Mathematica软件在高职医用高等数学课程教学中的应用探析

许朋

（皖北卫生职业学院，安徽 宿州 234000）

0 引言

高等数学是高职院校许多专业开设的重要基础课程之一，是对学生的数学思想、方法和能力进行培养和提高的关键课程，为后继专业课程的学习打下良好的基础。笔者长期从事高职数学的教学工作，深刻感受到高职生数学基础普遍薄弱和学习积极性不高。部分学生基础不牢固，上课听不懂部分知识点，不积极寻求方法解决问题，甚至课堂上出现玩手机、聊天、睡觉等不良现象。医用高等数学是医学类专业的基础课程之一，具有概念多、推理强、计算复杂等特点。这些特点给学生的学习带来一定的困难，他们普遍反映医用高等数学比较难学。许多教学研究成果表明：数学软件与传统课堂教学的恰当融合是提高学生学习兴趣和理解能力的一条行之有效的途径。一方面，数学软件可以通过图形、动画、数值等方式展现数学深奥的理论和加强学生对抽象知识的理解。另一方面，为了培养学生的创新应用能力，教师可以设计数学课程的实验教学环节。学生在教师的指导下分析问题和建立模型，进一步提高自己的思考和实践能力。同时在使用数学软件解决问题的过程中可以体会到知识的力量，获得学习带来的成就感，自信和克服困难的毅力得到长期的保持。借助现代信息技术构建数学情景，展示定理和公式的内涵，提高数学学习兴趣和应用数学知识解决问题，是当前数学教学改革的重要方向之一。Mathematica软件是美国Wolfram公司开发的专业数学软件，主要功能有数值计算、交互演示、图形处理等。它有很多优点：第一，Mathematica 有与数学教材基本相同的数学符号输入界面，学生很容易快速掌握；第二，自定义函数的写法和各类函数的输入和输出与基本的数学解题顺序类似，简单易懂；第三，绘制的三维图形可以随意地调整观察视角并且对图形可以进行编辑，有利于学生对空间图形的形象认识；第四，符号运算功能强大，容易拓展。因此，将Mathematica 软件引入数学教学中具有良好的操作性。通过它可将复杂的函数关系用图形、表格、动画等形式展现出来，便于将抽象的问题可视化。本文对Mathematica 软件[1-7]在高职医用高等数学课程教学中的一些应用进行了探索，通过医用高等数学[8]课程中的一些例子说明数学计算软件融入课堂教学，能够提高学生对有关概念、定理和计算的理解和应用，进而达到更好的教学效果。

1 三角函数的图形

讲授三角函数时，学生已经长时间没有接触数学教材，对基本的三角函数性质比较陌生。这时可以借助Mathematica 软件，用简单的程序给出相应的图形。例1，给出基本三角函数的图形。输入Manipulate[Plot[f[x],{x,-2Pi,2Pi},{f,{sin,cos,tan,cot}}]，运行后得到图1。点击不同的三角函数标签，程序自动给出相应的图形，方便学生快速理解。

图1 三角函数的图形

2 原函数和反函数

原函数与反函数在坐标平面内的图形是同一条曲线，但为了研究方便，反函数习惯上仍用x作为自变量，y作为因变量。这样在同一坐标平面内，原函数与反函数的图形就关于直线y=x 对称。以正弦函数y=sinx为例，利用Mathematica软件绘制正弦和反正弦函数，让学生直观了解它们之间的关系，提高对概念的理解。例2，在同一坐标中画出y=sin x，y=x，y=arcsin x的图形，如图2。图形很清晰地表明正弦与反正弦函数关于y=x直线对称。

图2 正弦与反正弦函数的图形

3 函数的极限

研究实际问题时，除了解有关函数在变化过程中如何取值之外，往往需要弄清楚当自变量按一定的趋势变化时，函数的变化趋势如何，这就是极限概念所要描述和解答的问题。极限是研究函数连续性、可导性和可积性的理论基础，它是贯穿微积分的一条主线。学生学习两个重要极限时常常感到比较抽象，可以借助Mathematica 画出函数的图像帮助他们理解。例3，通过图形观察下列函数的极限：

