基于LMI的不确定混沌系统的有限时间同步

徐 彤

（天津工业大学计算机科学与软件学院，天津 300387）

0 引言

混沌是一类非线性的动力学现象，在自然界中是广泛存在的。由于混沌科学在化学反应，电力转换，生物系统，信息处理，保密通信等学科领域的广泛应用，引起了人们的强烈重视。自从上世纪九十年代年物理学家E. Ott等人提出了OGY[1]方法对混沌系统进行了有效的控制，近年来，针对混沌系统的研究已经开始飞速的发展。

近些年来，许多行之有效的混沌同步方法被相继提出，例如状态反馈控制方法，脉冲控制法，滑模变结构方法等。滑模变结构控制在 1950年被提出，已经逐步成为一种经典的控制方法，且方便应用于各种系统，使得众多学者在解决混沌同步问题时将变结构方法作为首选。在利用滑模控制方法时，如果在系统的状态矩阵中出现了非匹配不确定项，将会使滑模控制失去自身的鲁棒性，难以达到同步误差系统的稳定，因此这在很大程度上限制了变结构方法在混沌同步中的深入应用。因此，众多学者开始将研究混沌同步控制的重点转向混沌系统中可能出现的非匹配不确定项问题。Aghababaa与Heydarib[2]研究了一种带有非匹配不确定性并且含有外部扰动的不确定系统的混沌同步问题。Cai J[3]等人研究了一类非匹配不确定系统的有限时间同步问题。然而，由于线性矩阵不等式（LMI）技术其本身的结构简单，应用便捷及求解便利等特性，近年来已经逐渐被应用到滑模控制技术中。因此，本文在上述研究的基础上，针对一类非匹配不确定混沌系统的混沌同步问题，提出了基于线性矩阵不等式（LMI）技术的滑模控制方法，并在滑模面的设计上引入了积分型滑模面，利用 Lyapunov稳定性定理，以线性矩阵不等式（LMI）的形式给出滑动模态存在的充分条件，并且设计积分切换控制器，实现了不确定混沌系统的有限时间同步。最后，求出控制参数，以带有非匹配不确定项的蔡氏电路和Lorenz系统为例，给出仿真算例。实验结果表明，本文提出的控制器与其他控制方法相比，具有较好的鲁棒性及抗干扰性。

1 不确定混沌系统模型的描述

本文主要以蔡氏电路和洛伦兹系统为例，针对一类统一混沌系统研究混沌同步控制问题。以下为蔡氏电路数学模型：

以下为洛伦兹混沌系统的数学模型：

我们将（1）（2）统一写为以下形式：

式中， x ∈R3为系统状态向量，A,0为合适维度的矩阵或向量，可以看出，当满足如下条件时，系统（3）可以表示为蔡氏电路：

当满足如下条件时，系统（3）可以表示为洛伦兹混沌系统：

众多学者针对上述一类统一混沌系统，利用滑模变结构方法，进行了大量研究。 但是，如果上述混沌系统中包含了非匹配不确定项与外部扰动因素，以往的滑模控制方法则会失效。因此，本文在上述混沌系统中同时考虑了非匹配不确定项及外部干扰的情况。 将（3）改写为如下形式：

将上述不确定混沌系统定义为主系统，为了使主从系统达到混沌同步，将从系统定义为如下形式：

式中，x ， y∈Rn为系统状态向量，u = ( u1,u2)Τ是控制输入， f (x) ,f(y)是连续的非线性函数，B为系统的输入矩阵，d1( t),d2(t)为未知但范数有界的外部干扰函数。

本文主要思路是通过设计积分切换控制器，使得从系统的运动轨迹渐进地到达主系统运动轨线并最终保持同步，即

此外，针对此类混沌系统，本文还提出了以下假设：

假设1 矩阵对（A, B ）是可控的；

假设2 系统状态向量 x ,y可以观测；

假设3 系统输入矩阵B满秩为m且m≤n；

假设4 存在一个已知常量ρA且对于所有的t∈R,都有 Δ A (t) ≤ ρA；

假设 5 系统外部干扰 d1( t),d2(t)是未知的，但存在一个已知常量D且对于所有的t∈R，||d2(t)-d1(t)||≤D。

下面给出个几个在证明中用到的引理：

引理1 考虑以下不等式[5]：

式中， Q (x) = Q (x)Τ， R (x) = R(x)Τ，且∏(x)是关于x的仿射函数。则上述不等式等价于：

引理2 给出以下不等式[6]：

由以上不等式可推广至下述形式：

引理3 考虑如下不确定系统[6]：

式中， x1(t) ∈ Rn-m， x2(t)∈ Rm， λ为正标量，A1(t)和 A2(t)是未知但是范数有界的合适维度的矩阵。若子系统 x˙1( t) = A1( t)x1二次镇定，则原系统（9）也能够满足二次镇定。

