抽屉原理与数学逻辑的关系

陈卓然 湖南省长沙市实验中学

抽屉原理与数学逻辑的关系

陈卓然 湖南省长沙市实验中学

摘抽屉原理作为一种常用的数学解题思路，其具有一定的逻辑性，为了更好地在数学学习中利用这一原理，就应该深入分析抽屉原理和数学逻辑二者之间的关系。本文将从分析抽屉原理的内涵出发，探索其对数学逻辑阐述的作用，再对高中数学学习运用该原理提出一些建议。

抽屉原理 数学逻辑 关系

高中数学是非常重要的学科，不仅能够给学生未来的学习打下基础，还能够帮助学生养成严谨的逻辑思维能力。而抽屉原理是组合数学中非常经典、有用的基础原理，掌握好抽屉原理可以更好的解答很多数学难题，有利于理解一些抽象、复杂的数学理论。因此，了解和分析二者之间的关系是有重大积极意义的，对于我们高中学生来说，充分发掘抽屉原理中的有效价值，会促进数学逻辑思维能力的提升。

1 概述抽屉原理

1.1 含义

数学理论学习中，经常会出现这样一类问题，探究存在事实情况的数学问题，比如，有13个人在一起上课，其中最少有两个人的生肖是相同的。又如，1004个人在随机分成100个小组，这些小组中至少有一个组的人数超过了10人。这种存在性分析类问题里，所谓的“存在”就是保证在该条件下至少会出现一个这种情况。想要快速解答这种类型的问题时，只需要证明其有存在的可能，并不要求指出是具体的哪一个，也不用通过某种方法把这个存在的情况确定出来。类似这种“存在性”问题，相较于其他数学问题来说中间基本不会涉及到复杂的运算步骤，依靠的解题思路也很简单，所以把解答这类问题的理论归纳总结为“抽屉原理”。

该原理最早是德国的一名数学家迪里赫莱创造性地提出来用于解决一些常见数学问题，所以也用他的名字来命名这一原理。还可以简洁地把迪里赫莱原理概括为“若把11只鸽子分放到10个鸽笼里面，保证每一个鸽笼里面都要有鸽子，那么其中一个笼子里面必然存在两只鸽子”。这是非常浅显易懂的道理，但在实际应用该原理时，却能够快速有效的解决许多抽象问题，并且答案往往都会让人觉得匪夷所思。

1.2 一般形式

抽屉原理在现实应用中通常以两种抽屉原理形式出现。第一种原理的形式主要表现为：首先，把数量大于n的所有物品分别放到n个柜子里面，那么其中至少应该存在一个柜子里面存在两件或以上的物品。可以运用反证法予以证明，假设一个抽柜子最多只可以放一个物品，那么可以放的物品的总量最多是n个，而不是题干中交代的n+a(a≥1)，因此这是不可行的。其次，将大于mn个的物品放在n个柜子里面，则最少都有一个柜子其里面装了大于或等于m+1个物品。再通过反证法来证明，如果每个柜子只能放m个物品进去，而n个柜子最多只可以放mn个物品，和题目要求相矛盾，所以也不可能。最后，把无穷多的物品放到n个柜子中，那么最少存在一个柜子会有无穷个物品。上述三种都是第一抽屉原理在现实中常见的表述方式。第二抽屉原理的典型形式是把（ab－1）个物品全部放到a个柜子中，其中必然会出现一个柜子里最多只能放入（b—1）个物品。同样利用反证法来证明一下，假使每一个柜子中都能够存放不少于b个物体，则所需要的物品总量应该至少是ab，显然和前面的条件不相符合，因此这是没有可行性的。

2 抽屉原理和数学逻辑的关系

2.1 有利于理清解题思维

我们高中学生在学习一些重要数学理论时，经常会容易出现思维混乱，找不清头绪的情况。对此，运用抽屉原理非常有利于梳理相关数学逻辑思维顺序，从而将数学难题有序解开。比如，在解答这道关于自然数整除的问题时，任意选取出了8个自然数，其中肯定会有两个数相减后得出7的倍数。想要得出这道题的答案，必须明白数的整除问题具备怎样的特点，也就是指当两个整数m、n，二者同时和一个自然数a相除，得到的余数是一样的，那么证明这两个数的差m-n一定会是a的倍数。明白这个特点之后，解答该题的思路也就豁然开朗，只需要证实在题目中提到的8个自然数中，肯定存在2个自然数和7相除得到的余数一样。此时，把自然数和7相除可能得到的情况分列出来，可以发现一共有7种不同情况，包括余数可能为0到6的七种状况。把这些不同情况当成是有7个抽屉，将任取的8个自然数投放到各个抽屉中，再依靠抽屉原理的思路，可以发现至少应该有两个数在相同抽屉之中，代表其与7相除后余数一样。因此，可以得出结论它们的差肯定可以和7整除。

2.2 帮助建立数学逻辑思维模式

当数学问题比较抽象时，可以充分利用抽屉原理来辅助建立严密的逻辑思维，便于正确理解和解答问题。例如，当5位学生分别从一个装有黑白棋子的口袋中摸出3枚棋子，请证明有最少两个学生得到棋子颜色完全相同。做这道题不可能真的做实验来解决，只能通过在脑海中的逻辑推理来分析，首先确定3枚棋子不同的颜色排布情况，既可能全黑，两黑一白，也可能一黑两白或是全白，将它们看作4个抽屉。依据抽屉原理，可以知道至少应该有两名学生的棋子完全相同。

作为一名高中学生应该熟练掌握抽屉原理的内涵和使用方法，对于提高数学逻辑思维能力具有重要作用。抽屉原理也属于数学逻辑的一种，二者之间有着广泛联系。

[1]贾忠淼,沈林.抽屉原理在数学解题中的应用[J].湖南农机,2013,(09):229+231