鲁棒的双向多中继物理层安全传输方案

黄 芮，陈 捷

(1.西北工业大学 人事处，西安 710072; 2.西北工业大学 航海学院，西安 710072)(*通信作者电子邮箱jie.chen@nwpu.edu.cn)

0 引言

保障无线传输过程中信息的安全是无线通信面临的一个核心问题。近年来，以信息论安全为基础的物理层安全技术得到了广泛的关注[1]。物理层安全利用无线信道的传输特性，直接在无线通信系统的物理层保证信息的安全传输，具有更强的针对性。协作中继技术是一项重要的提高无线传输物理层安全性能的技术[2]。通过多个中继节点间的协作，利用协作波束形成(Cooperative Beamforming, CB)方法和协作人工干扰(Cooperative Jamming, CJ)方法[3-10]，分别用于提高合法用户的接收信号、降低窃听方的接收信号的信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)，从而有效地提高物理层安全性。

本文重点研究双向多中继系统中的物理层安全传输技术。文献[5-6]研究了放大转发(Amplify-and-Forward, AF)双向多中继网络中的协作波束形成技术，期望最优化系统的安全和速率(Secrecy Sum Rate, SSR)；但是该问题是一个非凸优化问题，难以求解。因此文献[7]提出了迫零协作波束形成方案以简化问题，并给出一种迭代优化算法优化中继节点的波束形成向量和源节点的功率分配；这种方案虽然有效地降低了计算复杂度，然而如文献[8]指出的，当窃听方接收天线数增加到中继节点数时，迫零方案的性能将急剧下降。为了克服这一缺点，协作干扰技术[9-10]通过协作节点发射人工干扰信号阻碍窃听者，来进一步提高物理层安全性能。文献[11]提出了双向多中继系统中的混合波束形成与协作干扰技术，将部分协作节点用于转发信息，而另外一部分用于发射人工噪声干扰窃听方，显著地提高了安全性能。

上述研究[5-11]均假设窃听节点的信道状态信息(Channel State Information, CSI)精确已知，从而进行安全和速率的优化。然而在实际中，该假设过于理想。虽然有研究表明，有可能通过从被动窃听者接收机射频前端泄露的本地振荡器功率来估计其CSI[12]，但是，无线信道和噪声的天然随机性会不可避免地引入估计误差[13]，因此，假设窃听方CSI不精确已知更加符合实际场景。与基于理想信道CSI的安全传输方案相比，信道CSI的不理想将会影响协作人工噪声和波束形成向量的设计，并且对系统保密性能带来不利影响。文献[14]研究了单向中继网络中鲁棒的波束形成和人工噪声问题，然而，目前尚没有在双向多中继系统中对该问题的研究。因此，在窃听方CSI无法精确已知的情况下，设计使双向多中继系统中保密速率最大化的鲁棒性安全传输方案就成为当前一个重要的研究问题。

针对AF双向多中继系统中CSI不理想情况下的鲁棒的物理层安全传输问题，本文提出了鲁棒的协作波束形成和人工噪声联合物理层安全传输方法方案。该方案充分考虑了信道状态“最差情况”，为了在总发射功率约束下达到最大化系统安全和速率的目标，同时优化了波束形成向量、协作干扰向量，以及两个源节点的发射功率。在人工噪声波束形成(Artificial-Noise and BeamForming, ANBF)方案中，通过交替迭代的思想将原优化问题转化为两个子问题，每一个子问题都可以采用连续参数凸近似(Sequential Parametric Convex Approximation, SPCA)算法将原来的非凸子问题转化为一系列凸近似问题，迭代求解最终得到局部最优的优化结果。仿真结果和性能分析验证了本文所提方案的有效性，并指出ANBF方案可以得到最高的安全总速率。

1 鲁棒的双向多中继物理层安全传输

1.1 双向中继系统安全传输模型

如图1所示，本文考虑一个双向多中继通信系统，其中包括两个合法源节点Tm(m=1,2)，N个中继节点Rn(n=1,2,…,N)和一个窃听节点E(Eve)。该系统中的所有节点都只配备单天线。两个合法源节点希望能够在N个中继节点的帮助下互换信息，同时防止信息泄露给窃听方E。考虑时分双工并假设信道互易。fR,n、gR,n、fE、gE、cE,n(n=1,2,…,N)分别表示T1到Rn、T2到Rn、T1到E、T2到E以及Rn到E的信道系数。假设所有的无线信道服从准静态衰落，并且所有合法节点之间的CSI是已知的；而对于窃听者信道，假设CSI不能理想已知，而是存在误差。将信道的不确定性建模如下：

(1)

