等比数列中的四种思想方法

邱志华

一、分类讨论思想

例1.设数列的前项和，则 。

分析：利用数列中的项与前项和之间的关系，可以把题中的关系式转化为与之间的关系式，从而得知是等比数列，进而求出的通项公式。

解析：当时， ，；当时， ，，即。又，是首项为1， 公比为2的等到比数列， 当时也满足此式，故数列的通项公式是 。

点评：此类问题需要分类讨论，公式使用的前提条件是，所以当时，我们要看求出的数值能否满足求出的通项公式。如果满足，该通项公式就是所求的通项公式；如果不满足，通项公式就要写成分段函数的形式。

二、方程思想

例2.在等比数列中， ，，，求和。

分析：将转化为，与66联立解方程组求解。

解析：由题意得：，即

解得，或。

若，则，解得，

此时，∴。

若，则，解得，

此时，。

综上所述，，。

点评：关于等比数列的运算问题，一般利用通项公式和前 项和公式构造方程求解，所以学生要灵活运用等比数列的性质。

三、对称思想

例3.有四个数，前三个数是等比数列，其积为216，后三个数是等差数列，其和为36，求这四个数。

分析：若直接列方程组求解比较麻烦，注意到前三个数和后三个数都有个中间项，其他与中间项对称的前后两项可以由中间项加（乘）一个数或减（除）相同的这个数而得到。

解析：设这四个数分别为，，，，

则即 ，

这四个数别为3、6、12、18。

点评：利用对称性设这四个数，在进行乘积或加法运算的时候能消去一个参数，从而便于计算。

四、化归与转化思想

例4.在数列中，，求通项公式。

分析：观察式子的特点，可知既不是等差数列，又不是等比数列，要对其进行构造。在式子的两边同时加上1，就能发现数列是一个等比数列，从而可以求出数列的通项公式。

解析：，

又，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列。

，即。

点评：若数列满足p（p≠1，为非零常数），则可令来构造等比数列，并利用对应项相等求出λ的值，进而求出通项公式，这就是利用了化归与转化思想。

（作者单位：江西省抚州市广昌县第二中学）