二维Logistic分数阶微分方程的离散化过程

刘杉杉 高飞 李文琴

摘 要：针对二维Logistic分数阶微分方程的求解问题，引进了一种离散化方法对其进行离散求解。首先，将二维Logistic整数阶微分方程推广到分数阶微积分领域;其次，分析相应具有分段常数变元的二维Logistic分数阶微分方程并应用提出的离散化方法对模型进行数值求解;然后，根据不动点理论讨论该合成动力系统不动点的稳定性，给出了在参数空间内二维Logistic分数阶系统发生第一次分岔的边界方程;最后，借助Matlab对模型进行数值仿真，并结合Lyapunov指数、相图、时间序列图、分岔图探讨模型更多复杂的动力学现象。仿真结果显示，所提方法成功对二维Logistic分数阶微分方程进行离散。

关键词：二维Logistic微分方程;时滞;分段常数变元;不动点;分岔;混沌

中图分类号： TP391.9; TP301.5

文献标志码：A

Abstract： Focusing on the problem of solving coupled Logistic fractional-order differential equation， a discretization method was introduced to solve it discretly. Firstly， a coupled Logistic integer-order differential equation was introduced into the fields of fractional-order calculus. Secondly， the corresponding coupled Logistic fractional-order differential equation with piecewise constant arguments was analyzed and the proposed discretization method was applied to solve the model numerically. Then， according to the fixed point theory， the stability of the fixed point of the synthetic dynamic system was discussed， and the boundary equation of the first bifurcation of the coupled Logistic fractional-order system in the parameter space was given. Finally， the model was numerically simulated by Matlab， and more complex dynamics phenomena of model were discussed with Lyapunov index， phase diagram， time series diagram and bifurcation diagram. The simulation results show that， the proposed method is successful in discretizing coupled Logistic fractional-order differential equation.

Key words： coupled Logistic differential equation; time delay; piecewise constant argument; fixed point; bifurcation; chaos

0 引言

混沌被认为是继量子力学与相对论之后的第三大科学发现。混沌系统是非线性动力学映射主要表现形式之一，具有良好的类随机、非周期、对初始值敏感、历经各态并可确定等特性[1-4]。其中Logistic混沌系统是May[5]在《Nature》上发表的一篇影响甚广的综述中提出来的，后来Feigenbaum[6]指出Logistic是通过倍周期分岔到达混沌的。之后，众多学者一直致力于Logistic的相关研究[7-9]。在此基础上，研究者们又研究了二维Logistic映射的分岔特性和混沌现象及其在生态学等领域的应用[10-11]。因在对一维映射到高维的研究中，二维Logistic映射起着衔接作用，且对二维映射中混沌现象和混沌控制的研究有助于认识和控制更复杂的高维动力系统的性态[12]，故引起了各个领域研究者的广泛关注[13-17]。因此，本文对二维Logistic微分方程进行研究。

而近几十年来，分数阶（非整数）混沌系统迅速发展。但研究人员发现，对于一些分数阶微积分总表现出阶数小于3的混沌行为，如Hartley等[18]的研究阐述了该现象。分数阶微分系统适合刻画描述具有记忆、遗传等特性的过程，区别于整数阶微分系统，也是研究分数阶微分系统的必要因素。整数阶系统是分数阶系统阶次取整数时的特例，因此采用分数阶混沌系统对混沌现象进行描述更具有普适性。此外大量研究表明，当混沌系统的阶数为分数时仍表现出混沌现象，并且更能反映系统的工程物理现象。故本文将二维Logistic微分方程推广到分数阶领域，并引进了一种离散化方法对其进行离散求解，该离散化过程对分数阶求解提供了理论指导，为分数阶微积分的应用开拓了新领域。接下来，根据动力系统不动点稳定性定理和混沌动力学分析研究二维Logistic分数阶微分方程的动力学性质以及混沌现象。

1 二维Logistic分数階混沌系统

1.1 混沌的定义

设（X，ρ）是一紧致的度量空间，f：X→X是连续映射，称f在X是混沌的，如果：1）f具有初值敏感依赖性;2）f在X上拓扑传递;3）f的周期点在X中稠密[13]。

由于非线性动力学系统的混沌具有不可预测性、不可分解性和具有规律行为等特性，非线性系统随时间的演变将趋向于维数比原来相空间低的极限集合，即吸引子。随着控制参数的变化，简单吸引子发展为奇异吸引子，此时系统是混沌的。

