基于节点分类方法的力敏传感器内部导电网络的动态研究

谭宇翔，陶青川，赵凤媛

（四川大学信息工程学院，成都610065）

0 引言

随着互联网和人工智能的不断发展，越来越多的电子穿戴设备和传感硬件进入我们的生活，传感器作为生物活动与机械信号结合的桥梁，显得愈发重要。由于天然橡胶拥有良好的机械性能，具有防静电、防水、柔韧性强等优点，被视作制造力敏传感器的理想材料。橡胶力敏传感器也成为了今年国内外硬件识别领域的研究重点。橡胶力敏传感器的力敏感度是由其内部的网络结构决定的。因此，分析影响传感器力敏感度的导电网络结构的原因是优化和发展传感器的根本途径。由于研究热点的快速更迭，对橡胶力敏传感器的研究仅限于灵敏度测量和制造过程，对影响力敏传感器的灵敏度的内部成因没有得到详细的研究。本文在已有的橡胶力敏传感器的研究成果基础上，提出使用数值模拟的方法对传感器内部的导电网络动态变化机理进行研究。针对内部导电网络结构变化的研究中，目前大多只能通过扫描电子显微镜（SEM）进行观测，不能对导电网络的结构变化进行量化，这也是限制传感器内部网络结构研究的原因之一。根据以上的问题，我们采取了客观的模拟方法，从填料分布到传感器受力后的形变方式上皆通过数学公式来进行量化。本文的研究基于蒙特卡洛数值模拟方法来对传感器进行建模，在此基础上进一步模拟传感器的形变过程，通过记录形变过程中的物理量达到分析的目的。如图1（a）所示，碳纳米管随机的分布于一个有限的三维空间当中，符合碳纳米管的随机分布规律。碳纳米管与碳纳米管浓度较高时会完整的通路，这时通电传感器会有电流通过。如图1（b）所示，L1 因为在电极板之间成功搭建通路所以可以导电，但是L2 则因为没有形成完整通路而导致不通电。传感器的电阻变化是衡量传感器灵敏度的前提。传感器受力过程中传感器会产生形变，从而导致传感器内部的网络结构发生变化，从而影响传感器的电阻。

图1

1 建模以及电阻计算原理

良好的3D 模型的构建能够有效模拟传感器内部的网络结构，针对力敏传感器的制造过程原理以及传感器的形成机理，我们采用了蒙特卡洛随机生成方法来生成3D 模型，对碳纳米管在天然橡胶中的分布进行了有效模拟。在此基础上，根据已经产生的导电网络结构，通过基尔霍夫电流定律和隧道效应模型构建大型稀疏多元一次方程组来求解传感器的电阻。

1.1 3D模型的构建

碳纳米管的建模方式是将其看作一个圆柱体，且圆柱体的两端是半圆球，如图2 所示。这是一个可穿透的圆柱体。这样的构建方法称为硬核模型。碳纳米管圆柱体的半径代表软核模型的厚度h。

图2

碳纳米管作为传感器中唯一的导电物质，它的分布特性直接影响传感器的性质。由于在橡胶力敏传感器的设计中，天然橡胶从橡胶树中提取之后，融化成了液体，碳纳米碳管以及其他配料加入到天然橡胶溶液当中需要不断搅拌，以达到均匀分布的目的。因此，碳纳米管在三维空间中的模拟也必须要服从随机分布的原则。为了达到随机分布的目的，我们使用了蒙特卡洛随机生成方法[1]。具体的实现机理如下：

S=（Sx，Sy，Sz）就是软核模型的起始点，这个起始点随机产生于三维空间之内，Lx、Ly、Lz分别表示有限空间的长宽高。在起始点产生之后，碳纳米管的空间角度也应该是随机产生的。因此引入了随机单位向量u→：

其中，ux、uy、uz分别代表一个0 到1 范围内的随机数，且u→的模为1。所以碳纳米管模型的终止点也就可以表示为：

L 代表碳纳米管的长度。这样在空间中的碳纳米管模型就构建成功了。碳纳米管间的距离可以通过空间的线段间距离公式求得[2]。

1.2 隧穿效应原理

纳米级颗粒这种微观粒子存在波粒二象性。由于范德华力的存在，纳米级导电颗粒不会存在完全的接触，导电颗粒间必然间隔着适当的范德华距离。有别于传统渗流理论，隧道效应[3]的原理是纳米级导电颗粒的导电原理不是日常认知中的接触才能导电，而是在一定的范德华距离（隧道距离）范围内产生电子跃迁，即不接触也能导电。在一定的范德华距离范围内，导电颗粒之间存在的电阻称之为结电阻，如图3 所示。结电阻可以通过以下公式进行描述[4]：

图3

其中，P表示普朗克常数，d表示碳纳米管之间的距离，A是碳纳米管的截面积，e是电荷量，m是电子质量，λ是势垒高度。除了导电颗粒间的结电阻，导电颗粒本身也存在自身的电阻，称之为段电阻。段电阻可以通过以下公式进行描述：