引理4 假设正定函数 V (t)满足以下不等式[12]

式中，α和φ为正常量，η两个正奇数之比且满足01η＜＜。那么对于任意0t，()Vt将会在有限时间t∫内收敛至零。t∫的表达式如下：

2 积分型滑模面设计及分析

为了使主从系统达到混沌同步，定义误差向量e y x= - ，根据系统（6）（7）可以得到动态误差系统：

式中， F (x,y) = f(y) - f(x)， d (t) = d2(t) - d1(t )且由假设5可知d(t)≤D。

为了使系统从初始状态到最终时刻都存在滑动模态，我们设计了如下积分型滑模面：

式中， C =(BΤX-1B )-1X-1,v为积分滑模项，且CB=I,λ＞0。

为了使误差系统的运动轨线保持在切换面s(e)=0，采用等效控制方法，令s=s˙=0，得到等效控制：

式中， B g(x,y) = F(x,y)， B h(t) = D(t)。将等效控制代入动态误差系统（11）

定理1 针对非匹配不确定误差系统（11），如果将滑模面设计为（12）的形式，且参数设计满足如下LMI，则误差系统（11）在滑模面 0s= 上是渐进稳定的。

式中，B~是BΤ的零空间的的任意基底，且B~不是唯一的。

证明 为了分析动态误差系统（11）在滑模面上的稳定性，定义变型矩阵M和联系向量z：

将e = M-1z代入上式，有

式中，λ＞0， Γ1(t )＜∞， Γ2(t)＜∞，由引理3可知，如果=Γ1( t)z1是镇定的，那么上述滑动模态将会渐进稳定。因此，下面我们将继续证明(A + ΔA)XB~z 的 渐 近 稳 定 性 。 定 义Lyapunov函数如下：

式中，P为对称的正定矩阵。将（19）求导

由上式可以看出，如果存在对称正定阵P使得：

根据引理1可将上述不等式改写为线性矩阵不等式形式根据引理2，可知以下不等式成立：

根据以上不等式，可将（23）改写为：

根据引理 1，可将上述不等式改写为（15）的形式。可以看出，如果LMI（15）成立，即若令P=，且X为 LMI（15）的可行解，则动态误差系统（11）在滑动模态上是渐进稳定的。

3 设计切换控制器

定理 2 对于动态误差系统（11），设计如下控制器，使误差系统可以从任意初始状态在有限时间内收敛至平衡状态，并使动态误差系统的运动轨迹一直保持在滑模面上。

式中，β，σ为任意的正参数，K为ρACe+D的一组上界，可将K表示为K≥（ρACe+D ）max。

证明 定义Lyapunov函数2()V s如下：

对上式求导，有

将控制器（26）代入（11）：

根据K ≥ （ρACe +D）max，可以判断：

由此，可以得出：

上式中，λ min(β),λmin(σ)分别表示β，σ的最小特征值；μ = λ m in(β) ＞ 0，η =λm in(σ)＞0；α2=(α + 1 )2 ＜ 1 。根据引理 4，可以看出系统的状态轨线将会在有限时间t∫内收敛至平衡状态。有限时间t∫的表达式如下：

4 仿真算例

4.1 蔡氏电路

给定以下数值：

式中，α=10，β=15，n=-1.2，m=-0 .6，此时蔡氏电路系统具有明显的混沌特征，其相轨迹图如图1所示。

图1 蔡氏电路混沌吸引子Fig.1 Chua’s circuit chaotic attractor

进一步考察蔡氏电路系统不确定项及外部扰动因素：

式中， ρ1=0.2sin10πt ， ρ2=0.2sin20πt ，ρ3=0.1sin30πt。可明显看出蔡氏电路的系统状态矩阵的不确定项不满足匹配条件。使用 Matlab软件的LMI工具箱，求出不等式（15）的可行解：