为了观察x→0 时函数的极限，作x=0 附近的图形。输入Plot[sin[x]/x,{x,-1,1}]，运行得到图形3（1）。从图3（1）可知x→0 时函数的极限值等于1。重要极限除了基本形式外还有一些变形，如（2）式。根据有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小的关系可以说明此极限结果为0，但是难以直观理解。输入Plot[x*sin[1/x],{-10-5,10-5}]，运行得到图3（2）。从图中可知函数x*sin(1/x)当x→0时有微小的变化，但是极限值等于0。（3）式的极限教材直接给出结论，学生难以理解。输入Plot[(1+1/x)x,{x,-106,106}]运行得到图3（3）。可以看出当x 变得非常大时，函数极限值等于e。

图3 不同函数极限的图形

4 空间图形

学生对空间曲线和曲面等图形的理解往往比较吃力，影响他们对问题的思考，学习积极性不高。Mathematica软件可以绘制三维图形，把抽象的表达式变成易于理解的图形，有效地加强立体感知，有利于培养学生的空间想象能力。例4，画出函数f(x,y)=x2-y2的图形。输入Plot3D[x2-y2,{x,-3,3},{y,-3,3}]，结果如图4所示。拖动鼠标能够从不同角度对三维图形进行观察，同时可以利用绘图工具对图形进行添加文本、获取坐标、填充颜色等操作。

图4 f(x,y)=x2-y2的图形

例5，画出函数f(z)=x4-x2,x∈[-1,1]绕z 轴旋转形成的图形。输入RevolutionPlot3D[x4-x2,{x,-1,1}]，运行得到图5。

图5 f(x)=x4-x2绕z轴旋转形成的图形

5 定积分演示

借助直观的几何图形，可以使抽象的数学公式与直观的图形之间建立有效的联系，特别是动态演示的方式，形象地展示了抽象概念的逻辑演变过程，将抽象的理论具体化，增强学生对所学知识的理解和记忆。定积分是积分学的一个重要概念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积、变力做功等都可以归结为定积分问题。例6，求由曲线y=x3,x=0,x=1,y=0围成的平面图形的面积。把区间[0,1]划分为若干个小区间，所求的图形分割成若干个以小区间为底的小曲边梯形，由于y=x3在[0,1]连续，而小区间长度很小，所以小曲边梯形的高度变化很小，因此图形面积可由小区间上任一点的函数值为高的小矩形面积近似代替。这些小矩形面积之和作为图形面积的近似值。显然，区间[0,1]分割的越细，所得到的面积近似程度就越好。当每个小区间的长度趋于零时，其极限值就是图形面积的精确值。为了让学生很好地理解“分割、近似、求和、取极限”过程，利用Mathematica 的动画功能展示。动画播放分割后小矩形的个数和对应的图形近似面积（绿色部分）与精确面积的差值。随着小矩形数目的增加，求和的面积逐渐等于精确的面积，如图6。

图6 定积分求图形面积的动画演示

6 罗尔中值定理

罗尔中值定理：如果函数y=f(x)满足在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，在区间端点的函数值相等即f(a)=f(b)，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ（a＜ξ＜b）使得f'(ξ)= 0,(a＜ξ＜b)。例7，验证罗尔中值定理对函数f(x)=4x3-5x2+x-2 在区间[0,1]上的正确性。输入f[x_]:=4*x3-5*x2+x-2;Plot[f[x],{x,0,1}]运行后得到图7。从图中看出函数（1）在闭区间[0,1]上连续，（2）在开区间(0,1)上可导，（3）f(1)=f(0)=-2。根据定理至少存在一点ξ 使得f’(ξ)=0。图形表明存在两个x 的值满足f’(x1)=f’(x2)=0,x1,x2∈(0,1)。学生通过图形可以很直观的理解定理的含义。此外可以用D[f[x],x]命令求出函数的导数f’[x]，再利用Solve[f’[x]==0,x]命令解出导数为零时对应的x值。