1.2 混沌的刻画

1.3 分数阶微积分的定义

分数阶微积分是传统微分和积分以任意阶整数的一般化，近几年因分数阶微积分在科学技术领域的广泛应用，吸引到很多学者，他们利用数值仿真研究该类方程。因为Caputo型分数阶微分[20]描述问题的初始条件与整数阶微分方程是一致的，因此本文选用Caputo型分数阶微分进行研究，首先阐述Caputo型分数阶微积分的定义：

2 离散化过程

当分数阶微分模型建立之后，便面临着如何求解的问题。目前，对于分数阶微分方程的求解主要采用两种方法：频域法[21]和时域法[22]。但近来研究发现，第二种更加有效，因第一种方法在检测混沌现象时不总是可靠的。

通常分数阶微分方程的解析解求解困难，于是不得不借助数值解的方法并辅助计算机仿真。分数阶微分方程数值解的方法主要包括：有限元方法、变分迭代法、Adomain分解法、预估校正法等。其中在文献[23]分别对分数阶Logistic模型和分数阶Henon模型给出了分数阶的数值求解方法，但该方法与预估校正法类似，求解结果比其他算法相比较为精确，但是两者计算结果都比较复杂，并且前者的数值解不仅与当前状态相关而且依赖过去所有状态，故在进行数值仿真时加大了实验难度，进而较难分析模型的动力学现象。

而近年来，具有时滞和分段常数变量的微分方程受到越来越多生态数学学者的关注，这一模型正解的稳定性、有界性、吸引性以及振动性得到了较全面的研究[24-26]。本文参考文献[27-29]的离散化过程，定义了具有分段常数变元的二维Logistic分数阶微分方程，并对其进行离散化处理。方程表达如下：

3 二维Logistic系统中的混沌

3.2 不动点的稳定性判别

根据3.1节给出的不动点的稳定性判定条件，此时将不动点f1fixed=（0，0）代入式（10），可得|K|max=1+4Wρ+Wγ，进而得出K+>1、K->1。可知不动点1为不稳定节点，此时不动点1是不稳定的。将不动点f2fixed=（（4ρ+γ）/（4ρ），（4ρ+γ）/（4ρ））代入式（10）可以推得，当0<γ<（2-4Wρ）/（3W）时，|K+|<1，|K-|<1，此时不动点2为稳定节点;当（2-4Wρ）/（3W）<γ<（2-4Wρ）/W时，|K+|<1，|K-|>1，此时不动点2为鞍点;而当γ>（2-4Wρ）/W，|K+|>1，|K-|>1，此不动点2为不稳定节点。此外将不动点2代入式（13）可知，当γ<1/（2W）-2ρ时，系统发生第一次分岔的分岔点为γ=（2-4Wρ）/（3W）或γ=（2-4Wρ）/W。本文将参数取值设定为ρ=2、α=0.95时，可计算得出γ=（2-4Wρ）/（3W）=0.34719和γ=（2-4Wρ）/W=1.04159，见图1（a），该点为系统的分岔点。

3.3 通向混沌的道路

在动力系统中当控制参数变化到某个临界值时，非线性系统的动力学性态发生定性变化的现象被称为分岔，它是非线性系统内部固有的一种特性[32]。1981年，Eckmann[33]曾对各种可能的分岔现象进行了研究，归纳出走向混沌的三种途径：1） Feigenbaum途径（通过倍周期分岔）;2） Ruelle-Takens-Newhouse途径（通过Hopf分岔）;3） Pomeau-Manneville途径（通过阵法混沌）。

4 数值仿真与分析

为了在控制参数空间对系统的行为进行较全面的考察，这里有选择地研究了控制参数沿该空间中轨线变化时系统行为的演化，且具代表性。

本章主要借助Matlab进行数值仿真来说明理论结果以及揭示系统式（8）复杂的动力学现象。这里主要采用控制变量法，即在其余参量保持正常值的条件下单独探讨一个参量对系统的影响[34]。本文探讨了系统参数γ、阶数α对分数阶微分的影响。此外，一个系统发生混沌与否，一个关键的参考依据就是最大Lyapunov指数（Le）。故最大Lyapunov指数是对混沌最好的观测者，当系统发生混沌时，最大Lyapunov指数为正，反之为负。

