圆锥曲线问题的几种简化运算方式

时间：2024-05-04

李鑫智成都外国语学校

圆锥曲线问题的几种简化运算方式

李鑫智成都外国语学校

圆锥曲线问题一直是高中数学中的一大难点，也是高考考查的热点内容。它的困难在于计算量，许多同学由于不会引入合适的参数或方法不够简单，导致计算工作量极其繁重，再加上计算功底不足，不能在有限的时间里有效的解决问题，因此，这类问题往往成了失分的重灾区。如何简化运算，快速解决圆锥曲线问题是高中数学的重点内容之一。本文将探讨几种圆锥曲线的简化运算方式，以供各位读者朋友参考。

圆锥曲线简化运算解决

高中阶段的解析几何，往往涉及直线与圆锥曲线（直线也可以看作退化的二次曲线）。一般而言，解决圆锥曲线问题，无非是引入参数，建立等式关系，将问题化为熟悉的函数问题或方程问题。因此如何引入适当的参数、如何简化运算成了快速解决这类问题的核心。

1 引入参数

解析几何是一种利用代数手段来解决复杂几何命题的思想，而引入参数是这一思想的核心要素。在高中阶段我们学习了直线的几种不同形式（包括参数形式），其中就蕴含了参数引入的思想（以不同的几何量来刻画直线），但许多同学往往只会运用点斜式，不会使用其它设法。例如，在解决直线与坐标轴围成的三角形面积的最值问题时，最好使用的直线的截距式，原因是截距的乘积的一半的绝对值恰好表示面积。

例1 斜率小于0的直线m经过定点（2，4），试求m与坐标轴围成的三角形面积的最小值。设立截距式（a>0，b>0），代入（2，4），得到运用均值不等式故解得（当且仅当b=2a取“=”）这种解法简单明了，比用点斜式方法计算量明显减少。

上面的例子还只是比较简单的参数选择，下面我们将讨论如何利用参数本身的几何意义来解决计算问题。首先我们来看两个命题：

命题一

椭圆 3x2+4y2=12,定点 M（2,2），直线 L：3x+4y-6=0，设经过M的直线p交椭圆于A、B两点，交L于S点，其中，,试探究是否为定值？给出理由。

命题二

椭圆3x2+4y2=12,定点M（2,2），动点S(s,t)满足SM交椭圆于A、B两点（可重合）设且试求S的轨迹方程（不必给出范围）。

分析：两个命题均涉及两个向量式，且问题均为两个向量的比的关系。而这两个向量式其实就是定比分点公式而这里λ与这直线上的点形成了一一对应，于是我们可以直接利用λ本身的意义（向量的比）以及与点的关系来构建直线的另一种形式。若设S（s，t），直线SM：再与椭圆联立得到方程的两根1λ,2λ对应了两个向量式的比，于是对于命题一，（注意S在直线3x+4y-6=0上，故有3s+4t-6=0），对于命题二，的轨迹方程为整个过程几乎没有什么计算量，关键点在于合理地选取了参数，构建参数方程，使运算大幅减少。

因此，合理地选取参数是快速解决圆锥曲线问题的核心。另附几种参数的应用心得：对于一般的直线参数方程：用于解决涉及弦长的问题；向量参数式：，即可用于解决向量比（或线段比）的问题（本质上与定比分点公式一样）；圆锥曲线的极坐标形式在涉及焦点问题时可大幅简化运算（若不涉及焦点，可以通过仿射变换或正交变换转化为焦点问题），对于三角变形不太熟练的同学不建议用圆锥曲线的参数方程。

2 简化计算

2.1 利用对称性计算

在圆锥曲线问题中，很多计算都可以利用对称性简化。这里所谓的对称性是指在计算过程中，两部分的过程完全一样，则可以算出其中一部分后直接写出另一部分。例如，联立解得交点坐标，这两交点的计算是完全一样的，唯一的区别在于k1、k2，因此，我们只需计算出其中一个交点后，另一个交点只需用k2替换掉k1（或k1替换k2）就可以得到。这样在计算中就收到了事半功倍的效果。

2.2 一元二次方程与韦达定理

圆锥曲线属于二次曲线，即它们的解析式都为二次方程式。因此我们常常可以将问题往熟悉的一元二次方程转化，利用韦达定理简化运算过程，使问题得以解决。下面来看一个例子：

命题三

椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0），直线L（斜率不为零）经过右焦点F，且交椭圆于P、Q两点，右顶点记为A，并记PA的斜率为k1，QA的斜率为k2，求证：k1·k2为定值

分析：k1与k2具有很强的对称性，因此我们可以选择设立直线，利用对称性解出交点P、Q，设与椭圆联立得由韦达定理得则利用对称性，直接得再建立等式或方程求解，利用共线的条件这里t实际上是一个由k1，k2构成的对偶式，在计算中可以看作为常量。注意上面等式也具有对称性，且均为k的二次分式，因此我们将其往二次方程转化。

，这表明k1,k2是该方程的两根，利用韦达定理得这样的手段避免了通分、合并同类项等繁重的运算过程，且很简单明了。

常规教学里经常是对点运用韦达定理，而很少对其它参数（例如斜率，弦长等）运用，这里实际上对如何利用韦达定理提供了一个新的方向。