高中数学中统计学方差的性质

彭子凌 湖南省长沙市长郡中学

高中数学中统计学方差的性质

彭子凌 湖南省长沙市长郡中学

高中数学中包括了统计学方差的知识，由于学生在初中阶段已经对于这部分知识有了基本的认识，因此高中教师针对这部分内容教学相对容易一些。本文主要介绍了高中数学中统计学方差的性质，并总结出了方差性质对于解决问题的作用，希望可以为相关教师和学生提供参考。

高中数学 统计学 方差 性质

统计学方差的性质对于解答一些具有难度的题目有很大的帮助。高中阶段的数学难度与初中数学相比要大得多，一些题目不仅仅是考察统计学方差知识，而是考察统计学方差性质的灵活运用。高中教师一直都比较重视统计学方差性质的教学，在教学实践中也取得了不错的成效。

1 方差公式的使用需要创建条件

高中数学的难度确实比初中数学的难度更大了，但是值得注意的是高中数学也正是在初中数学的基础之上增加的难度。因此高中数学统计学中的方差在应用的时候，其性质始终没有变，而且应用方法不会发生特别大的变化。比如在高中数学中有这样的知识点，方差公式：S2=〈(M－x1)2+(M－x2)2+(M－x3)2+…+(M－xn)2〉。高中数学统计学方差的性质相对复杂，在创建条件的时候会相对比较麻烦。但是如果学生掌握了方差公式，并且在平常的学习和练习中善于养成观察题目的习惯，会缩短解答题目的时间。

2 方差公式选择数据具有灵活性

每一道题目中所包含的信息都有所区别，这都是由题目最后给出的问题决定的。高中统计学方差问题也是如此，在题目中出现的时候本身方式就比较灵活，方差公式的使用更是如此。一般情况下方差的性质可以帮助解决一些经常出现但是无法快速解答的问题。比如针对看上去比较复杂的题目。则可以灵活选择数据带入到方差公式中，利用好方差公式的性质解答题目。例如这样一道题目：式子一是2x+3y+z=13，式子二是4x2+9y2+z2-2z+15y+3z=82。初步观察题目中给出的已知条件，就这样一组数据。然后根据初中所学的解答多元二次方程的方法综合得出（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108，方差S2的等式数据就可以得出来。方差在数学上面被称为变异数和均方。从这两个称呼的字面意思可以知道，它具有度量数据的作用，如果在解答题目的时候运用得当，会起到事半功倍的效果。在高中统计学方差的知识点中，试题的难度有时更高。比如，两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50。E(X)=72；Y：73，70，75，72，70。E(Y)=72。平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，这里具体是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动。

3 方差具有可加性特点

通过观察高中数学统计学方差相关试题可以知道，方差的作用是针对一组数据中存在的一些变异总和的测量。而且这种作用就体现在了方差可以利用自身具有的可加性这一明显性质进行这些变异量的来源。比如在方差试题中常见的关于组间和组内的问题。通过细节化各种问题，方差能够达到进一步说明每一种变异对于整个结果的影响作用，对于进行进一步推论具有很重要的作用。提到方差，一个不得不提的概念就是标准差，标准差在数学上的优势是高于数学上的其他差异量数的。

4 方差的应用非常广泛

高中阶段的数学统计学方差相较于初中难度虽然增加了，但是如果与统计学的知识内容相比则要简单太多，而且就应用的方式来看也主要是集中应用方差公式，用方差公式解答相关题目非常常见。通过调查发现，在高中数学中关于统计学方差相关的试题问题一般都集中于以下集中情况，①根据已知条件求出条件中包括的字母或者式子的取值范围。②根据两个或者两个以上的等式求出代数式的值。③根据题干中给出的等式，求出等式中包含的未知数的最大值或者最小值。④应用统计学方差的性质解答方程组问题也非常常见，尤其是在高中数学中增加了方程组的难度，应用方差的性质解答题目可以减少解答题目所耗费的时间。⑤解答证明等式或者不等式，方差性质的作用也可以发挥到很大。⑥高中数学的几何证明题丰富了，而且难度增加了很多，学生学习的时候虽然可以掌握最为基本的证明方法。但是一旦将其他的数学知识点综合到一道题目中之后，就会导致学生连题目都读不懂的情况。方差性质在这样的题目中的应用所发挥的作用就是简化已知条件，求出未知条件，最终将条件综合成可以直接利用的等式。方差的性质是多样的，但是始终不会脱离本质，在具体的应用当中需要通过结合其他相关知识，这样才会令方差性质的价值发挥到最大，以便于学生们掌握数学方法。

统计学方差在高中数学知识中所占比例不大，但是由于其考察方式很灵活，学生掌握起来有难度。统计学方差会贯穿在各种数学知识点中，学生们必须要从方差的基本性质着手做到真正了解和掌握方差知识，才能够在解答问题的时候达到得心应手的效果。

[1]胡兴余.方差性质在解决多元问题中的应用[J].中学数学研究,2015（8）