放缩思想在恒成立和存在性问题中的运用

邓国平

“恒成立”与“存在性”是数学高考的重点与热点之一，通常由不等式、函数、方程、数列等相互结合起来，是培养学生数学能力的良好素材，其解题思想就是放缩思想。本文结合例题，逐一剖析放缩思想在解题中的应用。

一、恒成立问题和存在性问题的基本类型

第一，恒成立问题的转化。①恒成立；恒成立。②能成立；能成立。

第二，设函数、，对任意的∈，存在∈，使得≥，则≥。

第三，设函数、，对任意的∈，存在∈，使得≤，则≤。

第四，设函数、，存在∈，存在∈，使得≥，则≥。

第五，设函数、，存在∈，存在∈，使得≤，则≤。

第六，设函数、，对任意的∈，存在∈，使得=。设在区间上的值域为，在区间上的值域为，则?。

二、先分离参数，再放缩，后构造函数题型

例1.若≤1，不等式恒成立，求实数的范围。

分析：求的范围，关键是利用参数分离的方法把参数分离出来。

解：令∈∈∞，原不等式可变为。

即只要，∵（）2≤，∴。

评析：该题先采用分离变量，再运用恒成立的方法处理，从而得到变量的取值范围。在解答这类问题时，学生可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等知识求出函数的最值。

三、注意恒成立问题与存在性问题的区别

例2.已知函数∈，。①若?∈，均有≤，求的取值范围；②?1∈，?2∈，使得≤成立，求的取值范围。

解：①构造函数，则≥0

≥，≥∈∞。

②原问题可转化为≤，而

，。

恒成立问题与存在性问题是高中数学的常见问题，经常与参数的范围紧密联系在一起。在教学过程中，教师可以运用函数的性质和图像，结合换元思想、化归思想、数形结合思想、函数与方程等展开教学。

总而言之，在数学教学过程中，要想提高恒成立问题与存在性的教学效果，教师必须注意以下两方面：第一，激发学生数学学习的兴趣。众所周知，学习兴趣是学习动力的源泉，是构成学习动机最真实、最活跃的心理成分。托尔斯泰曾说过：“成功的教学所需的不是强制， 而是激发学生的兴趣。”有兴趣的学习，不仅能使学生全神贯注，而且能引发学生的积极思考。可见，激发学生学习数学的兴趣，是提高教学质量的前提；第二，充分发挥教师的主导作用。教师的主要目的是传道、授业、解惑，在讲课过程中，教师运用多年的教学经验，把知识点融于学生的常识中，就很容易激发学生的学习兴趣。因此，教师要深钻教材、吃透教材，找出规律、紧扣重点，突破难点、认真备课，才能培养学生的逻辑思维与观察能力， 开发学生的智力。

（作者单位：江西省南昌市新建二中学）