整个信息传输过程由两个阶段组成：多址(Multiple ACcess, MAC)通信阶段和广播通信阶段。在多址阶段，T1和T2发送各自的信息，N个中继节点的接收信号可以表示为：

(2)

其中：yR=[yR,1,yR,2,…,yR,N]T;fR=[fR,1,fR,2,…,fR,N]T；gR=[gR,1,gR,2,…,gR,N]T；si和Pi(i=1,2)分别是Ti节点的发送符号和发射功率;nR是中继节点处方差为σ2的加性噪声。

图1 双向多中继窃听信道模型Fig. 1 Two-way multi-relay eavesdropping channel model

在广播(BroadCast, BC)阶段，中继节点对接收的信号进行加权处理并嵌入协作干扰信号，然后将信息转发给源节点。中继节点的发送信号可以表示为：

xR=WyR+v

(3)

此时，T1和T2节点处接收到的信号分别可以表示为：

yT1=fRTxR+nT1=

(4)

yT2=gRTxR+nT2=

(5)

其中:w=[w1,w2,…,wN]T；FR=diag(fR)；GR=diag(gR)；nT,1、nT,2分别是T1、T2处在第二个阶段的加性噪声。

同理，窃听方在两个阶段收到的信号可以表示为如下的矩阵形式：

(6)

(7)

其中：I(yTi;si)(i=1,2)表示源节点的互信息;I(yE;s)表示窃听方的互信息。根据双向中继的标准处理方法，由于T1和T2知道自己的传输信息，可以从式(4)、(5)中减去自干扰项，从而源节点的互信息可以分别表示为：

(8)

(9)

另一方面，在信道信息不确定的前提下，窃听方可达的速率表示为：

(10)

其中:

A=σ4I+P1|fE|2σ2I+P2|gE|2σ2I+

P1σ2fRfRH+P1P2(fEgR-gEfR)(fEgR-gEfR)H+

P2σ2gRgRH

窃听方等效的噪声协方差矩阵为：

QE=diag(σ2,σ2(1+wHCECEHw)+cEHΣcE)

R′=σ2+P1|fE|2+P2|gE|2

Q=σ2P1|fE|2+σ2P2|gE|2+σ4

将式(8)～(10)代入(7)中可见，由于对窃听者Eve的CSI存在未知误差ΔcE，精确的安全总速率的表达式是未知的。考虑鲁棒的设计原则，即对Eve最有利，也就是对合法收发方最不利的“最差情况”下的保密速率(Worst Case-Secrecy Rate Maximization, WC-SRM)。这种鲁棒的保密速率的意义在于在‖ΔcE‖≤ξ的范围内，所设计出来的信号至少能确保优化所得的保密速率。最差情况下系统的保密速率如下：

最大化最差情况人工噪声波束形成(Worst Case-Artificial-Noise and BeamForming, WC-ANBF)方案保密速率的优化问题可表示为：

(11a)

s. t.wHTw+tr(Σ)+Ps≤PM

(11b)

其中：式(11b)表示总功率约束，T=P1Rff+P2Rgg+σR2I；PM表示系统总功率；Ps=P1+P2，P1、P2表示源节点T1和T2的发射功率。

由于考虑鲁棒的设计，目标函数式(11a)中包含的式(10)具有非常复杂的形式：矩阵A中包含优化变量P1、P2，并且所有分式的分子和分母均包含优化变量w。整个优化问题是一个复杂的非凸优化问题，对该优化直接求解是非常困难的。对此，下面给出本文提出的高效求解方法。

1.2 半正定松弛

首先利用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation, SDR)法对优化问题进行变形。半正定松弛是一种高效的近似方法，它经常被用于解决非凸的二次约束的二次规划(Quadratically Constrained Quadratic Program, QCQP)问题。更重要的是，这种方法已被证明可以提供近似最优的(有些情况下甚至是最优的)解。

具体来讲，SDR可以分为以下三步：

1)对原优化变量w，作变量代换Λ=wwH,且Λ0,rank(Λ)=1。

2)由于约束条件rank(Λ)=1使该问题非凸。为了保证该问题为凸优化问题，省略该约束，也即“松弛”。

3)由于在第1)步中省略了秩为1的约束条件，相当于将可行域扩大，因此得到的Λ的秩未必是1。如果恰好有rank(Λ*)=1，则可以分解为：Λ*=w*Hw*，w*是SDR处理前原优化问题的最优解；而如果有rank(Λ*)≠1，需要根据一定的方法来通过Λ*得到原问题的可行解w*，如高斯随机化方法等。

基于SDR技术，窃听方可达的速率可以表示为：

(12)

