Python语言在高等数学积分教学中的应用探析

宋婷婷，王琳琳

（长春工程学院，吉林长春 130000)

0 引言

高等数学是理工科类院校的基础课程之一，是学习其他专业课的基础课[1]。高等数学对于很多理工科学生来说，那是一棵高高的“大树”。一方面，教师讲课形式比较单一，以讲授法为主，一笔一板，学生被动学习，不能激起学生的学习兴趣。另一方面，高等数学内容相对较多，主要包括微分学、积分学。对于学生而言，因为高中对微分学涉猎较多，所以学生易于理解，乐于学习。而高中数学虽对积分也有学习，但比较基础。又由于积分学在高等数学整个教学的靠后部分，且内容较多，包括定积分、反常积分、重积分、曲线积分、曲面积分等，导致学生学习时，感觉很难理解，所以很多学生产生放弃学习该部分的想法。介于学生对积分学畏难的想法，教师讲课形式单一等问题，教师需要调整教学思路、教学方法，使用多媒体手段辅助教学，借助Python 的可视化功能，可以把复杂抽象的积分变化过程以及计算结果准确地模拟出来，让学生可以更直观地理解积分过程，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效果。

1 Python语言简介

Python语言由荷兰数学和计算机科学研究学会的吉多·范罗苏姆于1990年代初设计。Python语言是一种面向对象、解释型、动态型的编程语言。与其他语言相比较，Python语言具有如下特点：第一，简单易学，是一种代表简单思想的语言，优势在于，使用时，专注于解决问题，而不必注重语言本身语法和结构。第二，面向对象，Python即支持面向过程编程，也支持面向对象编程。面向过程，是以过程为中心，思考出每一个步骤，用函数逐一实现。面向对象，是通过定义出函数与数据的名称，把事物对象化，方便使用者再次调用。Python的简洁性使其能够非常方便快捷地实现面向对象和面向过程编程。第三，免费开源，学习者可以自由地发布软件，下载、复制、阅读、修改源代码，抽取部分功能用于其他软件中。第四，可移植性，Python语言编写的程序可以不加修改地在任何平台上运行，不受限制，即兼容众多平台。第五，类库丰富，Python解释器拥有丰富的内置类和函数库，同时通过开源社区又可以找到覆盖各个应用领域的第三方函数库，使学习者能够借助函数库实现某些复杂的功能[2]。基于上述特点，优选Python作为辅助教学软件。

2 Python语言在积分运算中的应用

对于积分的学习，其一，学生缺乏绘图能力，空间想象力，不能绘制出函数图像，导致学生在进行积分运算时，找不到积分区域，进而不能确定积分限。其二，学生对积分的计算方法，积分公式不熟悉，导致学生计算不出结果，认为积分运算太难。基于上述问题，借助Python的可视化功能，快速高效地计算出结果。

2.1 Python语言在定积分运算中的应用

定积分是后面计算其他积分的基础，对于重积分，曲线积分，曲面积分，其计算最终都转化为定积分的计算。定积分计算时，曲线的形成过程仅仅通过教师讲解，板书绘制，学生不能很好理解，利用Python动态演示该过程。下面以心形线为例，利用定积分计算心形线的长度和所围图形的面积[3]。

例1 求心形线r=1+cosθ的全长及所围图形面积。

程序代码如下：

程序执行结果：

图1 心形线

根据心形线图像，快速准确给出θ的取值范围[0,2π ]。

程序执行结果：

程序执行结果：

2.2 Python语言在反常积分运算中的应用

反常积分通常包含两大类型，第一类为积分区间为无穷的反常积分，第二类为无界函数的反常积分[4]。以积分区间为无穷的反常积分为例。

因为该反常积分的被积函数的原函数不能直接用初等函数表示，所以对该积分直接利用牛顿-莱布尼茨公式计算不出来，但可以考虑利用二重积分计算该反常积分。利用二重积分其中D是由圆心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域，其计算结果求解反常积分

虽然通过二重积分可以计算出反常积分，但二重积分属于高等数学下册的内容，仅在学习反常积分时，该问题还不能够被解决。利用Python编程语言的辅助，可以快速计算出结果，利用绘图功能，画出被积函数的图像，帮助学生更好地理解反常积分。

程序代码如下：

程序执行结果：

图2 f(x)=e^(-x^2)图像

积分结果：0.8862269254527579。

从图像上看，该反常积分表示向右无限延伸的图形面积，而积分结果是一有限值。

2.3 Python语言在重积分计算中的应用

重积分的计算对于学生而言，是积分中的难点之一。一方面，找积分区域困难，另一方面，积分的计算也是问题点，导致学生对该部分的学习失去兴趣。通过Python语言绘制出积分区域的图形，让学生直观看到图形，快速找到积分区域，便于学生对二重积分、三重积分的理解。

程序代码如下：

程序执行结果：

图3 给出二重积分的积分区域，进而在计算二重积分时，快速给出积分变量的取值范围，x的取值范围[0，1]，y的取值范围[ -x,x]。

图3 积分区域

程序执行结果：

积分结果：0.5235987755983463

三重积分相较于二重积分，是学生更加难理解的知识点。一方面，需要绘制空间图形，另一方面，需要将三重积分降重，转化为二重积分或定积。教师可以利用Python 强大的绘图功能，将图形展示给学生，便于学生观察，有利于找到积分区域。利用其计算功能，通过简单的几行代码就可以计算出结果，虽然只有几行代码，但其中蕴含了三重积分的积分思路。让学生意识到Python语言给数学学习带来的方便，培养学生对编程语言的兴趣。

程序代码如下：

程序执行结果：

图4 给出空间闭区域，同时给出在xoy平面上投影区域，即四分之一圆，圆的方程x2+y2≤1，进而确定积分变量的取值范围，x的取值范围[0，1]，y的取值范围的取值范围

图4 空间闭区域

程序执行结果：

积分结果：0.19634954084936213

3 结论

Python 的可视化功能有助于学生对高等数学知识点的理解，它像调味剂一样，给无聊乏味的数学课堂，增添一些趣味性，促进学生对积分知识的学习和理解。同时，让学生体验到编程语言给高等数学带来的优势，高等数学的思维也为程序的编写提供了理论基础。只会编程语言而没有思维支撑，那么编程语言就无用武之地。