基于元胞自动机的传染病传播模型研究

吴成来

摘要：文章讨论了一种基于元胞自动机的建模方法，并在该模型的基础上模拟了流感病毒传播与控制这一复杂的过程。模拟结果与现实生活中流感病毒的宏观特征的结果大致相同，对传染病的傳播与控制有着一定的参考意义。

关键词：元胞自动机；传染病；模型；模拟

中图分类号：TP311 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）09-0185-02

传染病是由病原体引起的一种具有传染性的疾病，它主要通过人与人之间的交流、接触、联系来传播，并且随着时间、外界干预程度的变化而变化，因此对传染病传播的描述和控制是一个十分复杂的研究课题。

20世纪40年代初冯·诺依曼提出了元胞自动机的概念，20世纪80年代S.Wolfram对元胞自动机进行了全面研究。由于元胞自动机具有时间、空间和状态都离散的特点，并且能够以局部规则同步演化来反映整个系统的复杂变化，这与传染病的传播机制十分类似，因此元胞自动机成为研究传染病传播的一个重要方法。

1 模型

元胞自动机可以用一个四元组[A=（Ld，S，N，f）]，[A]表示元胞自动机系统，[Ld]表示一个[d]维的网格空间，这里取[d=2]，每一个网格单元就是一个元胞，[S]是离散集合，表示各个元胞的状态，[N]表示元胞的邻居集合，[f]是局部演化规则，就是根据[t]时刻某个元胞所有邻居的状态组合确定[t+1]时刻该元胞的状态值。本文采用的是Moore邻居，如图1所示。

根据传染病在人群中传播的特点，将传染病传播中的人群分为三类：易感染者（S）、染病者（I）、免疫者（已经治愈或死亡）（R）。从一轮病毒开始爆发，到治愈，再到新一轮的病毒开始肆虐，其状态可以用图2表示。

考虑一个2维的网格，每一个小格子[（i，j）]都有一个人，[Sti，j]表示[t]时刻[（i，j）]处人的状态。根据上面的叙述，[Sti，j]有三个取值。[Sti，j=0]表示个体处于易感染状态，还没有被病毒传染，不能传染病毒给和他接触的人群，但是对病毒没有免疫力；[Sti，j=1]表示个体处于染病状态，已经感染了病毒，能把病毒传染给和他接触的易感染者，自身也在与病毒的对抗中逐渐产生抗体，到达一定时间后会自己治愈；[Sti，j=2]表示个体已被治愈或者已经死亡，不能把病毒传染给易感染者，自身的免疫力随着时间的流逝逐渐变差。

对每个元胞引入发病持续时间[t（Sti，j）]和免疫力持续时间[T（Sti，j）]，[tmax，Tmax]分别表示发病时间和免疫力持续时间的最大值。

演化规则：对要模拟的在二维空间进行均匀的网格划分，每一个小格子就是一个元胞，把所有元胞初始状态设为[Sti，j=0]，即所有元胞都认为是易感染者，此时发病持续时间[t（Sti，j）=0]。随机在网格中取很小比例（大概千分之一）的元胞作为感染病毒的患者，病毒感染者所在的网格初始状态设[Sti，j=1]，发病持续时间[t（Sti，j）=1]。从[t=0]时刻开始，在每个时间步长对所有元胞进行扫描，并以下面的规则进行状态更新。

（1）当[Sti，j=0]时，此时元胞不能传染被人，但是很容易被别人感染。考虑[（i，j）]处元胞的被它周围邻居传染的概率[pti，j]。该处的元胞以概率[pti，j]被传染，状态由[Sti，j=0]变为[Sti，j=1]，发病持续时间变为[t（Sti，j）=t（Sti，j）+1]。其中[pti，j]的计算公式[2]：

[pti，j=k*（Cti，j-1+Cti，j+1+Cti-1，j+Cti+1，j）4+l*（Cti-1，j-1+Cti+1，j+1+Cti-1，j+1+Cti+1，j-1）4]