其中:

(13)

且有:

Rfg=P2FRgRgRHFRH+σ2FRFRH

Rgf=P1GRfRfRHGRH+σ2GRGRH

Rff=σ2FRFRH

Rgg=σ2GRGRH

下面对问题式(12)进一步作处理，忽略常数1/2并且引入松弛变量α、β和t，问题式(11)可以重新表示为：

(14)

s. t. tr(Σ)+tr(ΛT)-(PM-Ps)≤0

lb(α)-lb(β)≤t

利用矩阵的性质:

tr(ABCD)=tr(D(ABC))=vecT(DT)vec(ABC)=

vecT(DT)(CT⊗A)vec(B)

进行等式变换，得：

(15)

式中:矩阵B和D为N×N的矩阵，其第(i,j)个元素分别为Bi, j=(AT⊗Λ)(i-1)N+i,(j-1)N+j和Di, j=(I⊗Λ)(i-1)N+i,(j-1)N+j。这样问题式(14)可以表示为：

(16a)

s. t. tr(Σ)+tr(ΛT)-(PM-Ps)≤0

(16b)

(16c)

(16d)

lb(α)-lb(β)≤t

(16e)

这里需要强调的是，由于未知的信道误差的存在，问题式(16)的中间两个约束条件式(16c)和(16d)实际上包含无穷多个约束条件。为了进一步将问题化简，直接应用文献[13]中的S-procedure引理对约束进行变换，可得：

∃θ≥0

(17a)

∃τ≥0

(17b)

这样，无穷多个不等式约束条件‖ΔcE‖2≤ξ2的问题转化为两个线性矩阵不等式约束条件，并且转化后的问题符合凸优化问题的标准形式。问题式(16)可以更新为：

(18a)

s. t. tr(Σ)+tr(ΛT)-(PM-Ps)≤0

(18b)

(18c)

lb(α)-lb(β)≤t

(18d)

式中：Π1-B-R′Σ+θIN；Π2σ4D+σ2Σ+τIN；Ω2

分析优化问题式(18)，此时的优化变量包括标量t、α、β、θ、τ、P1、P2，以及矩阵Σ和Λ。下面给出一种基于交替优化技术的高效迭代算法，对进行半正定松弛以后的问题式(18)进行求解。

1.3 交替优化算法

采用交替优化算法，将优化变量分为三组，分别为({t,α,β,θ,τ},{P1,P2},{Σ,Λ}，先固定{P1,P2}，同时优化{t,α,β,θ,τ}和{Σ,Λ}；再固定{Σ,Λ}，同时优化{t,α,β,θ,τ}和{P1,P2}。具体过程如下：

1)固定{P1,P2}，优化{t,α,β,θ,τ}和{Σ,Λ}。

引入辅助变量k1和k2，分别代替式(18)目标函数中的非凸项-lb(tr(ΛRff)+fRHΣfR+σ2)和-lb(tr(ΛRgg)+gRHΣgR+σ2)，则优化问题可以重新表示为：

lb(tr(ΛRgf)+gRHΣgR+σ2)-

lb(k1)-lb(k2)-t}

(19a)

s. t. 式(18b)、(18c)、(18d )

tr(ΛRff)+fRHΣfR+σ2≤k1

(19b)

tr(ΛRgg)+gRHΣgR+σ2≤k2

(19c)

通过上述变换，整个优化问题式(19)中，除目标函数中的-lb(k1)-lb(k2)以及最后一个约束条件lb(α)为凹函数以外，其余所有项均为凸函数。为了求解该问题，基于文献[15]，本文采用连续凸近似(Successive Convex Approximation, SCA)方法。SCA方法的基本思路在于通过利用非凸函数的凸上界函数近似，将非凸优化问题转化为一系列迭代求解的凸优化问题进行求解。每一次迭代都以上一个迭代问题的初始值作为起点。可以证明，SCA方法的解能够收敛于一个满足优化问题式(19)的KKT((Karush-Kuhn-Tucher)条件的解。

(20)

其中α(l-1)是第l-1次迭代得到的优化解。

lb(tr(ΛRgf)+gRHΣgR+σ2)-t-lb(k1(l-1))-

(21)

s. t. 式(18b)、(18c)、(18d)、(19b)、(19c)

至此，已将包含无穷多个不等式约束条件的非凸问题转化为仅包含线性矩阵约束的凸优化问题，并可以通过SCA迭代算法求得原问题的KKT解。优化Σ和Λ的算法总结如算法1所示。

