径即是介质击穿路径，击穿发生后所有电势归零。

下面对等于3时，计算在四点模型与八点模型的运算量，实验结果如表1。

对比上述表格可以看出，在相同的格点情况下，八点模型迭代次数比四点模型的迭代次数要少，因此运算时间复杂度得到优化。

在使用m程序绘制100*100的击穿路径图形时，随着的增大，介质击穿路径的“分叉”情况越来越少，从文献中可知取2到3时，模拟的路径与真实介质发生击穿路径相似。在时间运算中得出，等于3时花费时间较短，因此本论文值取3。

三、结束语

本文从空间复杂度与时间复杂度两个方面优化介质击穿路径算法，达到提高介质击穿效率。使用迭代方式将空间复杂度从O（x4）降低到O（x2）。在时间复杂度上，通过尽可能使用新近计算的值来降低迭代次数;通过改进格点模型，增加新计算的值在变量计算总的比例达到降低运算量的目的，根据理论与实验数据，证明本论文方法降低了算法的时间复杂度。因此本论文完成了预期目标，即通过优化介质击穿路径算法提高介质击穿效率的目标。

通过降低算法空间复杂度与时间复杂度来提高介质击穿算法的效率。通过分步骤的方式来改进算法，首先对了解与分析问题，建立数学模型;然后编写程序求解已知边界的有限电场分布，并以闪电击穿大气为背景进行仿真。使用迭代方法替代直接求解来降低空间复制度;而后对迭代算法进行优化，通过使用新值来降低迭代次数，提升介质击穿算法的效率。最后，讨论概率因子对路径算法的影响，根据文献资料与实验数据，本论文的概率因子取3，来跟接近自然界闪电击穿大气的现象。

参  考  文  献

[1]陈方平，祁铮.基于分形思想的闪电模拟与仿真[J].计算机应用， 2013，33（S2）：218-219.

[2]吴明亮.中层大气闪电现象的模拟研究[D].北京：中国科学院研究生院，2006：9-23.