图2 主系统与子系统随时间的响应曲线Fig.2 Time response curve of master system and slave system

图3 误差系统随时间的响应曲线Fig.3 Time responses curve of synchronization error system

由图2、3可以看出，在加入了本文设计的控制器后，动态误差系统快速收敛至平衡状态，在接近5s时主系统与从系统的状态达到混沌同步。

4.2 Lorenz混沌系统

给定以下数值：

式中，α=10，b=83，n=-1.2，m=-0 .6，此时Lorenz系统具有明显的混沌特性，相轨迹图如图4所示。

图4 洛伦兹混沌吸引子Fig.4 Lorenz chaotic attractor

进一步 Lorenz混沌系统不确定项及外部扰动因素：

式 中 ， ρ1=0.1sin20πt ， ρ2=0.1sin10πt，ρ3=0.2sin30πt 。求得不等式（15）的可行解：

根 据 C = (BΤX-1B )-1X-1可 以 得 出C=取得主系统初始状态 [x1( 0)x2(0)x3( 0)]Τ=[111]Τ，从系统初始状态为 [ y1( 0) y2( 0) y3(0)]Τ=[000]Τ，可以得出动态误差系统 [e1( 0) e2( 0) e3(0)]Τ=[111]Τ，取常数λ=1，K=3，β=1，σ=2，η=35。利用Simulink软件得到同步仿真结果。

从图5，6明显看出，Lorenz系统在受到系统状态矩阵非匹配不确定的干扰以及外部扰动下，在加入了本文设计的积分型滑模控制器（26）后，误差系统状态快速收敛至平衡状态，在t接近3 s时达到主系统与从系统的混沌同步。上述结果可以看出，本文设计的控制方法可以使得动态误差系统在有限时间内收敛至平衡状态保持在滑模面上，此类方法针对不确定混沌系统具有良好的鲁棒性及抗干扰性。

图5 主系统与子系统随时间的响应曲线Fig.5 Time response curve of master system and slave system

图6 误差系统随时间的响应曲线Fig.6 Time responses curve of synchronization error system

5 结论

本文研究了一类在状态矩阵中带有非匹配不确定项及外部扰动同时存在的不确定混沌系统的混沌同步问题。利用线性矩阵不等式（LMI）技术构造积分滑模面的形式并通过LMI工具箱解得积分滑模面的参数设计，设计了积分型切换控制器，保证了滑动模态的存在和系统的渐进稳定性，又较好的抑制了系统不确定带来的影响。最后通过对含有非匹配不确定项及外部扰动的蔡氏电路和 Lorenz系统的仿真研究，验证了所给出控制器的有效性，也表现出该方法针对一类不确定混沌系统的同步控制问题有较强的鲁棒性和抗干扰性等优点。同时，本文验证的控制方法可以推广至更多混沌系统，例如Rossler系统，Liu混沌系统等。

[1] Ott E, Grebogi C, Yorkej A. Controlling chaos[J]. Physical Review Letters, 1990, 64(11): 1196-1199.

[2] Aghababa M P, Heydari A. Chaos synchronization between two different chaotic systems with uncertainties, external disturbances, unknown parameters and input nonlinearities[J].Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(4): 1639-1652.

[3] Cai J, Lin M. Finite-Time Synchronization of Non-autonomous Chaotic Systems with Unknown Parameters[C]. International Workshop on Chaos-Fractal Theories and Applications. IEEE Computer Society, 2010: 8-13.

[4] Haeri M, Emadzadeh A A. Synchronizing different chaotic systems with active sliding mode control[J]. Chaos, Solitons& Fractals, 2007, 31(1): 119-129.

[5] Xu Y, Wang H, Liu D, et al. Sliding mode control of a class of fractional chaotic systems in the presence of parameter perturbations[J]. Journal of Vibration & Control, 2015, 21(3):435-448.

[6] Han H C. LMI-Based Sliding Surface Design for Integral Sliding Mode Control of Mismatched Uncertain Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, 52(4): 736-742.

[7] Vaidyanathan S, Volos C K, Pham V T. Global Chaos Control of a Novel Nine-Term Chaotic System via Sliding Mode Control[M]//Advances and Applications in Sliding Mode Control systems. Springer International Publishing, 2015:571-590.

[8] Vaidyanathan S. Integral Sliding Mode Control Design for the Global Chaos Synchronization of Identical Novel Chemical Chaotic Reactor Systems[J]. International Journal of Chemtech Research, 2015, 8(11): 684-699.

[9] Yan J, Liu X, Feng D. New criteria for the robust impulsive synchronization of uncertain chaotic delayed nonlinear systems[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 79(1): 1-9.

[10] Huang L L, Lin L. Parameter Identification and Synchronization of Uncertain Chaotic Systems Based on Sliding Mode Observer[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2013,(2013-10-30), 2013, 2013(2): 544-554.

[11] Gouaisbaut F, Dambrine M, Richard J P. Robust control of delay systems: a sliding mode control design via LMI[C]//Control Conference. IEEE, 2015: 219-230.

[12] Mobayen S. An LMI-based robust controller design using global nonlinear sliding surfaces and application to chaotic systems[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 79(2): 1075-1084.