高中数学中不等式恒成立问题

文宇哲 湖南省师范大学附属中学

高中数学中不等式恒成立问题

文宇哲 湖南省师范大学附属中学

在高中数学的学习过程中，不等式恒成立问题包含了倒数、方程、函数等主要性知识，很容易受到考查。而这些知识问题，若是没有掌握好问题的关键，是很难解决的。本文对数学的恒成立问题进行总结，并以实例进行说明。

高中数学 不等式 恒成立

1 不等式恒成立问题概述

所谓恒成立问题，就是在已知条件下，无论变量如何改变，命题都成立。其典型思路也是由已知条件向各式子类型转换为不等式恒成立解题，这是高中数学的一个重点考察内容。与一般学科不同，数学学科对学生们逻辑性和思考能力要求高，要想学好数学，必须得提高自己这方面的能力，灵活运用解题能力来解释恒成立问题，才可以提升自己的数学学习能力，让数学学习不再困难。

2 关于不等式恒成立的解题思路

2.1 数形结合，直观求解

所谓数形结合，就是依照函数和形之间相对应的关系，通过相互转换来进行解答的数学问题。高考数学里，一员函数型、二次函数恒成立一般会出现在选择填空中，实现数形结合，常与以下内容相关：①实数与数轴上的对应关系。②函数与图像的对应关系。③曲线和方程的对应关系。④以几何为背景形成的概念，如复数、三角函数等。

2.2 运用归化解题思路，分离变量法

分数参离在学习高中数学知识的过程中，遇到含有不同参数的不等式恒成立问题时，把有参数的不等式进行变形，分离题型的参数，将复杂的不等式恒成立问题简化，让不等式的解析式只有一方是含有参数的解题方式。

2.3 解析一元函数、二次函数恒成立的难题

函数最值法是数学恒成立问题常见的解题方法，即与自身熟悉的知识点相结合，依照题型指示，通过函数最值法解答数学问题。其中最值法又主要分为两点：

首先，一次函数恒成立。一次函数的恒成立主要是在求各个变量的范围，例如普通一次函数f(x)=kx+b(b0)，若函数f(x)在 [m，n]范围内恒有f(x)＜0或者f(x)＞0，求k值的范围。在该类型恒成立问题的解题过程中，可根据函数取值大小范围、基本性质、和单调性进行解题。

其次，二元函数恒成立。二次函数法f（x)不同的x值范围，函数的增减性不一样，二次函数的图像有最值，并且是函数增减性的分界点。因此，在解决二次函数恒成立问题时，要结合到图像特点进行讨论。

例如，设f(x)=(m-1)x2+(m-1)x+2＞2的解集为R，求m值范围。解题思路如下：依照函数讨论（m-1）及=Δ（m-1）2-8(m-1)的范围，进而求m范围。当m-1=0时，m=1，f(x)=2＞0成立。当m-10时，m1，要遵循该函数的特性，

综上所述，在高中数学的学习当中，解决恒成立问题的方法很多除了常见的分离变量法、函数最值法和数形结合法外，还有其他很多解题方法。只要我们充分考虑到问题的性质和特点，就可选择合理合适的方法。对数学恒成立问题进行等价转换。平时勤于练习，熟悉思路方式，积极总结经验，才可以真正提升自己的逻辑思维能力和解决问题的能力，最后在高考数学中得到令人满意的考试成绩。

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