探究施瓦茨引理到非欧几何

安家成 苏州大学数学科学学院17 级基地班

一、施瓦茨引理

（一）施瓦茨引理1：

设f(z)是单位圆D（0，1）到自身的解析映射，满足f(0)=0，则

该定理的证明：

证毕

（二）施瓦茨引理2：

该定理的证明：

证毕

（三）施瓦茨引理3：

用A(D(0，1))来表示所有由D(0，1)到自身的解析自同胚所组成的群，

这一性质我们称它是D(0，1)在群A(D(0，1))作用下是可传递的.

通过“从z 到0”可知，对于D(0，1)中任意两个点均存在一个

解析自同胚将一个点映射到另一个点，

∴我们可以将“f(0)=0”这一条件去掉，即施瓦茨引理：

该定理的证明：

证毕

二、欧式几何与非欧几何

欧式几何中的弧长公式：如果l 起点为a，终点为b，表达式为

由欧式度量所确定的欧式几何性质就成为欧式几何.

即非欧度量在D(0，1)的全纯自同胚的作用下保持不变

设D(0，1)内一段分段光滑曲线l：起点为a，终点为b，表达式为z(t)，我们定义l 的非欧长度为，定义非欧距离为

非欧度量在单位圆的全纯自同胚群作用下保持不变，∴曲线的非欧长度、任意两点的非欧距离、测地线等在单位圆的全纯自同胚作用下也保持不变，于是，为了研究两个点的非欧距离，首先考虑特殊情况，

∴对于l 中 的非欧距离s(l)，有

非欧几何最早是因为欧几里得中的平行公理，平行公理是指：过直线 外任意一点p，存在唯一的一条直线与已知直线 平行，但是俄国数学家N.I.Lobatchevxky(1793-1856)率先对这个平行公理可能独立于欧几里得其他公理的问题做了深入研究.上面的在单位圆上构造的非欧几何模型就是由Poincare 提出，所以非欧度量也称为Poincare 度量.Poincare 验证了欧几里得其他公理均成立，但是我们由以上不难看出平行公理不成立，即过测地线 外一点p，有无数条测地线与 相交，这就证明了平行公理是独立于欧氏几何的其他公理的.同时这也说明平行公理的反命题“过直线外一点存在无数条直线与给定直线平行”与欧式几何的其他公理是相容的.