其中[k]表示[（i，j）]处元胞的上、下、左、右邻居对它的影响因子，[l]表示[（i，j）]处元胞的左上、右下、左下、右上邻居对它的影响因子，且[k>l]。

（2）当[Sti，j=1]时，考虑元胞的发病持续时间，若[t（Sti，j）tmax]，此时元胞已经自我治愈，状态由[Sti，j=1]变为[Sti，j=2]，染病时间变为[t（Sti，j）=0]，免疫力持续时间[T（Sti，j）=T（Sti，j）+1]。

（3）当[Sti，j=2]，考虑元胞的免疫力持续时间[T（Sti，j）]，若[T（Sti，j）>Tmax]，此时元胞的免疫力随着时间的流逝逐渐消失，变为易感染者，元胞状态由[Sti，j=2]变为[Sti，j=0]。若[T（Sti，j）

基于以上的演化规则，网格空间中的所有元胞在每一仿真步都同步更新，局部的元胞相互作用的结果就是下一仿真步的初始状态。

2 仿真结果与分析

根据传染病传播的人群状态，将元胞演化规则应用到半径为1的Moore邻居，对传染病传播进行仿真模拟。设定元胞空间为[L×L=100×100]的网格，元胞初始被感染病毒的概率为0.0018。采用2009年6月16日至7月15日发生在中国大陆的甲型H1N1流感病毒数据[6]进行仿真模拟。假设[k=0.5，l=0.2]，发病持续时间为7天，康复者的免疫力持续时间为365天。图3为40天内的模拟仿真数据，仿真结果与实际数据基本吻合。

从图3 可以看到，病毒爆发初期，流感病毒传播速度比较快，患者人数增加迅速，到了后期流感病毒传播速度下降，患者人数开始缓慢下降。患者人数下降的原因，一是随着医疗救治的进行，患者被治愈后有免疫力不再被感染；一是到病毒传播后期，部分患者已经死亡，不会再传染给其他人群。

在现实生活中，大家一旦发现自己身体不舒服都会走进医院，向医生寻求帮助，医生会对我们进行救治。这里假设医生有特效药物，只要向医生求助，患者就会被治愈，因此就减少了发病的持续时间。保持初始参数不变，研究发病持续时间对传染病传播过程的影响。如图4所示。

从图4可以看出，当发病持续时间为[T=5]时，染病人数增加的速度比实际数据要小，而且染病人数也比实际数据要少；当发病持续时间为[T=9]时，染病人数增加的速度比实际数据要大，而且染病人数也比实际数据要多。病人发病持续时间越长，病人在活动期间接触的易感染者就会越多，导致患者累计数量增多。因此在传染爆发初期就当积极采取有效的方法对患者进行救助，或者对患者进行有效隔离，减少患者与其他人群的接触，能够对传染病的传播起到抑制作用。

3 总结

利用元胞自动机建立模型来研究传染的传播过程，可以避免传统微分方程的模型的复杂计算过程，并且比微分方程模型更加直观、清晰、明了，更便于结果分析。

参考文献：

[1] 贺明峰， 邓成瑞.基于元胞自动机的SARS传播模型[J].数学的实践与认识，2008，38（3）：41-46.

[2] 余雷， 薛慧锋， 高晓燕，等.基于元胞自动机的传染病传播模型研究[J].计算机工程与应用，2007，43（2）：196-198，237.

[3] 游爱丽， 闫萍.基于元胞自动机的甲型H1N1流感病毒的模型[J].新疆大学学报（自然科学版）， 2010，27（1）：56-59.

[4] 郑三强， 韩晓卓.多因素制约下的SIR传染病模型的元胞自动机仿真模型研究[J].广东工业大学学报， 2018，35（5）：51-59.

[5] 李学伟，吴今培，李雪岩.实用元胞自动机导论[M].北京：北京交通大学出版社，2013.

【通联编辑：光文玲】