算法1 优化Λ和Σ。

1) 设定算法终止条件δ为δ=10-3，i=0。

1.1)选取优化问题的可行初始值α(0),k1(0),k2(0)，开始迭代求解凸问题式(21)。

1.2)当连续两次的迭代值相差大于δ时，继续迭代过程；否则停止迭代过程，并输出Λ和Σ。

2) 固定{Σ,Λ}，优化{t,α,β,θ,τ}和{P1,P2}。接下来考虑{Σ,Λ}固定时，优化{t,α,β,θ,τ}和{P1,P2}的问题。此时，优化问题式(18)转化为如下形式：

(22a)

s. t.P1(1+tr(RffΛ))+P2(1+tr(RggΛ))+tr(Σ)≤

PM-σ2tr(Λ)

式(18c)、(18d)

(22b)

式中：

可以采用类似于SCA方法对式(22)求解，此处不再赘述。经过一系列变换，问题式(22)转换为：

(23)

s. t. 式(22b)、(18c)

经过以上两步，通过将原问题进行凸近似转化，进而采用交替优化求解。整个算法总结如算法2所示。

算法2 交替优化的迭代算法。

1)初始化两个源节点的发射功率P1和P2，设定算法的终止条件δ为δ=10-3，i=0。

2) 开始迭代过程：

2.1)设定固定的P1和P2值，用SCA算法求解优化问题式(19)，得到{Λ,Σ}。

2.2)用固定的{Λ,Σ}，用SCA算法求解优化问题式(23)，得到两个源节点的发射功率P1和P2。

2.3)将得到的Λ、Σ、t、P、P2的值代入优化式(18)的目标函数，得到第i步迭代的结果f(i)(Λ,Σ,t,P1,P2)。

2.4)如果|f(i+1)(Λ,Σ,t,P1,P2)-f(i)(Λ,Σ,t,P1,P2)|<δ，停止上述的迭代过程，否则返回2.1)，继续迭代直至收敛。

3)若rank(Λ)=1,则通过特征分解求得w满足；否则利用高斯随机法重构一个w，输出并w、Σ、P1、P2。

1.4 复杂度分析

本节简单分析算法的复杂度。由算法2可知，算法主要由优化式(19)和式(23)两个部分组成，均为采用SCA迭代算法的复杂度决定。基于文献[15]，迭代优化的复杂度是迭代收敛的步数和每一步的凸优化复杂度的乘积。假设优化算法式(19)和式(23)达到收敛之前分别经过M1和M2次迭代，则总的计算复杂度为O(M1o1+M2o2)，其中o1和o2分别为优化式(19)和(23)过程中每一步凸优化问题的复杂度。对于每一步凸优化问题，采用CVX工具包[16]求解，复杂度为优化变量维度的三次方量级。因此，总的计算复杂度为O(M1(N+8)3+73M2)量级。从仿真实验可知该计算复杂度还是可以接受的。

2 无人工噪声辅助的波束形成方案

作为比较对象，本章简单讨论不加入人工噪声时的最优波束形成问题，也就是多个中继用全部的功率来转发有用信号的情况下。此时窃听方可达的速率可以表示为：

(24)

此时，系统最差情况下的保密总速率为：

(25)

最大化保密总速率的问题可以表示如下：

(26)

s. t. tr(ΛT)+P1+P2≤PM

采用交替优化算法可以求解该优化问题，方法与1.3节类似，此处不再赘述。

3 实验仿真及结果分析

本章采用蒙特卡洛仿真评估所提方案的保密性能。在每一次仿真实现中，所有的信道系数fR、gR、fE、gE和cE随机生成，且服从零均值单位方差复高斯分布。仿真中使用Matlab CVX工具包[16]来求解问题。下面结果是1 000次随机独立实验的平均结果。

3.1 最差情况下的保密速率仿真结果

首先来研究最差情况下的保密速率(WC-SRM)与信道估计偏差范围ξ之间的关系。保密速率随信道偏差范围ξ的变化曲线如图2所示。仿真中，设置信噪比为20 dB，中继节点数K=4。其中，WC-ANBF代表最差情况下有人工噪声的波束形成方案，最差情况波束形成(Worst Case BeamForming, WC-BF)代表最差情况下无人工噪声的波束形成方案。

图2 不同ξ的系统最差情况下保密总速率Fig. 2 Total rate of secrecy in the worst case of different ξ

由图2可以看出，随着不准确范围ξ的增加，两种方案的保密速率均在减小，尤其是当ξ超过0.4之后，保密总速率减小至0。这说明当信道估计的偏差过大时，两种方案的性能都会出现很快的下降，将不能够实现保密通信。同时也可以看到，通过采用加入人工噪声以及去除迫零约束的方法，随着信道估计误差的增大，系统的保密速率虽然会减小，但减小的速度却低于不加入人工噪声的方案。这说明相比于单纯地发射有用信号，采用加入人工噪声的方案依然可以有效地提升系统的保密性能。