图7 f(x)=4x3-5x2+x-2的图形

7 拟合函数

高等数学课不仅增加学生数学知识，也要培养学生的逻辑思维能力，使学生能够运用数学方法和思维，分析和解决生活中的实际问题。在各种情境中进行分析和建模，深化对问题的认识，有利于充分发挥学生的主体作用和激发学习兴趣。在科学研究和实际工作中，常常要对一些有关联的数据进行处理，找到能反映数据关系的函数表达式。Mathematica 里面的数据拟合命令，使得数据处理非常方便，能增强学习数学的兴趣。例8，在某化学反应里由实验得到生物的浓度y 与时间x（分钟）的关系如下，求浓度与时间关系的拟合函数。

表1 浓度与时间的关系

在直角坐标系中做出散点图，大致判断拟合函数的类型，采用x 的多项式对数据点进行拟合。程序如下：

x1={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}};

x2=ListPlot[x1]

x3=Fit[x1,Table[x^n,{n,0,5}],x]

x4=Plot[x3,{x,0,16},PlotStyle-＞{RGBColor[0,1,0]}]Show[x2,x4]

运行后得到拟合函数0.389904 +4.43705 x-0.883812x^2+0.0897161x^3-0.00444042x^4+0.0000848962 x^5，数据散点图和拟合曲线如图8 所示，图形表明两者吻合得非常好。

图8 浓度与时间关系的拟合

8 二元函数的极值

函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y0）的点（x,y），如果都有f(x,y)＜f（x0,y0）或f(x,y)＞f（x0,y0）,则称函数z=f(x,y)在点（x0,y0）取得极大值或极小值f（x0,y0）[8]93。定理1（极值存在的必要条件）如果函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处取得极值，且函数在该点的一阶偏导数存在，那么fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0。定理2（极值存在的充分条件）设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的某邻域内有一阶与二阶连续偏导数，又设fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0，记A=fxx（x0,y0），B=fxy（x0,y0），C=fyy（x0,y0），那么（1）如果B2-AC＜0,则函数f(x,y)在点（x0,y0）处有极值，且当A＜0 时f（x0,y0）是极大值，当A＞0 时f（x0,y0）是极小值；（2）如果B2-AC＞0,则点（x0,y0）不是极值点；（3）如果B2-AC=0,则点（x0,y0）是否为极值点不能断定，需另作讨论。下面通过实例说明Mathematica软件求解二元函数极值。例9,求函数z=f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值[8]94。函数定义和求解偏导数的程序f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^3-9*x;D[f[x,y],x] D[f[x,y],y]。得到fx（x,y）=3x2+6x-9,fy（x,y）=-3y2+6y。接着求fx（x,y）=0 与fy（x,y）=0 联立的方程组。输入Solve[{3*x^2+6*x-9==0,-3*y^2+6*y==0},{x,y}]运算得到结果(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)。再次利用求导命令对一阶导数求导，可得A=6x+6，B=0,C=-6y+6。分别计算每个结果对应的A、B、C值，如表2。可见函数有一个极小值和一个极大值。为了具体观察结果，画出函数图形Plot3D[x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x,{x,-5,5},{y,-5,5}]，如图9。从图形可知函数存在极小值和极大值。

表2 极值计算

图9 z=f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的图形

9 函数的渐近线

函数的渐近线[8]46有三种：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。若f(x) =A或(x) =A，则直线y=A 是f(x)的水平渐近线。若f(x) =∞或f(x) =∞，则直线x=x0是f(x)的垂直渐近线。如果函数存在斜渐近线y=ax+b，则，b=(f(x) -ax)。Mathematica 可以给出渐近线的方程并能以图形方式展现，方便学生理解。例10，求函数的渐近线并画图。函数存在x=3的垂直渐近线。输入f[x_]:=(x+2)^3/(x-3)^2;a=Limit[f[x]/x,x-＞[Infinity]]b=Limit[f[x]-a*x,x-＞[Infinity]]g[x_]:=a*x+b;Plot[{f[x],g[x]},{x,-30,30}]得到函数的斜渐近线y=x+12,函数和斜渐近线的图形如图10。

