含区间时变时滞系统的稳定性分析

张骜

摘要：文章研究了含区间时变时滞系统的稳定问题，获到了一种新的判断时滞系统稳定的充分条件，通过引入新的积分不等式放缩，增加了适当的自由矩阵，从而获得的结果具有更好的保守性，结论通过Matlab数学软件求解线性矩阵不等式（LMI）得以验证，最后数值仿真验证了提出的方法的可行性和有效性。

关键词：稳定性分析；区间时变时滞系统；Lyapunov第二方法；网络控制系统 文献标识码：A

中图分类号：TP13 文章编号：1009-2374（2016）31-0054-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.31.028

时滞系统已经得到了广泛的研究，但是很多研究成果大多研究的是小时滞现象，区间时滞系统还没有得到广泛的关注，随着网络控制系统的发展，时滞在一个区间内变化的系统得到了重视，时滞现象广泛存在于实际工程系统中，包括具体的网络控制系统、传输系统等，因此，在某种条件下，含区间时滞系统既便于研究又具有更深的理论研究价值，比现实工业中的带有区间时滞的时滞系统更加具有实际意义，不同的矩阵不等式放缩会得到不同的李雅普诺夫渐进稳定理论判据，现有的模型变换方法，带来的计算很繁琐，得到的线性矩阵不等式结构也很复杂。

本文重点是把注意力都放在Jensen积分不等式放缩上来，根据现有的Jensen积分不等式放缩，得到了新的Jensen积分不等式放缩，使结果具有较好保守性，同时引入了新的自由矩阵，降低了结果的保守性。

1 系统问题描述

考虑区间时变时滞系统：

（1）

为初始值

式中：为状态向量；0≤hm≤h（t）≤hM是系统中的变时滞；是适当维数的实常数矩阵；，，初始条件是在区间上的向量值函数具有连续性和可微性。

引理1：（Liu[9，10]）

假如存在，且适维的自由矩阵使得：

那么有以下结论：

引理2：状态向量、以及任意适维正定矩阵，使得以下不等式成立：

2 主要结论

对于区间时变时滞系统（1），研究的目的是通过选择适当的Lyapunov函数，对于不同的时滞下限，获得使区间时变时滞系统（1）稳定的最大时滞上限。

定理：考虑具有区间时滞系统的式子（1），假设是已知的，且，如果存在矩阵以及一些适维矩阵使得下面线性矩阵不等式（LMI）成立，即：

那么系统（1）是渐进稳定的。

证明：为了获得更好的结果，引入以下Lyapunov Krasovskii泛函，并且得到如下线性矩阵不等式（LMI）：

（2）

其中：

，

，

，

沿着标称系统（1）求导并根据引理得：

最后根据引理可得：

，其中：

（3）

其中：

（4）

得出<0，故时滞系统（1）是渐进稳定的，从而获得了判别系统（1）渐进稳定的充分条件。如果时变时滞导数的上限未知，在定理中的李雅普诺夫函数，可以去掉得到下面的推论。

3 数值仿真

数值例子说明了文中给出方法的可行性、正确性和有效性。

例：考虑满足条件（2）的中立时滞系统（3），其中：

，，，。

对于不同的给定下界，使系统具有渐进稳定的上界hM，表1表明了结果具有更小的保守性。

参考文献

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