图1为参数ρ1=ρ2=ρ=2、γ∈（0，1.6）时系统式（8）行为的演化规律，一般设定α=0.95，初值这里取（x0，y0）=（0.1，0.2），迭代次数为300，步长为0.002。可知当γ=0.25时系统趋于相平面的一稳定不动点（图1（a））所示;当γ=1.0时，相平面出现两个稳定的不动点（图2（a））;当γ增加至1.1时，两个稳定的不动点失稳，新的稳定状态是围绕着原有不动点的两个极限环（图2（b）），这个过程称为Hopf分岔;当γ=1.2时，系统出现周期五窗口（图2（c））;当γ增加至1.238时，相平面出现是奇怪吸引子（图2（d）），可知此时最大Lyapunov指数L1>0（图1（b）），系统的行为是混乱的;但随着γ增加至1.259时，李雅普诺夫指数L1<0（图1（b）），系统又回到了周期状态，出现周期3窗口（图2（e）），此时一般二维Logistic是按周期行为与混沌现象交替出现的间歇突发通向混沌的;γ继续增加，轨道上的点按复杂方式扭曲，当γ=1.3，由图1（b）可知此时L1>0，相平面出现的是奇怪吸引子，系统的行为是混沌的，并且隨着γ的增加，奇怪吸引子尺寸变大且靠近的程度缩小，彼此靠近（图2（g）～图2（h））。故可知，该演化行为是按周期行为与混沌现象交替出现的间歇通向混沌的，属于Pomeau-Manneville途径的典型代表，且该间歇与Hopf分岔有关。

接下來改变阶数α，分数阶阶次α取定为0.80到0.95，此时分数阶阶次具有一般性，初值为（x0，y0）=（0.1，0.2），迭代次数为300，步长为0.002，如图3所示。此时以参数α为控制变量，观察在此区间内系统随着参数改变的动力学现象。从图3可知，随着分数阶阶数α减小，分岔提前，稳定区域变小。

从图3可以看出，分数阶阶次的改变影响着系统式（8）的运动状态，故选定α为控制变量，变量区间为（0.8，1.3），步长为0.001，迭代次数为300，初值选定为x0=0.1，y0=0.2，不失一般性，这里分别选定γ=1.1和γ=1.35做出分岔图如图4所示。从图4可以看出，随着阶数α的增加，系统逐渐趋于稳定。

此外混沌动力系统最重要的特性之一是对初值变化十分敏感，这意味着对当前轨迹的任意小的扰动都可能被放大，并在多次迭代之后导致显著不同的未来行为。从（o（x1，y1），o′（x1′，y1′））不同的两个点出发，两条路径之间的距离用欧氏距离衡量，表达如下：

为了显示混沌系统对初始条件的敏感性，图5绘制两个无限接近但不相同的初始点（o（0.1，0.2），o′（0.1001，0.2））之间的距离（用“*”型线表示）。

由图5可以看出，对于混沌系统而言，尽管对初值扰动很小，但在几次迭代后被放大。而由稳定系统生成的另一基准线（用“”表示），尽管两条轨迹从两个差异略大的点（o（0.1，0.2），o′（0.19，0.2））出发，但随着迭代进行，两条轨迹之间的距离趋于0，表现出明显的初始敏感性，进而验证了上述的结论。

5 结语

本文研究了二维Logistic分数阶微分方程，并运用了一种离散化方法对其进行离散求解、并以α、γ为控制参数通过数值仿真，并通过分岔图、Lyapunov指数、相图、时序图对其离散化的二阶差分模型的动力学现象进行分析。此外，探究了二维Logistic分数阶微分方程离散化模型不动点的性质，给出了在参数空间中二维Logistic差分模型发生第一次分岔的边界方程，并指出系统是按Pomeau-Manneville途径走向混沌的，其间歇性与Hopf分岔有关。最后注意到当α→1时，即欧拉离散过程。但是区别于欧拉法的是，本文成功对二维Logistic分数阶微分方程进行离散[29]。

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