图10 函数f(x)=(x+2)3/(x-3)2的斜渐近线

10 多元函数的条件极值

求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0 下的极值点步骤如下：（1）用常数λ（称为拉格朗日乘数）乘以g(x,y,z)并与f(x,y,z)相加，得到函数F(x,y,z)（称为拉格朗日函数）F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)。（2）分别求F(x,y,z)对x、y、z的偏导数，并解下列方程组：

得到（x0,y0,z0,λ0）,其中点（x0,y0,z0）称为条件驻点。（3）根据情况判别（x0,y0,z0）是否为条件极值点。例11，求表面积为a2而体积最大的长方体体积。设长方体的三条边为x、y、z，问题变为在条件2xy+2yz+2xz-a2=0下，求函数V=xyz（x＞0,y＞0,z＞0）的最大值。作拉格朗日函数F(x,y,z)=xyz+λ（2xy+2yz+2xz-a2）。分别求其对x、y、z的偏导数并解下列方程组：

输入Solve[{y*z+2*[Lambda]*(y+z) ==0, x*z+2*[Lambda]*(x+z)==0,x*y+2*[Lambda]*(y+x)==0,2*x*y+2*y*z+2*z*x-a^2==0},{x,y,z,[Lambda]}]，运行得到x=y=z=a/。由问题本身可知最大值存在。所以表面积a2的长方体中，边长为a的正方体的体积最大，最大体积a3/36。

11 矩阵运算

线性代数是医用高等数学中一个重要的知识点，它是生活中线性模型问题研究与求解的重要工具，有着广泛的应用。矩阵的计算比较烦锁，特别是求矩阵的乘法和矩阵的逆。如果运用矩阵的原理来进行笔算，需要花费大量的时间。利用Mathematica 强大的计算功能可以减少学生在计算过程中产生的浮躁情绪，以便将大量的时间用在模型的建立和思考上。例12，已知求AB,BA,ABT及矩阵B的逆。

输入

A={{1,1,1},{1,1,-1},{1,-1,1}};B={{1,2,3},{-1,-2,4},{0,5,1}};M=Transpose[B];MatrixForm[A.B]MatrixForm[B.A]MatrixForm[A.M]MatrixForm[Inverse[B]]得到结果

从结果看出矩阵乘积一般不满足交换律AB≠BA。

12 微分方程求解

科学研究中经常需要根据实际问题建立变量与导数间的关系式。这样就会建立含有未知函数导数的方程称为微分方程。例13，求微分方程y'=y/x+x2满足初始条件y(1)=1 的解。输入s=DSolve[{y'[x]==y[x]/x+x^2,y[1]==1},y[x],x]Plot[y[x]/.s,{x,-6,6}]得到关系式y=1/2(x+x3)和函数在（-6,6）范围内的图11。一些复杂的方程也可以采用NDSolve[]得到微分方程的数值解。

图11 y=1/2(x+x3)的图形

13 二重积分的计算

图12 y=x2与x=y2围成的图形

输入Solve[{y==x^2,y==Sqrt[x]},{x,y}]得到两条曲线的交点（0,0），（1,1）。将D 视为x 型区域，先积y 后积x。用平行于y轴的直线从下到上穿过区域D，首先穿过曲线y=x2，其次穿过曲线y=。输入二重积分表达式Integrate[x^2+y^2,{x,0,1},{y,x^2,Sqrt[x]}]，运行得到结果6/35。

14 结论

上面一些实例说明Mathematica 软件可以快速解决医用高等数学中的一些问题。医用高等数学教学中引入Mathematica 软件进行计算机辅助教学，能够充分利用软件的计算和绘图功能，加强教学的简便性和直观性，使得学生对抽象的概念能够很好地理解，有助于提高课堂教学效果和培养学生利用软件探究问题的能力。教学实践表明在医用高等数学课程教学中充分利用辅助软件是一种有效的教学方法，能够激发学生的学习兴趣，活跃课堂氛围，提高教学质量。