布尔函数Nega—Hadamard变换的若干性质

童玉珂 陈涛 卓泽朋

摘要：基于有限域和代数理论，研究并证明了布尔函数Nega-Hadamard变换的一些性质，给出一些重要结果。这对今后Negabent函数的构造、性质研究和推广十分有必要。

关键词：布尔函数；Nega-Hadamard变换；性质；Negabent函数

中图分类号：TN 918.1 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2019）06-0209-03

Some Properties on Nega-Hadamard Transform of Boolean Functions

TONG Yu-ke，CHEN Tao，ZHUO Ze-peng

（School of Mathematical Science， Huaibei Normal University， Huaibei 235000， China）

Abstract： Based on finite fields and algebraic theory， this paper researched and proved some properties about Nega-Hadamard transform of the Boolean function and some important results is given. This is necessary for the construction and nature of the Negabent function in the future.

Key words： Boolean function；Nega-Hadamard transform；properties；Negabent function

1 引言

布尔函数在密码学和通信领域中广泛应用，其密码学性质与密码体制的安全息息相关。

1976年，Rothaus[1]提出Bent函数的概念，并证明了Bent函数的非线性度达到最大，为[2n-2n2-1]，可有效抵抗线性攻击。其中Bent函数的一个重要特征是它的Walsh-Hadamard变换的绝对值都相等。据此，Riera等人在文献[2]中提出Nega-Hadamard变换的概念，为了研究一类特殊布尔函数—Negabent函数。

目前，国内外众多学者对Nega-Hadamard变换的研究已有较丰富成果[2-11]。Riera和Parker等人在文献[2-3]中提出并研究了Nega-Hadamard变换的性质，在此基础上讨论了Negabent函数变元情况以及Negabent函数的构造问题。Stanica等人在文献[4]和[5]中详细研究了Nega-Hadamard变换的特征，以及Nega-Hadamard变换与其他密码学指标之间的关系，得出一些重要结果。文献[6]中研究了Nega-Hadamard变换的若干性质并分析了一类级联函数的Nega-Hadamard变换。文献[7]中研究了Nega-Hadamard变换在布尔函数仿射子空间中的性质，并给出布尔函数Nega-Hadamard变换与其导数之间的关系，得到一些结果。文献[10]通过利用Nega-Hadamard变换研究了具有最大代数免疫阶Negabent函数的构造。本文在文献[2-11]的基础上，继续研究Nega-Hadamard变换的性质特征，并给出性质的证明。

2 预备知识

用[F2]表示元素为0和1的二元有限域，记[Bn]是[n]元布尔函数所组成的集合，即[fx∈Bn：Fn2→F2]。[F2]，[Fn2]，[Bn]上加法记作[⊕]，[⊕i]。对任意[fx∈Bn]，其代数正规型[ANF]可表示为

参考文献：

[1] Rothaus O S. On bent functions[J]. Journal of Combinatorial Theory， 1976， 20： 300-305.

[2] Riera C， Parker M G. Generalized bent criteria for Boolean function[J]. IEEE Transactions on Information Theory 2006， 52（9） ： 4142-4159.

[3] Parker M G， Pott A. On Boolean functions which are bent and negabent [C]//Proc of International Workshop on Sequences， Subse-queuces， aud Consequences. Berlin： Spinier-Ver1ag，2007： 9-23.

[4] Stanica P， Gangopadhyay S， Chaturvedi A， et al. Nega-Hadamard transform， bent and negabent Functions[C]// Proc of the 6th International Conference on Sequences and Their Applications. Berlin： Spinger-Verlag， 2010： 359-372.

[5] Stanica P S， Gangopadhyay S， Chaturvedi A， et al. Investigations on Bent and Negabent functions via the Nega-Hadamard Transform [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2012， 58（6）： 4064-4072.

[6] 卓泽朋， 崇金凤， 魏仕民. Bent-negabent函数的构造[J]. 山东大学学报：理学版， 2015， 50 （10） ： 47-58.

[7] 卓泽朋， 崇金凤， 魏仕民， 等. 布尔函数Nega-Hadamard变换研究[J]. 计算机应用研究， 2015， 32 （9） ： 2806-2808.

[8] Sarkar S. Some results on bent-negabent Boolean functions over finite fields[J]. on the symmetric negahent Boolean functions[C]//Progress in Cryptology. Berlin， Heidelberg： Springer-Velag， 2009： 136-143.

[9] Sarkar S. Characterizing negabent Boolean functions over finite fields[J]// Proc of the 7th Internatioual Conference on Sequences and Their Applications. Berlin： Spinger-Verlag， 2012： 77-78.

[10] Su wei， Pott A ， Tang Xiaohu. Characterization of negabent functions and construction of bent-negabent functions with maximum algebraic degree[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2013， 59（6）： 3387-3395.

[11] 任傳伦， 刘凤梅， 杨义先， 等. 关于negabent函数的若干讨论[J]. 通信学报， 2011， 32（8）： 179-182.

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