其中，F表示碳纳米管上产生电子跃迁不同部位之间的距离，σCNT表示碳纳米管的电导率，D2表示的是碳纳米管直径的平方。

1.3 传感器电阻求解

传感器内部的导电颗粒上，发生电子跃迁的部位称之为节点。在碳纳米管上，节点与节点之间存在段电阻，在导电颗粒之间，节点与位于另一个导电颗粒上的节点之间存在结电阻。正是由于这些节点间的电阻关系和连接关系，构成了一个大型的节点拓扑结构，将导电网络量化成了节点分布图，如图4 所示。参与导电的节点和通路通过BFS 算法寻找而得[1]。为了能够求解复杂导电网络的电阻，我们通过基尔霍夫电流定律构造了大型节点方程组如下式[6]：

图4

其中，gi，j表示第i个节点与第j个节点之间的电导率，∑gi,…代表第i个节点与网络内其他所有节点间的电导率之和。ui表示第i个节点的电压值。由于不与i节点直接相连的其他节点的电导率视作0，即无穷小，因此这个矩阵是一个典型的大型稀疏矩阵，方程的个数等于节点的数量。为了求解大型方程组，我们使用的求解方法是广义最小残差法（GMRES），这是一种典型的迭代算法。

1.4 力敏传感器受力的形变机理

传感器的受力形变由基底产生直接影响，也就是天然橡胶。天然橡胶的优点在于它拥有极强的韧性和可恢复能力，在产生较大形变时自我恢复的性能良好。通过对基底的分析和测量，在受力方向位于笛卡尔坐标系x轴方向的基础上，基底的形变规则如下：

其中，Lx、Ly、Lz分别代表的是传感器的长宽高，ε是拉伸比，v 是天然橡胶的泊松比。

传感器的外部基底形变规则知晓的情况下，传感器内部的导电填料颗粒的形变前后的空间位置变化规则如下[5]：

其中，ε是拉伸比，v是橡胶的泊松比，（x，y，z）代表碳纳米管中心的三维空间坐标，θ表示碳纳米管与x轴方向的夹角。形变之后的空间结构得到确认之后，传感器形变后的电阻就可以通过方程组的计算过程得到。

2 实验结果与分析

通过模拟体积浓度为0.25%、0.375%、0.5%的碳纳米管制成的橡胶力敏传感器，为了验证结果的有效性和精确性，我们在进行模拟的同时，制作了对应的传感器。如图5 所示，碳纳米管浓度越小，灵敏度越高。通过与真实实验结果相比较，图中的数据证实我们的模拟方法非常精确。为了能够探究影响传感器灵敏度的根本原因，我们对导电颗粒的不同的连接状态的变化进行分类。如图6（a）所示，这是一类受力过程中颗粒之间的距离由小于隧穿距离（T）变化成大于隧穿距离从而导致连接断开的节点，称之为D 类节点。图6（b）中展示的是一类受力过程距离从大于隧穿距离到小于隧穿距离从而产生新连接的节点，称之为A 类节点。

图5

图6

2.1 传感器受力过程中两类节点的数量变化

众所周知，在传感器受力过程中，参与导电的导电颗粒数量会减少，但是具体的减少机理并没有得到有效的解释。我们发现，传感器受力过程中，不仅仅是单纯的节点断开导致参与导电颗粒的数量减少，而是因为产生新连接节点（A 类节点）的数量少于断开的节点（D 类节点）的数量，因此使得传感器整体的导电节点数量呈现减少的趋势，实验的节点结果如图7 所示。

图7

2.2 传感器受力过程中两类节点的电压值变化

通过对三个浓度的传感器的节点类别数量进行分析我们发现，在任意的拉伸比下，A 类节点的数量都会小于D 类节点的数量，随着拉伸比逐渐增大，D 类节点与A 类节点数量的差距就会越来越大。但是拉伸过程中A 类节点的数量呈现均匀的趋势，数值大小几乎不变。

在对两类节点的数量进行分析之后，通过求得的节点电压值我们对两类节点的电压值进行分析，如图8所示。我们发现在传感器受力过程中，传感器中新增的节点电压的电压数值总是逐渐增大，而断开节点的节点电压值呈现恒定。

图8

2.3 实验结果的分析

通过对节点分类进行分析后我们发现，传感器受力过程中，传感器灵敏度可以通过两类节点的相对变化来表征。两类节点电压的变化趋势和节点的数量变化趋势呈现出了整体不变，相对变化的情形。不论总体的节点数量大小，越灵敏的传感器D 类节点与A 类节点的数量差就越大。节点数量即参与导电的导电颗粒数量的变化是衡量传感器灵敏度的标准之一。

3 结语

本文在前人对橡胶力敏传感器的研究和数值模拟的基础上，基于节点分类的方法探讨了衡量传感器灵敏度的结构上的标准。通过MATLAB 2016b 平台上建立了3D 模型，并通过基尔霍夫电流定律求解出了传感器的电阻。与真实实验结果进行对照我们发现我们的模拟结果与真实结果十分接近，说明我们的模拟方法和计算方法是有效且精确的。在此基础上通过分析，寻找到了衡量传感器灵敏度的结构化原因。结果表明，越灵敏的传感器，在单位拉伸比下参与导电的导电颗粒数量减少得越多，减少的数量是由A 类节点和D类节点的差值决定的。