3.2 精确已知CSI和存在偏差下的仿真结果对比

为了观察窃听方的CSI不准确对系统性能的影响，将文中所提出的两种方案WC-ANBF和WC-BF分别与理想CSI情况下的两种方案BF和ANBF作对比。仿真中设置参数为：信道估计偏差ξ=0.2，中继节点数K=4。

3.2.1 WC-ANBF与ANBF的比较

窃听方信道存在估计偏差情况下，ANBF方案保密速率的性能对比如图3所示。由于此时WC-ANBF方案是在窃听方信道不准确情况下的波束形成方案，因此传输过程中信息的泄露是不可避免的。

图3 ξ=0.2情况下ANBF与WC-ANBF保密总速率对比Fig. 3 Total rate comparison of secrecy between ANBF and WC-ANBF in case of ξ=0.2

由图3可以看出，在低的发射功率下，WC-ANBF方案的保密速率接近于0。这是因为存在信道估计的偏差时，收发节点对Eve的估计误差以及发射功率的不足，使得采用人工噪声以及采用波束形成技术来提高保密速率的方法变得没有意义，这也从另一个侧面说明了分配合理的发射功率的重要作用。

同时可以看到，在较高的发射功率下，ANBF方案与WC-ANBF方案的差距在进一步扩大。这是由于当信道精确已知时，对于ANBF方案而言，足够的发射功率可以保证分配合适的功率发射有用信号和人工噪声；而对于WC-ANBF方案，发射功率较大时，信道估计偏差会导致更多的有用信号泄露到Eve端,从而导致其与ANBF方案的差距进一步扩大。通过合适的波束形成和添加人工噪声技术可以比较显著地降低Eve端的信干噪比，降低Eve端的信道容量，从而提高系统的保密速率。

3.2.2 WC-BF与BF、ZFBF的比较

WC-BF 与BF、迫零波束形成(Zero Forcing BeamForming, ZFBF)方案的保密速率的性能对比结果如图4所示。WC-BF与BF相比，即Eve存在信道估计偏差的方案与精确已知CSI的方案相比，保密速率有不少的降低，这说明了信道估计准确度的重要性。另外，本文提出的WC-BF与ZFBF相比，由图4可知，由于缺乏窃听者的CSI，传统的ZFBF无法实现真正的迫零，因此其性能最差。由此可以看出，本文提出的WC-BF方案的有效性。而由图4的对比可以看出，即使存在信道估计偏差的情况下，加入合适的人工噪声方案的优势仍然被凸显出来。

图4 ξ=0.2情况下WC-BF与BF、ZFBF保密总速率对比Fig. 4 Total rate comparison of secrecy of WC-BF, BF and ZFBF in case of ξ=0.2

与理想CSI情况下得到的结果对比可知，当窃听方的CSI精确已知时，即使不加入人工噪声，也可以通过设计合适的波束形成向量来获得较高的保密速率;而当窃听方存在信道估计偏差时，即使获得足够的发射功率，系统的保密速率与理想CSI情况下相比依然有减小。

3.3 算法收敛性能分析

为了验证本文所提算法的收敛性能，在系统总功率为20 dBW时，分别给出了在信道估计偏差ξ=0.2时，在WC-ANBF方案和WC-BF方案下，系统保密总速率随迭代步数变化的情况如图5所示。

由图5可以看出，对不同的中继节点数目，算法在经过5次左右的迭代后，保密总速率都会达到一个趋于稳定的值。以上结果验证了本文算法的收敛性，还表明了算法的收敛速度基本不受中继节点数目的影响。

图5 交替优化算法的迭代速度Fig. 5 Iterative speed of alternate optimization algorithm

4 结语

本文研究了鲁棒双向中继系统中的物理层安全传输问题。考虑到实际中窃听节点的CSI并不能精确已知，本文在窃听方有一定信道估计偏差的假设下，提出一种最差情况下能够使系统保密速率最大化的鲁棒性优化方案，并采用交替优化算法对问题求解。仿真结果表明，随着信道估计偏差的增大，系统的保密速率在减小，当信道的估计偏差增大到一定范围后，系统将不能实现保密通信；也可以看出，WC-ANBF方案具有优于WC-BF方案的性能。仿真结果从另一个侧面既表明了采用波束形成和人工噪声联合优化方案的有效性，也表明了在通信中信道估计准确度的重要性。仿真结果同时分析和验证了所提方案的收敛性。